盧佳佳，馮顯英*，杜付鑫，岳明君，屈梁成

(1.山東大學(xué) 機械工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250061；2.山東大學(xué) 高效潔凈機械制造教育部重點試驗室，山東 濟(jì)南 250061)

0 引 言

因具有減少患者創(chuàng)傷和出血量、縮短住院時間、術(shù)后恢復(fù)快等優(yōu)點，微創(chuàng)手術(shù)、單孔手術(shù)和自然孔口手術(shù)受到廣泛應(yīng)用[1]，這類手術(shù)通常是在體內(nèi)相對密閉的空間中來完成夾持、剪切、消融等任務(wù)。

由于缺乏足夠數(shù)量的自由度，傳統(tǒng)離散機械臂無法適用于狹窄擁擠的體內(nèi)環(huán)境[2]，由此推動部分學(xué)者們開始研究多冗余自由度、高靈活性和安全性的柔性機械臂。

柔性機械臂一般可分為兩種：軟體與連續(xù)體。(1)軟體機械臂大多是利用仿生技術(shù)，從行為或功能上模仿自然界中的生物，如章魚觸手、大象鼻子等，一般多由硅膠、橡膠等彈性材料制成[3-5]，其理論上具有無限自由度。(2)連續(xù)體機械臂通常是將若干個相同或相似單元兩兩串聯(lián)[6]，或者是在管狀材質(zhì)側(cè)壁切割出切槽[7]，與軟體機械臂相比，其具有有限個自由度，但承受負(fù)載能力、可操縱性優(yōu)于軟體機械臂。

連續(xù)體機械臂的多冗余度特征使其較傳統(tǒng)離散機械臂獲得了優(yōu)良靈活性，但同時也導(dǎo)致其正逆運動學(xué)求解變得困難。因此，許多學(xué)者采用不同方法對連續(xù)體機械臂的運動學(xué)問題進(jìn)行了深入研究。HANNAN和WALKER[8]提出了分段常曲率假設(shè)，并基于這個假設(shè)建立了驅(qū)動絲長度到機械臂末端位姿的正運動學(xué)映射；TANG等[9]同樣基于分段常曲率假設(shè)建立了驅(qū)動空間到工作空間的正運動學(xué)模型；文獻(xiàn)[10-11]針對所設(shè)計的切口式連續(xù)體機械臂基于懸臂梁理論建立了驅(qū)動力與機械臂末端位置之間的正逆運動學(xué)模型；GREIGARN等[12]使用了基于雅可比矩陣求解連續(xù)體機械臂逆運動學(xué)的方法；XU等[13]利用橢圓積分給出了多骨干連續(xù)體機械臂瞬時正運動學(xué)解析公式，建立了配置空間到工作空間的映射關(guān)系；文獻(xiàn)[14]提出了一種準(zhǔn)靜態(tài)條件下基于有限元方法的變曲率連續(xù)體機械臂正逆運動學(xué)求解方法，建立了驅(qū)動絲張力與末端位置的相互映射；文獻(xiàn)[15]利用Pythagorean Hodograph曲線建立了連續(xù)體機械臂末端位置到連續(xù)體機械臂長度的逆映射模型。

上述方法雖然在連續(xù)體運動學(xué)方面解決了部分問題，但均沒有推導(dǎo)出連續(xù)體機械臂末端位置到驅(qū)動絲長度的逆運動學(xué)解析解，使得運動學(xué)求解效率較低，不能滿足絲驅(qū)連續(xù)體機械臂實時控制的要求。

針對上述問題，筆者設(shè)計一種新型連續(xù)體機械臂。

1 連續(xù)體機械臂結(jié)構(gòu)設(shè)計

連續(xù)體機械臂設(shè)計如圖1所示。

圖1 連續(xù)體機械臂設(shè)計

圖1中，機械臂主體是由若干個中間單元、基座、末端單元和橡膠軟管組成，橡膠軟管作為骨架將所有單元依次串聯(lián)起來，每兩個單元之間通過球面接觸形成一個關(guān)節(jié)，關(guān)節(jié)的偏轉(zhuǎn)由驅(qū)動絲收放變化來控制。機械臂由兩組驅(qū)動絲控制其運動，驅(qū)動絲均勻分布在同一圓周上，一組驅(qū)動絲收放可控制機械臂在平面內(nèi)的正向和反向彎曲，兩組驅(qū)動絲同時收放可實現(xiàn)機械臂在XY平面內(nèi)任意一個方向的彎曲運動。

機械臂最大直徑為20 mm，末端可固定小型手術(shù)器械，通過控制機械臂運動能夠?qū)崿F(xiàn)手術(shù)器械在擁擠復(fù)雜人體環(huán)境下的安全定位。

