唐 亮， 柏明強(qiáng)

（四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川成都610066）

量子糾纏是量子信息中的一個(gè)核心問(wèn)題.利用量子糾纏可以完成許多令人驚奇的量子任務(wù)，如量子秘密共享［1］、量子隱形傳態(tài)［2-3］、量子態(tài)制備［4］和量子密鑰分配（QKD）［5］等.因?yàn)榱孔蛹m纏有著神奇的技術(shù)應(yīng)用，所以本身的理論研究也十分重要.近年來(lái)，對(duì)量子糾纏的研究越來(lái)越多，特別是量子系統(tǒng)的基構(gòu)造方面.量子系統(tǒng)基的研究主要包括無(wú)偏基［6］、最大糾纏基［7］、不可擴(kuò)展的積態(tài)基［8］等.作為量子糾纏中的一個(gè)重要概念，無(wú)偏基優(yōu)化了量子態(tài)重構(gòu)問(wèn)題.Wotters等［9］證明了在Cd空間中無(wú)偏基的個(gè)數(shù)不超過(guò)d＋1，當(dāng)d是素?cái)?shù)冪時(shí)N（d）＝d＋1，然而當(dāng)d是非素?cái)?shù)冪的合數(shù)時(shí)，N（d）還無(wú)法確定.即便是 d＝6時(shí)，N（d）也未知.2013年，Chen等［10］將不可擴(kuò)展的最大糾纏基的概念推廣到兩個(gè)不同維數(shù)的兩體系統(tǒng)中.2014年，Li等［11］在任意系統(tǒng) Cd?Cd′（d≠d′）中解決了不可擴(kuò)展的最大糾纏基（UMEB）問(wèn)題，結(jié)果證明UMEB總是存在的，還可能有兩組個(gè)數(shù)不同的 UMEB.2015 年，Ma 等［12］進(jìn)一步在 C2?C3空間中任意給出一組UMEB，構(gòu)造了與之無(wú)偏的另一組含參量不可擴(kuò)展最大糾纏基的一般形式，再根據(jù)兩組基之間的無(wú)偏性，對(duì)相關(guān)參數(shù)進(jìn)行求解，得到兩組無(wú)偏的UMEBs.因此，繼續(xù)討論無(wú)偏基在更多兩體維空間的構(gòu)造問(wèn)題具有一定的實(shí)際意義.

在已有兩體系統(tǒng)研究基礎(chǔ)上，本文首先給出了兩體系統(tǒng)C3?C4中無(wú)偏不可擴(kuò)展的最大糾纏基一般表達(dá)式，并通過(guò)對(duì)C4中的標(biāo)準(zhǔn)正交基的改變，構(gòu)造了C3?C4兩組不同于以往的不可擴(kuò)展的最大糾纏基.同時(shí)在保證無(wú)偏的前提下，將這兩組不可擴(kuò)展的最大糾纏基進(jìn)行了完備化.

1 C 3?C 4不可擴(kuò)展的最大糾纏基

接下來(lái)，首先回顧一下無(wú)偏基、不可擴(kuò)展最大糾纏基等定義.

定義1［13］對(duì)于Hilbert空間Cd的兩組標(biāo)準(zhǔn)正交基 B1＝｛｜b1〉，…，｜bd〉｝和 B2＝｛｜c(diǎn)1〉，…，｜c(diǎn)d〉｝.如果則稱(chēng)這兩組標(biāo)準(zhǔn)正交基是無(wú)偏基（MUBs）.

例 1在 C2空間中，｜0〉、｜1〉和｜＋〉、｜-〉是一組無(wú)偏基.

定義2［7］對(duì)于Hilbert空間，若對(duì)子系統(tǒng)A中的任意正交基｜iA〉，都存在子系統(tǒng)B中的標(biāo)準(zhǔn)正交基｜iB〉，使得則稱(chēng)｜χ〉為 Cd?Cd′（d≤d′）中的最大糾纏態(tài).

例2Bell態(tài)就是一組最大糾纏基.

定義 3［10］對(duì)于 Cd?Cd′中的量子態(tài) ｜φ1〉，｜φ2〉，…，｜φn〉，n ＜dd′.如果滿(mǎn)足：

（i）｜φi〉均為最大糾纏態(tài)，i＝1，2，…，n；

（ii）｜〈φi｜φj〉｜＝δij，?i，j＝1，2，…，n；

（iii）不存在與所有｜φi〉正交的最大糾纏態(tài)，即若｜φ〉滿(mǎn)足〈φi｜φ〉＝0，?i＝1，2，…，n.那么｜φ〉一定不是最大糾纏態(tài)；則稱(chēng)其為Cd?Cd′的一組不可擴(kuò)展的最大糾纏基.

