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        任意多邊形上基于ADMM的最小二乘坐標(biāo)

        2020-09-18 03:16:18范俠麗王偉娜鄧重陽李亞娟
        關(guān)鍵詞:剖分調(diào)和多邊形

        范俠麗,王偉娜,鄧重陽,李亞娟

        (杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310018)

        0 引 言

        重心坐標(biāo)是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)重要研究方向,由A.F.Mobius于1827年首次提出,應(yīng)用于圖像和幾何處理以及其他相關(guān)領(lǐng)域,如網(wǎng)格參數(shù)化[1]、網(wǎng)格變形[2]、形狀變形[3]和合成[4]等。近年來,眾多學(xué)者提出了許多不同的重心坐標(biāo)構(gòu)造方法。E.L.Wachspress[5]在廣義有限元方法的背景下,提出一種有理重心坐標(biāo)函數(shù)的構(gòu)造方法,在凸多邊形上,有效計(jì)算Wachspress坐標(biāo),但在任意簡(jiǎn)單多邊形上并沒有明確的定義。M.S.Floater[6]在網(wǎng)格參數(shù)化的背景下,提出均值坐標(biāo),在任意簡(jiǎn)單多邊形上都有明確的定義,但在凹多邊形內(nèi)部的部分點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生負(fù)均值坐標(biāo),不滿足非負(fù)性。隨后,為了使得到的坐標(biāo)滿足非負(fù)性,基于優(yōu)化方法的重心坐標(biāo)得到了很大的發(fā)展。P.Joshi等[7]基于帶有特定邊界條件的Laplace方程的標(biāo)準(zhǔn)有限元離散化方法,提出了調(diào)和坐標(biāo)。Zhang J.Y.等[8]基于最小化全變差模型,提出了局部重心坐標(biāo)。相對(duì)于調(diào)和坐標(biāo),局部坐標(biāo)具有更好的局部支撐性。調(diào)和坐標(biāo)和局部重心坐標(biāo)雖然能夠很好地保證非負(fù)性,但均涉及到區(qū)域的三角剖分,不同的三角剖分結(jié)果往往會(huì)產(chǎn)生不同的重心坐標(biāo)[9]。為了克服上述局限性,本文提出一種適用于任意簡(jiǎn)單多邊形的廣義重心坐標(biāo),通過最小化基于2正則化模型的最小二乘目標(biāo)函數(shù)來計(jì)算,得到的坐標(biāo)是非負(fù)的、光滑的。更重要的是,本文提出的最小二乘坐標(biāo)不依賴于三角剖分。

        1 最小二乘坐標(biāo)

        設(shè)Ω?R2是一個(gè)以v1,v2,…,vn,n≥3為頂點(diǎn)的多邊形。若對(duì)任意v∈Ω,存在函數(shù)λi:Ω→R,i=1,…,n滿足

        (3)非負(fù)性:λi(v)≥0。

        則稱λi(v)為定義在Ω上的廣義重心坐標(biāo)。

        此外,為了保證插值的效果和實(shí)際應(yīng)用的需要,坐標(biāo)函數(shù)λi還需要具備以下性質(zhì):

        (2)線性:λi(v)在邊上是線性的;

        (3)光滑性:λi(v)在Ω上平滑變化。

        在以上性質(zhì)中,非負(fù)性保證插值函數(shù)可表示為原始數(shù)據(jù)的凸組合,從而避免出現(xiàn)與拖曳方向反方向的變形;拉格朗日性和線性保證插值函數(shù)有效地插值邊界;坐標(biāo)的光滑性保證了插值效果的光滑性。

        1.1 模型提出

        令vi,i=1,…,n為n邊多邊形的頂點(diǎn),v為多邊形內(nèi)部任意一點(diǎn)。對(duì)所有的坐標(biāo)函數(shù)而言,最小化2-范數(shù)的和,并且該坐標(biāo)函數(shù)滿足線性重構(gòu)性、單位性、非負(fù)性:

