柳人菊， 柏明強， 吳 帆， 張玉春

（四川師范大學數(shù)學科學學院，四川成都610066）

量子糾纏在量子信息論中處于核心地位［1］.當前處理量子信息任務的有趣之處大都源于糾纏的特性.一方面，糾纏可以產生非局域關聯(lián)性，這些性質無法用局域的，現(xiàn)實的理論來解釋；另一方面，它也可以用作量子資源.例如，利用量子糾纏可以將一個未知的量子態(tài)傳送到遙遠的地方，而不需要直接的物理傳送，這個過程就是量子隱形傳態(tài)［2］.以量子隱形傳態(tài)的思想為基礎，學者提出了量子遠程制備［3］，量子秘密分享［4］，量子操作傳送等.不同于經典的量子隱形傳態(tài)，2001年Huelga等［5］利用局域操作和經典通信以及共享糾纏，首次提出了傳送一個任意酉操作的方案.作為一種新型量子遠程控制，量子操作傳送（QOT）引起了學者的廣泛關注［6-17］.例如 Zou 等［6］探索了通過使用線性光學元件實現(xiàn)非確定性的量子邏輯操作；利用不同的糾纏信道，Wang等［7-8］研究了部分未知酉操作遠程作用于多量子比特的問題；Zhang等［10］結合量子操作傳送和秘密分享的思想，首次提出了量子操作共享的概念和3個實現(xiàn)量子操作共享的方案；Lin等［17］利用部分糾纏態(tài)作為量子信道，提出一個受控遠程實現(xiàn)任意單量子比特操作的協(xié)議.這些方案涉及的量子操作傳送都是單向的.

一個自然的問題，是否可以利用一條信道實現(xiàn)發(fā)送者和接收者同時傳遞信息呢？2013年，Zha等［18］利用五粒子cluster態(tài)作為量子信道，首次提出一種雙向受控隱形傳態(tài)方案.該方案中，在控制者Charlie的幫助下，Alice和Bob可以同時發(fā)送一個未知單粒子態(tài)給對方.從此，雙向量子通信引起了學者的研究興趣.例如，2013年，以五粒子復合GHZ-Bell態(tài)為信道，Li等［19］提出一種雙向受控隱形傳態(tài)方案；同年，Li等［20］進一步提出一個基于五粒子糾纏態(tài)，傳輸任意單粒子態(tài)的雙向受控安全直接通信協(xié)議；2014年，Duan等［21］提出一種基于七粒子最大糾纏態(tài)雙向傳送任意單粒子態(tài)的協(xié)議；2015年，Hassanpour等［22］利用 EPR 對和糾纏交換，提出一個雙向傳送任意單粒子態(tài)的協(xié)議；2016年，Peng等［23］利用八粒子cluster態(tài)實現(xiàn)了四方雙向量子態(tài)分享；2017年，劉乾等［24］提出一個基于GHZ糾纏態(tài)進行純EPR對雙向隱形傳態(tài)的協(xié)議；2018年，Zhou等［25］將雙向隱形傳態(tài)的思想應用于量子操作傳送，設計了利用不同糾纏態(tài)作為量子信道的雙向量子操作傳送（BQOT）的協(xié)議.基于此，本文將研究基于GHZ態(tài)和cluster態(tài)的雙向操作傳送方案.

1 雙向量子操作傳送

本節(jié)中，利用不同量子態(tài)作為量子信道，提出了2個雙向量子操作傳送方案.方案中2個參與者Alice和Bob既是發(fā)送者也是接收者.假設Alice有一個任意態(tài)的粒子A，

其中，a0和 a1是復數(shù)，并且｜a0｜2＋ ｜a1｜2＝1.Bob有一個任意態(tài)的粒子B，

復數(shù) b0和 b1滿足｜b0｜2＋ ｜b1｜2＝1.Alice想將其酉操作UA作用在Bob所在系統(tǒng)的目標態(tài)｜φ〉B上，同時，Bob想將其酉操作UB作用于Alice所在系統(tǒng)的目標態(tài)｜φ〉A上，并且Alice和Bob不知道自己想要傳送的酉操作的任何信息.