2 運動學(xué)模型

運動學(xué)模型旨在建立起驅(qū)動絲長度與連續(xù)體機械臂末端位置之間的相互映射關(guān)系。首先，筆者建立了驅(qū)動空間、形態(tài)空間和工作空間，驅(qū)動空間包含驅(qū)動絲長度，形態(tài)空間包含機械臂彎曲角度和彎曲方向，工作空間包含機械臂末端位置。

正逆運動學(xué)映射建立過程均分兩步進(jìn)行，正運動學(xué)映射建立順序為“驅(qū)動空間—形態(tài)空間—工作空間”，逆運動學(xué)映射建立順序則與此相反。

2.1 正運動學(xué)模型

連續(xù)體機械臂關(guān)節(jié)是由兩個相鄰單元通過球面接觸構(gòu)成，連續(xù)體機械臂關(guān)節(jié)參數(shù)如圖2所示。

圖2 連續(xù)體機械臂關(guān)節(jié)參數(shù)

由相似原理可知：

(1)

(2)

式中：D—單元的最大直徑；d—驅(qū)動絲均勻分布的圓周直徑；H，H0—單元內(nèi)驅(qū)動絲長度和單元高度；Hb，db—單元的倒角尺寸；h，h0—關(guān)節(jié)無偏轉(zhuǎn)時兩個單元之間的驅(qū)動絲長度和間距。

當(dāng)關(guān)節(jié)在驅(qū)動絲平面內(nèi)偏轉(zhuǎn)θ角度時，根據(jù)幾何關(guān)系可推出：

(3)

式中：hl，hr—兩個單元間成中心對稱的兩根驅(qū)動絲長度。

假設(shè)連續(xù)體機械臂具有N個關(guān)節(jié)的，根據(jù)分段常曲率假設(shè)，每個關(guān)節(jié)偏轉(zhuǎn)角度相等，均為θ，則可得到：

(4)

式中：Ll，Lr—機械臂內(nèi)一組驅(qū)動絲長度；HB，HE—機械臂基座和末端單元高度；C—簡化變量，C=NH0+HB+HE。

由式(3，4)可推出：

(5)

關(guān)節(jié)的偏轉(zhuǎn)導(dǎo)致機械臂的彎曲運動，機械臂彎曲角度Θ可由下式得到：

Θ=Nθ

(6)

關(guān)節(jié)彎曲角度存在最大值，該值由關(guān)節(jié)的單元自身參數(shù)決定，可通過下式進(jìn)行計算：

(7)

連續(xù)體機械臂通過兩組驅(qū)動絲控制其彎曲運動，其截面如圖3所示。

圖3 連續(xù)體機械臂截面P1，P2，P3，P4—兩組驅(qū)動絲位置；在虛軸X′上的等效點

假設(shè)機械臂沿與X軸夾角為Φ的方向彎曲，則機械臂內(nèi)兩組驅(qū)動絲的長度可由下式計算得到：

(8)

由公式(8)可推出Φ和Θ的計算公式：

(9)

(10)

至此，驅(qū)動空間到形態(tài)空間映射關(guān)系求解完畢。形態(tài)空間到工作空間的映射可通過D-H法建立。

連續(xù)體機械臂D-H坐標(biāo)系如圖4所示。

圖4 連續(xù)體機械臂D-H坐標(biāo)系

D-H坐標(biāo)系包含基座坐標(biāo)系{B}、末端坐標(biāo)系{E}和0～N號關(guān)節(jié)坐標(biāo)系。

假設(shè)每個關(guān)節(jié)的偏轉(zhuǎn)角度為θ，彎曲方向為Φ，第i個關(guān)節(jié)的D-H參數(shù)如表1所示。

表1 第i個關(guān)節(jié)的D-H參數(shù)

根據(jù)所建立的D-H坐標(biāo)系，可列出第i-1號關(guān)節(jié)坐標(biāo)系變換到第i號關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的D-H參數(shù)。將以上運動序列的齊次變換矩陣依次相乘，可得到兩個相鄰關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的齊次變換矩陣：

i-1Ti=

(11)

式中：Sθ，Cθ，SΦ，CΦ—簡化變量，Sθ=sinθ，Cθ=cosθ，SΦ=sinΦ，CΦ=cosΦ。

對連續(xù)體機械臂N+3個坐標(biāo)系變換運用鏈?zhǔn)椒▌t，即可得到{B}與{E}之間的齊次變換矩陣：

(12)

(13)

機械臂末端位置可用P=(x,y,z)T表示，其中：x,y,z—表征末端位置的笛卡爾坐標(biāo)系三維坐標(biāo)，并且有：

(14)

至此，形態(tài)空間到工作空間的映射關(guān)系求解完畢，連續(xù)體機械臂正運動學(xué)模型建立完成，得到了機械臂末端位置的解析解；給定驅(qū)動絲長度，即可求解出連續(xù)體機械臂末端位置。

