耿 新，孫忠廷，尚文武，柏建軍,2

(1.杭州電子科技大學(xué)自動化學(xué)院，浙江 杭州 310018;2.浙江省物聯(lián)感知與信息融合技術(shù)重點實驗室，浙江 杭州 310018)

0 引 言

輪式移動機(jī)器人具有易于操作、機(jī)動靈活等特點，廣泛應(yīng)用于生活服務(wù)業(yè)、安全防御及自動化生產(chǎn)車間等眾多領(lǐng)域。實際應(yīng)用中，軌跡跟蹤控制是研究輪式機(jī)器人運(yùn)動控制的重要部分，軌跡跟蹤是指移動機(jī)器人在閉環(huán)反饋控制器的作用下，從初始位置開始以期望的速度和角速度實時跟蹤給定的參考軌跡。輪式移動機(jī)器人是一種典型的非完整約束系統(tǒng)，其具有非線性、強(qiáng)耦合、多輸入多輸出及參數(shù)不確定等特點，連續(xù)的狀態(tài)反饋控制方法已經(jīng)無法滿足實際的軌跡跟蹤控制要求[1]。另一方面，滑?？刂仆ㄟ^控制律的切換，使系統(tǒng)的狀態(tài)到達(dá)并維持在滑模面上，具有較好的魯棒性和快速響應(yīng)性，已廣泛應(yīng)用于輪式移動機(jī)器人的軌跡跟蹤控制中。文獻(xiàn)[2]在系統(tǒng)不受干擾的情況下，設(shè)計了一種新穎的滑模軌跡跟蹤控制器，該控制器使得位置和方向跟蹤誤差都在有限時間內(nèi)收斂到0，但是控制器輸出變量存在抖振。文獻(xiàn)[3]研究移動機(jī)器人車輪打滑情況下的運(yùn)動學(xué)模型，采用自抗擾和反步控制技術(shù)對車輪打滑擾動進(jìn)行估計和補(bǔ)償，提高了軌跡跟蹤的精度，但缺乏對車輪打滑干擾的精確估計。文獻(xiàn)[4]通過雙冪次趨近律滑模軌跡跟蹤控制器來削弱抖振并克服外部干擾對系統(tǒng)性能的影響，提高了系統(tǒng)收斂速率。文獻(xiàn)[5]將特殊冪次函數(shù)和反雙曲正弦函數(shù)相結(jié)合，給出一種收斂性能和抖振均優(yōu)于雙冪次趨近律的新趨近律。文獻(xiàn)[6]同時考慮運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)模型，設(shè)計了基于反步法設(shè)計軌跡跟蹤控制器，但忽略了動力學(xué)模型中的不確定因素。文獻(xiàn)[7]在存在擾動的軌跡跟蹤控制系統(tǒng)中，運(yùn)用模糊控制規(guī)則來調(diào)節(jié)快速雙冪次趨近律的參數(shù)，達(dá)到較好的跟蹤效果，但是系統(tǒng)存在抖振。上述文獻(xiàn)研究的是移動機(jī)器人的質(zhì)心與幾何中心完全重合情況下的軌跡跟蹤控制問題。在實際應(yīng)用中，由于移動機(jī)器人結(jié)構(gòu)設(shè)計、工藝制作、負(fù)載安裝等導(dǎo)致機(jī)器人幾何形狀不規(guī)則、質(zhì)量分布不均勻，機(jī)器人質(zhì)心與幾何中心是不重合的。文獻(xiàn)[8-9]研究了移動機(jī)器人質(zhì)心與幾何中心不重合情況下的軌跡跟蹤控制問題，但軌跡跟蹤誤差的收斂速度較慢。針對該問題，本文基于雙冪次趨近律設(shè)計了一種新的滑模軌跡跟蹤控制器，提高了軌跡跟蹤系統(tǒng)的收斂速度。