例 3［10］在 C2?C3中，下列矢量是一組不可擴(kuò)展的最大糾纏基：

其中

｜0〉、｜1〉和｜0′〉、｜1′〉、｜2′〉分別是 C2和 C3空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，σi（i＝0，1，2）是 Pauli矩陣.接下來(lái)，探討C3?C4的不可擴(kuò)展的最大糾纏基，由于文獻(xiàn)［14］證明了 Cd?Cd′（d′＝qd ＋r，q，r∈N＋，且0＜r＜d）中不可擴(kuò)展的最大糾纏基含有qd2個(gè)成員，從而C3?C4中的不可擴(kuò)展的最大糾纏基有9個(gè)向量.

定理1C3?C4系統(tǒng)中存在如下不可擴(kuò)展最大糾纏基：

其中

｜0〉、｜1〉、｜2〉和｜0′〉、｜1′〉、｜2′〉、｜3′〉分別是 C3和C4空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基表示模 3的加法.

證明（i）｜φ〉是最大糾纏態(tài)，即如果存在一個(gè)態(tài)｜φ〉?｜φn，m〉是最大糾纏態(tài).

（iii）如果存在一個(gè)態(tài)｜φ〉，使得〈φn，m｜φ〉＝0，n，m＝0，1，2.

假設(shè)｜φ〉是最大糾纏態(tài)，則｜φ〉的Schmidt分解為

其中，0＜λi＜1，且 λ0＋λ1＋λ2＝1，U、V的矩陣形式為

U、V均為酉矩陣，于是

則

同理，由〈φn，m｜φ〉＝0（n，m＝0，1，2，n，m 不同時(shí)為0），可以得到類(lèi)似于（9）式的其余8個(gè)等式，進(jìn)而可表示為

再令（10）式為 Av＝0，其中

T表示矩陣轉(zhuǎn)置.因?yàn)?/p>

所以Av＝0只有零解，即v＝0.從而

于是

由酉矩陣的性質(zhì)可以得到V不可能是酉矩陣，與假設(shè)矛盾，所以｜φ〉不可能是最大糾纏態(tài).綜上所述，（3）式是C3?C4一組不可擴(kuò)展的最大糾纏基.加上如下3個(gè)直積態(tài)構(gòu)成了C3?C4一組完備的標(biāo)準(zhǔn)正交基：

下面對(duì)C3中的標(biāo)準(zhǔn)正交基不作改變，對(duì)C4空間中的標(biāo)準(zhǔn)基作如下改變：

根據(jù)文獻(xiàn)［12］的構(gòu)造方法，利用（15）式這組基，可以在兩體系統(tǒng)C3?C4系統(tǒng)中給出另外一組UMEB：

可以計(jì)算得到

加上如下3個(gè)直積態(tài)同樣構(gòu)成C3?C4一組完備的標(biāo)準(zhǔn)正交基：

事實(shí)上，文獻(xiàn)［12］所構(gòu)造多組無(wú)偏的UMEB的方法，關(guān)鍵在于對(duì)Cd′空間中標(biāo)準(zhǔn)基的選取，顯然這樣的標(biāo)準(zhǔn)基并不唯一.根據(jù)線性空間基構(gòu)造理論，下面式子中的量子態(tài)構(gòu)成C4空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基：

進(jìn)而可構(gòu)造C3?C4的一組UMEB

同理，可以計(jì)算得到

添加如下的3個(gè)積態(tài)使其完備化，則可以得到一組C3?C4完備的標(biāo)準(zhǔn)正交基：

由前面的分析，可以得到后面的結(jié)果.

定理2（16）和（20）式是兩組無(wú)偏的UMEB.

2 結(jié)論

本文主要是對(duì)低維兩體系統(tǒng)C3?C4給出了C4空間的兩組不同的標(biāo)準(zhǔn)正交基，在保證無(wú)偏的條件下，同時(shí)對(duì)不可擴(kuò)展最大糾纏基進(jìn)行了完備化.在一般的兩體系統(tǒng) Cd?Cd′（d≠d′）中改變 Cd′空間標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)正交基，繼而可以構(gòu)造多組不可擴(kuò)展的最大糾纏基.進(jìn)一步地，通過(guò)探索Cd空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，研究?jī)审w系統(tǒng) Cd?Cd′（d≠d′）的不可擴(kuò)展的最大糾纏基構(gòu)造.