蔡 吟，張純潔,2

(1.杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018；2.浙江大學(xué)出版社期刊分社，浙江 杭州 310007)

0 引 言

在高維歐式空間上，首先由P.Sj?lin[3]和L.Vega[4]分別證明：當(dāng)s>1/2時(shí)，對(duì)任意n，極限均成立。更精確的結(jié)果由S.Lee[5]和J.Bourgain[6]給出：當(dāng)s>1/2-1/4n時(shí)，對(duì)任意n≥2，極限均成立，其中，n=2時(shí)的結(jié)果由文獻(xiàn)[5]用雙線性限制法得到，n≥3的結(jié)果由文獻(xiàn)[6]用多線性法得到。

1 主要命題及證明

命題的證明需要用到以下引理：

引理[11]設(shè)g∈L2(Sn-1)，則當(dāng)a>1時(shí)，

定理1當(dāng)a≥2時(shí)，

(1)

當(dāng)a>1,α>1/2時(shí)，

(2)

證明利用極坐標(biāo)變換及變量替換，

其中，i為虛部單位。由Fourier逆變換公式，

利用Plancherel定理，有

(3)

注意到f∈Hs(Rn)，從而根據(jù)引理可知，式(3)不超過(guò)

(4)

最后再作變量替換及極坐標(biāo)變換，式(4)不大于

因此當(dāng)a≥2時(shí)，

再利用Plancherel定理，有

再用相同的方法化簡(jiǎn)得到：

注意到，a>1,α>1/2，因此

證畢。

利用定理1結(jié)論可得到定理2：極大Schr?dinger算子的有界性。

定理2當(dāng)b≥2時(shí)，對(duì)任意s≥1/2，有

其中，u*(x)=supt|u(x,t)|。

證明首先，利用式(1)在a=2時(shí)的結(jié)論，對(duì)于任意b≥2，有：

另外對(duì)任意b≥2，選取合適的正整數(shù)p,q，借助對(duì)應(yīng)均值不等式

并取α充分靠近1/2，使之滿足1

因此，當(dāng)u(x,t)∈Hα(R)時(shí)，借助Plancherel定理，可得：

證畢。

最后再用極大函數(shù)法，即可獲得u(x,t)(t→0)在f∈Hs(Rn),s>1/2上的逐點(diǎn)收斂性。

2 結(jié)束語(yǔ)

Schr?dinger方程是調(diào)和分析中的一個(gè)重要內(nèi)容，關(guān)于其逐點(diǎn)收斂到初值問(wèn)題的解的研究有很多。本文主要是針對(duì)文獻(xiàn)[11]中指出文獻(xiàn)[4]中的證明細(xì)節(jié)問(wèn)題，利用極大Schr?dinger算子的加權(quán)不等式，對(duì)文獻(xiàn)[4]的證明做了適當(dāng)?shù)男拚?。從證明過(guò)程可以看出：修正之后，Schr?dinger方程的逐點(diǎn)收斂性依然成立。