1 運(yùn)動學(xué)及軌跡誤差模型

移動機(jī)器人的結(jié)構(gòu)模型如圖1所示。以地面為參考系建立全局坐標(biāo)系XOY，以移動機(jī)器人為參考系建立移動機(jī)器人坐標(biāo)系xoy，2為y軸方向2個驅(qū)動輪之間的距離，2r為驅(qū)動輪直徑，d為移動機(jī)器人質(zhì)心o與驅(qū)動輪軸在x軸方向的距離，θ為移動機(jī)器人行駛方向與水平方向的夾角。設(shè)在XOY坐標(biāo)下給定的參考軌跡位姿坐標(biāo)為參考軌跡的線速度和角速度為νr，ωr。移動機(jī)器人的實際位姿坐標(biāo)為速度和角速度為ν，ω。

圖1 移動機(jī)器人的結(jié)構(gòu)模型

移動機(jī)器人的質(zhì)心與幾何中心不重合的情況下，當(dāng)移動機(jī)器人不存在橫向滑動時，移動機(jī)器人行駛方向沿著輪軸垂直方向，在輪軸方向沒有速度分量時，存在如下約束方程[10]：

(1)

在式(1)約束條件下得到移動機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)模型：

(2)

移動機(jī)器人的軌跡跟蹤誤差模型如下：

(3)

對式(3)進(jìn)行求導(dǎo)，結(jié)合式(2)整理可得移動機(jī)器人的軌跡誤差模型：

(4)

2 快速軌跡跟蹤控制器

本文的設(shè)計基于軌跡跟蹤誤差模型，通過選取適當(dāng)?shù)幕Ｃ?，然后基于雙冪次趨近律來設(shè)計軌跡跟蹤的滑模控制器，使得系統(tǒng)軌跡跟蹤誤差快速收斂到0。

2.1 控制器設(shè)計

選取滑模面s1，s2如下：

s1=θe

(5)

s2=k1xe-k2ωrye

(6)

式中，k1，k2>0，ωr≠0且為常數(shù)。對式(5)、式(6)求導(dǎo)得：

(7)

(8)

式(5)、式(6)滿足如下雙冪次趨近律：

(9)

(10)

式中，α11，α12，α21，α22>0且為常數(shù)；p11q12，p21q22，均為正奇數(shù)，sign(x)為符號函數(shù)。

聯(lián)立式(4)、式(7)、式(9)得到軌跡跟蹤角速度控制器：

(11)

當(dāng)滑模面s1=θe在有限時間內(nèi)趨于0時，得到ω=ωr。在此情況下聯(lián)立式(4)、式(8)、式(10)得到軌跡跟蹤速度控制器：

(12)

2.2 系統(tǒng)的收斂時間分析

不失一般性，假設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)si(0)>1，i=1，2，將系統(tǒng)從初始狀態(tài)到滑模面的收斂過程分為2個階段，第一階段從初始狀態(tài)si(0)到si=1，第二階段從si=1到滑模面[11]。首先證明滑模面s1=θe在有限時間內(nèi)趨于0。

系統(tǒng)從初始狀態(tài)s1(0)>1到s1=1階段，由于|s1|>1，p12/q12>1，所以系統(tǒng)中第二項對收斂效果起主要作用，忽略第一項，系統(tǒng)為：

(13)

由式(13)可得：

(14)

兩邊移項求定積分，得：

(15)

由式(15)解得系統(tǒng)從初始狀態(tài)s1(0)>1到s1=1的時間為：

(16)

由于忽略了系統(tǒng)中趨近律的第一項，故滑模面s1=θe在第一階段的實際收斂時間小于t1。

系統(tǒng)從s1=1到滑模面階段，由于|s1|<1，0

(17)

由式(17)可得：

(18)

兩邊移項求定積分，得：

(19)

由式(19)解得系統(tǒng)從s1=1到達(dá)滑模面階段的時間為：

(20)

由于忽略了系統(tǒng)中趨近律的第二項，故滑模面s1=θe在第二階段的實際收斂時間小于t2。

因此s1從初始狀態(tài)到滑模面的收斂時間不大于

ts1=t2+t1

(21)