2.2 逆運動學(xué)模型

逆運動學(xué)映射旨在求解機械臂末端位置到驅(qū)動絲長度的映射關(guān)系，逆運動學(xué)映射建立過程與正運動學(xué)映射相反，因此，首先要求解工作空間到形態(tài)空間逆運動學(xué)映射關(guān)系。

工作空間到形態(tài)空間映射如圖5所示。

圖5 工作空間到形態(tài)空間映射

(15)

(16)

(17)

把式(16)代入式(17)，經(jīng)化簡可得到：

(18)

式中：C0—簡化變量,C0=HE-HB-H。

式(18)共有一個實數(shù)解和兩個非實數(shù)解，舍去其非實數(shù)解，即可得到連續(xù)體機械臂彎曲角度Θ的逆運動學(xué)計算公式：

(19)

至此，工作空間到形態(tài)空間的映射關(guān)系求解完畢，形態(tài)空間到驅(qū)動空間的映射關(guān)系已由式(8)建立。連續(xù)體機械臂逆運動學(xué)模型建立完成，得到了如式(8，15，19)的逆運動學(xué)解析解；給定末端位置，即可求解所需驅(qū)動絲長度。

3 實驗及結(jié)果分析

實驗系統(tǒng)組成如圖6所示。

圖6 實驗系統(tǒng)組成

該實驗系統(tǒng)主要由連續(xù)體機械臂、舵機、控制器、上位機和Hikvision相機組成。

圖6中，右下角為實驗所采用的連續(xù)體機械臂；材料為DSM樹脂，主體長度為85 mm。

連續(xù)體機械臂設(shè)計參數(shù)如表2所示。

表2 連續(xù)體機械臂設(shè)計參數(shù)

為方便測量機械臂末端位置坐標(biāo)，機械臂末端固定了一個直徑10 mm的白色透光小球。驅(qū)動絲采用超軟鋼絲，直徑為0.5 mm，一端固定在機械臂末端，另一端固定在繞線盤上，每個繞線盤上固定一根驅(qū)動絲，實驗中由舵機帶動繞線盤轉(zhuǎn)動定量改變驅(qū)動絲長度。利用Hikvision相機測量機械臂末端位置坐標(biāo)，實驗前已對相機進(jìn)行標(biāo)定，精度為±0.1 mm。

為使連續(xù)體機械臂運動更符合分段常曲率假設(shè)，實驗中使用潤滑脂對機械臂關(guān)節(jié)進(jìn)行了潤滑。實驗過程中，依次改變驅(qū)動絲長度，使末端小球球心到達(dá)理論點附近，然后利用相機測量末端位置坐標(biāo)。

實驗誤差絕對值如圖7所示。

圖7 實驗誤差絕對值

圖7中，方形標(biāo)記、星形標(biāo)記、圓形標(biāo)記和菱形標(biāo)記分別表示距離誤差、X軸方向誤差、Y軸方向誤差、Z軸方向誤差。實驗結(jié)果表明，位置平均誤差小于2.56 mm，并且均方根誤差最大不超過1.18 mm，分別占機械臂總長度2.57%和1.18%。

實驗誤差主要來自于以下原因：(1)由于機械臂的制造誤差使得機械臂的實際運動不滿足分段常曲率假設(shè)；(2)實驗裝置剛度不足導(dǎo)致驅(qū)動絲實際變化長度與理論計算值不符；(3)相機測量誤差。

4 結(jié)束語

筆者提出了一種絲驅(qū)動連續(xù)體機械臂，該連續(xù)體機械臂具有兩個彎曲自由度，能實現(xiàn)較大的彎曲變形；基于分段常曲率假設(shè)，通過將正逆運動學(xué)映射過程分別分成兩步進(jìn)行，建立了驅(qū)動絲長度、機械臂彎曲方向和彎曲角度與機械臂末端位置三者之間的相互映射關(guān)系；并結(jié)合D-H法和幾何分析法，建立了連續(xù)體機械臂正逆運動學(xué)模型，推導(dǎo)出了正逆運動學(xué)解析公式。

實驗結(jié)果表明，平均實驗誤差不超過2.56 mm，約為機械臂總長度的2.57%。實驗結(jié)果表明，所提出運動學(xué)模型具有有效性，并可應(yīng)用于類似的連續(xù)體機械臂運動學(xué)求解。但由于樹脂材料加工的局限性，導(dǎo)致機械臂結(jié)構(gòu)尺寸和關(guān)節(jié)間摩擦力較大，降低了機械臂運動精度。

下一步筆者將通過更換金屬材料以減小機械臂尺寸和關(guān)節(jié)間摩擦力，并尋求建立更加精確的運動估計模型，以提高機械臂的運動控制精度。