        (1)

        1.2 角平分線法

        為了使求得的坐標(biāo)滿足拉格朗日性和線性,首先對(duì)多邊形的頂點(diǎn)vi,i=1,…,n作一系列的線性變化,這個(gè)變換方法稱為角平分線法。

        由于對(duì)式(1)中的頂點(diǎn)vi進(jìn)行了一系列的線性變換,故與式(1)等價(jià)的模型如下:

        滿足:

        (2)

        由于模型(2)是一個(gè)帶有線性約束和不等式約束的凸優(yōu)化問題,可以使用ADMM算法去求解。

        在此,引入輔助變量y和聲明變量δ(yi):

        所以,模型(2)等價(jià)于

        滿足:

        (3)

        1.3 模型實(shí)現(xiàn)

        由于模型(3)具有可分離的目標(biāo)函數(shù)和線性約束,而ADMM算法可用于處理帶有線性和不等式約束的凸問題,所以,用ADMM算法進(jìn)行求解。對(duì)于模型(3),定義下面的增廣拉格朗日函數(shù):

        (4)

        (5)

        等價(jià)于

        (6)

        (7)

        給出。

        2 實(shí)驗(yàn)和分析

        一般情況下,局部重心坐標(biāo)需要對(duì)區(qū)域進(jìn)行三角剖分,使得三角剖分頂點(diǎn)包括域內(nèi)部的采樣點(diǎn)以及所有的控制頂點(diǎn)。計(jì)算調(diào)和坐標(biāo)也需要對(duì)區(qū)域構(gòu)造一個(gè)密集的三角剖分。與局部重心坐標(biāo)和調(diào)和坐標(biāo)不同,本文提出的最小二乘坐標(biāo)不需要對(duì)區(qū)域進(jìn)行三角化,這使得對(duì)重心坐標(biāo)的求解更加容易。另一方面,最小二乘坐標(biāo)是非負(fù)的,保證了重心插值的凸包性。

        最小二乘坐標(biāo)、均值坐標(biāo)、調(diào)和坐標(biāo)在凸、凹頂點(diǎn)坐標(biāo)函數(shù)的比較如圖1、圖2所示。從圖1、圖2可以看出:圖1凸頂點(diǎn)的均值坐標(biāo)在L型多邊形的灰色區(qū)域內(nèi)為負(fù)值,最小二乘坐標(biāo)和調(diào)和坐標(biāo)一樣,是非負(fù)且光滑的。另外,在計(jì)算時(shí)間方面,調(diào)和坐標(biāo)的運(yùn)行效率相對(duì)較快,但它需要預(yù)先進(jìn)行三角剖分,所以其結(jié)果受到不同剖分方法的影響;而最小二乘坐標(biāo)不需要進(jìn)行剖分,結(jié)果比較穩(wěn)定。

        圖1 L型多邊形凸頂點(diǎn)的重心坐標(biāo)

        圖2 L型多邊形凹頂點(diǎn)的重心坐標(biāo)

        圖3、圖4進(jìn)一步展示了在十邊形、十三邊形上所得到的最小二乘坐標(biāo)例子。從圖中可以看出,最小二乘坐標(biāo)滿足非負(fù)性、光滑性、拉格朗日性、線性等性質(zhì)。圖5展示了在圖像變形中,通過改變多邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)來實(shí)現(xiàn)最小二乘坐標(biāo)變換的應(yīng)用實(shí)例。圖5中,4個(gè)黑色實(shí)心點(diǎn)為四邊形的控制頂點(diǎn),通過改變四邊形頂點(diǎn)的位置,來實(shí)現(xiàn)花朵的變形。

        圖3 十邊形中個(gè)別頂點(diǎn)的最小二乘坐標(biāo)實(shí)例

        圖4 十三邊形中個(gè)別頂點(diǎn)的最小二乘坐標(biāo)實(shí)例

        圖5 最小二乘坐標(biāo)的圖像變形

        3 結(jié)束語

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