當(dāng)初始狀態(tài)s1(0)<-1時，系統(tǒng)收斂到滑模面的時間同樣分為2個階段：從初始狀態(tài)到s1=-1和從s1=-1到滑模面，分析與計算原理與系統(tǒng)初始狀態(tài)s1(0)>1相同。

同理可證滑模面s2=k1xe-k2ωrye在有限時間內(nèi)趨于0，并記s2收斂時間為ts2。

當(dāng)時間t>ts1+ts2時，s1，s2收斂到0，此時

(22)

此時式(4)可簡化為：

(23)

取Lyapunov函數(shù)

(24)

求導(dǎo)可得：

(25)

所以，當(dāng)ωr≠0且為常數(shù)時，xe漸近收斂到0。由式(6)可得：

(26)

由于xe漸近收斂到0，滑模面s2，s1均已證明在有限時間內(nèi)收斂到0，因此ye也漸近收斂到0。綜上可知：系統(tǒng)在基于雙冪次趨近律的滑模控制器作用下，軌跡跟蹤誤差xe，ye漸近收斂到0，θe在有限時間內(nèi)收斂到0。

3 仿真結(jié)果及分析

為了驗證本文設(shè)計的控制律的有效性，通過MATLAB軟件對軌跡誤差收斂性和參考軌跡跟蹤性能進(jìn)行仿真。選取參考速度νr=2.6 m/s，參考角速度ωr=0.4 rad/s。給定跟蹤機(jī)器人初始位姿為[2.7 1.0 -1.0]T，參考軌跡初始位姿為[2.0 1.0 2.0]T，d=0.25 m。分別選取參數(shù)α11=9，α12=0.3，α21=9，α22=0.2，p11=9，p12=9，p21=9，p22=9，q11=11，q12=5，q21=13，q22=5，k1=0.19，k2=16。仿真結(jié)果如圖2—4所示。

圖2 軌跡跟蹤誤差曲線

由圖2可以看出：軌跡跟蹤誤差能夠在0.5 s內(nèi)收斂到0；圖3為控制速度的變化圖，圖4為實際軌跡與參考軌跡的對比圖，可以看出：移動機(jī)器人在雙冪次趨近律滑模軌跡跟蹤控制器ν和ω的作用下，機(jī)器人能夠很好地跟蹤參考軌跡。

圖3 趨近律輸出變量變化曲線

圖4 圓形參考軌跡跟蹤曲線

為了進(jìn)一步驗證本文設(shè)計的控制律的有效性，采用本文設(shè)計的控制器與文獻(xiàn)[9]方法進(jìn)行對比，本文控制器的參數(shù)同上。選取與文獻(xiàn)[9]相同的參考速度νr=1 m/s、參考角速度ωr=1 rad/s、機(jī)器人初始位姿[0 0 0]T和參考軌跡初始位姿[1 1 π/4]T。系統(tǒng)軌跡跟蹤誤差xe，ye，θe仿真對比結(jié)果如圖5—7所示。

圖5 xe誤差曲線對比圖

圖6 ye誤差曲線對比圖

圖7 θe誤差曲線對比圖

由圖5—7可以看出：本文設(shè)計的雙冪次趨近律滑模控制器控制的軌跡跟蹤誤差xe，ye，θe收斂速度明顯快于文獻(xiàn)[9]，說明本文設(shè)計的控制系統(tǒng)具有良好的軌跡跟蹤性能。綜上可知，系統(tǒng)對不同參考速度和角速度進(jìn)行軌跡跟蹤，移動機(jī)器人軌跡跟蹤誤差能較快收斂到0。

4 結(jié)束語

本文研究了輪式移動機(jī)器人的軌跡跟蹤問題，提出一種基于雙冪次趨近律的快速滑模軌跡跟蹤控制方案。在機(jī)器人質(zhì)心與幾何中心不重合的情況下，采用雙冪次趨近律設(shè)計滑?？刂破?，保證系統(tǒng)軌跡跟蹤誤差快速收斂到0，提高了系統(tǒng)的跟蹤性能。但是，本文只考慮輪式移動機(jī)器人的角速度不為0的情況，下一步將針對角速度為0的情況展開進(jìn)一步研究。