為后文敘述方便，給出Bell態(tài)和Pauli算子定義［26］如下：

1.1 基于GHZ態(tài)的雙向量子操作傳送方案假設Alice和Bob以2個三粒子GHZ態(tài)作為糾纏信道，即

其中

假設粒子 1、2、5 屬于 Alice，粒子 3、4、6 屬于Bob.結合2個目標態(tài)，系統(tǒng)總態(tài)為

方案由以下5步依次進行.

1）Alice和 Bob分別在粒子對（A，2）和（B，6）進行Bell測量，并通過經典信道公布結果.隨后Alice和Bob根據測量結果作相應的酉變換.測量和對應的塌縮態(tài)以及酉變換如表1所示.

表1 Alice和Bob測量所得結果以及相應的酉變換Tab.1 Alice and Bob's measurement results and corresponding operations

由表1可以看出，不論Alice和Bob的測量結果是什么，通過執(zhí)行適當?shù)挠献儞Q，都可以將測量所對應的塌縮態(tài)轉化為

2）Alice和Bob執(zhí)行復合的酉操作 T1，T1＝N13H3N35N45.其中酉算子NC1C2是以C1為受控粒子和 C2為目標粒子的受控非（CNOT）門，H＝是 Hadamard門.

因此，酉操作T1后將（8）式中的量子態(tài)轉變?yōu)?/p>

3）Alice和Bob分別在粒子1和4上執(zhí)行酉操作 UA和 UB，即

這表明需要傳送的2個酉操作UA和UB已被同時作用在了2個目標態(tài)｜φ〉1和｜φ〉4上.因此，總系統(tǒng)的聯(lián)合量子態(tài)可寫作

4）Alice和Bob執(zhí)行復合的酉操作 T2，其中T2＝N43N54N14.于是，（11）式中的量子態(tài)｜Ψ3〉轉化為

5）Alice對粒子1進行｛｜＋〉，｜-〉｝基測量，其中

同時Bob對粒子3進行｛｜0〉，｜1〉｝基測量，然后通過經典信道公布測量結果.測量和對應的塌縮態(tài)以及酉變換見表2.

表2 Alice和Bob測量所得結果以及相應的酉變換Tab.2 Alice and Bob's measurement results and corresponding operations

由表2可知，當Alice和Bob執(zhí)行聯(lián)合酉變換之后，都能得到如下塌縮態(tài)

即Alice的酉操作UA作用在了Bob所在系統(tǒng)的量子態(tài)｜φ〉4上，同時Bob的酉操作UB作用在了Alice所在系統(tǒng)的量子態(tài)｜φ〉5上.

因此，基于GHZ態(tài)的雙向操作傳送方案成功實現(xiàn).

1.2 基于GHZ態(tài)與cluster態(tài)的雙向量子操作傳送方案假設Alice和Bob的糾纏信道由三粒子GHZ態(tài)和五粒子cluster態(tài)構成，形式為

其中

假設粒子1、2、4、7 屬于 Alice，粒子 3、5、6、8 屬于Bob.系統(tǒng)總態(tài)為

方案分為4步進行.

1）Alice對粒子對（A，4）上執(zhí)行 Bell測量，同時Bob對粒子對（B，6）執(zhí)行Bell測量，并通過經典信道告知彼此的測量結果.隨后，Alice和Bob根據測量結果作相應的酉變換.測量和對應的結果以及酉變換如表3所示.

表3 Alice和Bob的測量結果以及對應的酉變換Tab.3 Alice and Bob's measurement results and corresponding operations

由表3可以看出，在Alice和Bob分別執(zhí)行適當?shù)挠献儞Q后，每一種測量所得塌縮態(tài)都可以轉化為

2）Alice和 Bob執(zhí)行復合的酉操作T3，其中T3＝N12H2N87N75N25.因此，酉操作 T3將（17）式中的量子態(tài)轉變?yōu)?/p>

3）Alice在粒子7上執(zhí)行酉操作UA的同時，Bob在粒子8上執(zhí)行酉操作UB，即

這表明需要傳送的2個酉操作UA和UB已被分別同時作用在了2個目標態(tài)｜φ〉7和｜φ〉8上.因此，整個系統(tǒng)總態(tài)可表示為

4）Alice和 Bob 分別對粒子對（7，1）、（8，5）進行Bell測量，并告知彼此測量結果.測量結果以及對應的操作見表4.

