卓書芳，黃宴委，何用輝，郭世南

(1.福建信息職業(yè)技術(shù)學院 自動化工程系，福建 福州 350003；2.福州大學 電氣工程與自動化學院，福建 福州350116)

MEMS陀螺儀是一種新興的慣性角速率傳感器，以其極小體積質(zhì)量、極低成本功耗的優(yōu)點，已在慣性導航、汽車工業(yè)、生物科技和消費終端等領(lǐng)域得到大量應(yīng)用[1-2]。然而，由于微加工帶來的機械耦合、不等彈性、熱力學噪聲、尺度效應(yīng)、微弱信號檢測等技術(shù)約束，大多數(shù)商用MEMS陀螺僅限于速率級水平[3]，仍屬于中低精度的慣性器件，因此從不同途徑提高角速率檢測精度成為研究熱點。

在MEMS陀螺的常規(guī)操作模式下，要求激勵電壓與驅(qū)動模態(tài)/敏感模態(tài)諧振。顯然，這種一軸驅(qū)動一軸檢測的操作模式存在本質(zhì)缺陷：為削弱驅(qū)動模態(tài)上的耦合哥氏力，要求敏感模態(tài)振幅約為驅(qū)動模態(tài)的千分之一，這不利于信號檢測[4]。為此，Park 等[5]率先提出一種全新的MEMS陀螺驅(qū)動檢測原理，將力反饋控制思想和自適應(yīng)控制中的持續(xù)激勵理論結(jié)合應(yīng)用在MEMS陀螺的雙軸閉環(huán)控制中，將陀螺的測量問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)估計問題。在Park等操作模式啟發(fā)下，James等[6]提出了一種新概念三軸MEMS陀螺結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)理論上用一個振動質(zhì)量塊即可檢測三個軸向的角速度。在這種新概念三軸陀螺的研究中，F(xiàn)ei等[7]應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊邏輯[8]補償系統(tǒng)的參數(shù)不確定性和阻尼剛度耦合。而王偉等[9]則關(guān)注了力電換能過程中的扇區(qū)有界非線性效應(yīng)，應(yīng)用自適應(yīng)控制對扇區(qū)下界進行估計補償。本文在上述基礎(chǔ)上，研究力電換能過程中的死區(qū)效應(yīng)，采用兩個耦合 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分別逼近執(zhí)行器死區(qū)的逆和經(jīng)過死區(qū)后的不可測控制力。穩(wěn)定性分析中權(quán)值矩陣的更新采用弱耦合自適應(yīng)律實現(xiàn)，利用比例微分滑模面實現(xiàn)陀螺三軸的軌跡跟蹤。

1 三軸MEMS陀螺動力學及死區(qū)建模

1.1 三軸MEMS陀螺動力學模型

常規(guī)MEMS陀螺的z方向懸空，而文獻[6]所提的新概念結(jié)構(gòu)在z軸方向分別添加驅(qū)動和敏感模塊，如圖1所示。

圖1 單質(zhì)量塊三軸MEMS陀螺儀概念圖Fig.1 Conceptual structure drawing of single-mass MEMS triaxial gyroscope

考慮不理想的陀螺正交耦合，三軸MEMS陀螺的動力學方程可以用如下的二階線性常微分方程組表示:

(1)

式中：Ux,Uy,Uz表示三個軸向的再平衡控制；Cxx,Cyy,Czz為三個軸向的等效阻尼項；Kxx,Kyy,Kzz為三個軸向的等效剛度項;假設(shè)機械正交耦合導致對稱的阻尼項Cxy,Cxz,Cyz和剛度項Kxy,Kxz,Kyz；Ωx,Ωy,Ωz是三個軸向的外部載體角速度。

參考文獻[10]，對上式的動力學模型進行無量綱化處理，得無量綱化的矩陣系數(shù)方程為

(2)