表4 Alice和Bob測量所得結果以及相應的酉變換Tab.4 Alice and Bob's measurement results and corresponding operations

由表4可知，當Alice和Bob執(zhí)行聯(lián)合酉操作之后，都能得到如下塌縮態(tài)

顯然，Alice的酉操作UA已被成功執(zhí)行在Bob所在系統(tǒng)的量子態(tài)｜φ〉3上，與此同時，Bob的酉操作UB也被執(zhí)行在Alice所在系統(tǒng)的量子態(tài)｜φ〉2上.

因此，基于GHZ態(tài)與cluster態(tài)的雙向操作傳送方案成功完成.

1.3 比較與分析對上述2個方案（以下簡稱S1和S2）與文獻［25］中的2個雙向量子操作傳送（BQOT）協(xié)議（分別簡稱P1和P2），下面從資源消耗、使用的必要操作以及效率方面進行了比較.類似于文獻［27］，雙向量子操作傳送方案的本征效率定義為：

其中，P是方案成功的概率，q是用作量子信道的量子比特數(shù)，t是方案執(zhí)行過程中傳送的經典比特數(shù).

表5 4個BQOT方案之間的比較Tab.5 Comparison of four BQOT schemes

比較S1和S2.從表5可以看出：S1的量子信道為2個三粒子GHZ態(tài)，S2的量子信道為一個三粒子GHZ態(tài)和一個五粒子cluster態(tài)，S1的量子資源消耗更少，由于S1比S2消耗更少的經典資源，所以總的來說S1資源消耗比S2少；因為Bell測量往往可以分解為一個CNOT操作和一個Hadamard操作以及2個單粒子測量，故S1使用的必要操作比S2簡單；對于本征效率，S1為，而 S2為，所以S1的效率更高.綜合這幾方面，S1優(yōu)于S2.

把S1與P1，P2作比較，明顯S1使用的兩粒子酉操作比P1少，而且S1執(zhí)行了2次Bell測量和單粒子測量，P1則使用了3次Bell測量.綜合來講，S1使用的必要操作的比P1簡單.與P2相比，S1的資源消耗更少，效率更高.因此，對于實現(xiàn)任意單粒子酉操作的雙向傳送，S1較P1和P2更具有優(yōu)勢.

把S2與P2作比較.由表5可知，S2多用了2個單粒子酉操作和一個兩粒子酉操作，而2個方案消耗了相同的資源，都使用了4次Bell測量，并且2個方案的效率是相同的.從某種意義上來講，S2可以作為P2的一種候選方案.

討論S1和S2的實驗可行性.從方案的描述可以看出，S1和S2使用的所有酉操作都是局域性的：單量子比特操作和兩比特控制門，單粒子測量和Bell測量.而Bell測量，單量子比特操作和兩比特控制操作已經廣泛應用于許多量子系統(tǒng)，如離子阱系統(tǒng)［28-29］、光學系統(tǒng)［30-31］和 QED 系統(tǒng)［32-33］等等.因此，根據目前的實驗技術，這2個方案都是可行的.

2 結論

本文結合量子操作傳送和雙向隱形傳態(tài)的思想，利用不同的糾纏信道研究了雙向的量子操作傳送.通信雙方Alice和Bob可以同時傳送一個任意單粒子酉操作給對方，且2個方案都能以概率1完美實現(xiàn).隨后對2個方案進行了比較和分析，發(fā)現(xiàn)方案S1比S2消耗更少的資源，必要操作更簡單，效率更高，所以方案S1優(yōu)于S2.進一步地，與之前的雙向量子操作傳送協(xié)議P1和P2作比較，發(fā)現(xiàn)S1更具有優(yōu)勢，從某種意義上來講，S2可以作為P2的候選方案.最后，對2個方案的實驗可行性進行了說明.

本文提出的2個方案都是基于單比特酉操作的雙向傳送，那么是否可以基于多比特酉操作實現(xiàn)雙向傳送呢？同時，考慮到方案的安全性，能否增加受控方來抵抗內部和外部攻擊？另外，可以考慮三方循環(huán)的量子操作傳送協(xié)議，進而研究網絡結構的量子操作傳送理論.