式中

1.2 三軸MEMS陀螺驅(qū)動梳齒的死區(qū)模型

MEMS陀螺儀三軸的驅(qū)動梳齒死區(qū)特性如圖2所示。其數(shù)學表達式為

圖2 未知不對稱死區(qū)Fig.2 Unknown asymmetric dead zone

其中：wi為陀螺驅(qū)動梳齒的電壓輸入；ui為相應(yīng)驅(qū)動梳齒生成的驅(qū)動；H(wi)和G(wi)分別表示正負死區(qū)的未知連續(xù)特性；di-和di+分別表示死區(qū)的負邊界和正邊界。補償思路為死區(qū)逆模型串聯(lián)理想控制器，其中死區(qū)逆模型D-1(wi)利用RBF補償網(wǎng)絡(luò)進行局部反饋獲取。死區(qū)逆模型假設(shè)為

(3)

式中v為理想控制器輸出。從而有

D(D-1(v))=v

(4)

控制的目的是希望驅(qū)動梳齒的輸出u近似等于理想控制器輸出v?？紤]實際應(yīng)用，兩個假設(shè)如下：

假設(shè)1 驅(qū)動梳齒的死區(qū)輸出u不可測。

假設(shè)2 死區(qū)參數(shù)的真實值H(w),G(w),d-和d+都是未知，H(u)和G(u)在規(guī)定區(qū)域內(nèi)為單調(diào)可逆增函數(shù)，d-<0,d+>0,H(w)>0,G(w)<0。

2 基于自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的三軸MEMS陀螺死區(qū)補償設(shè)計

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補償器的基本原理如圖3所示。

圖3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補償器原理圖Fig.3 Schematic diagram of neural network compensator

其中,v為理想控制器生成的控制信號,w為死區(qū)補償后的實際控制輸入,u為經(jīng)過驅(qū)動梳齒后作用到檢測質(zhì)量塊的物理控制力。

由圖3可知

(5)

式(5)的死區(qū)逆可等效表示為

D-1(v)=v+vNN

(6)

式中

(7)

利用RBF網(wǎng)絡(luò)的無限逼近特性可得：

(8)

(9)

(10)

式中：w,v分別為兩個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入信號；j為隱層節(jié)點的個數(shù)；hj為高斯基函數(shù)的輸出；W1,W2分別為補償不確定性和補償死區(qū)的理想權(quán)值；ε1,ε2為兩個網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差。根據(jù)u,vNN的表達式，兩個RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出可分別表示為：

(11)

(12)

(13)

假設(shè)3 兩個權(quán)值矩陣范數(shù)有界，且滿足‖W1‖F(xiàn)≤γ1,‖W2‖F(xiàn)≤γ2。

假設(shè)4 兩個網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差范數(shù)有界，且滿足‖ε1(w)‖≤δ1,‖ε2(v)‖≤δ2。

(14)

(15)

(16)

式中：L(ξ)為一階泰勒展開的拉格朗日項；符號°表示Hadamard乘積。

證明：

式(5)代入式(8)，得

(17)

而根據(jù)式(4)和式(6)，得

v=D(D-1(v))=D(v+vNN)

參考式(9)，式(17)為

(18)

定義

(19)

式中拉格朗日余項為

(20)

將式(19)和式(20)代入式(18)，并將b(t)代入，得

參考式(5)和式(13)，上式為

(21)

式(21)兩邊同時加ε1w并移項整理，得

將式(15)的‖d(t)‖和式(8)代入上式，得

即

d(t)

證畢。

定理2 向量d(t)范數(shù)有界，且滿足

(22)

式中β1—β4均是正常值，其具體表達式如下：

(23)

證明：

‖b(t)‖+‖ε1(w)‖

(24)

參考假設(shè)3中的‖W1‖F(xiàn)≤γ1,‖W2‖F(xiàn)≤γ2，式(24)為

‖W1‖F(xiàn)‖L(ξ)‖+‖ε1(v+vNN)‖+

‖ε1(w)‖

(25)

參考式(20)和假設(shè)4，式(25)為

證畢。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補償器中權(quán)值矩陣的傳統(tǒng)自適應(yīng)律分別設(shè)計為：

(26)

(27)

式中：S,T分別為正定對稱陣，滿足ST=S,TT=T；正常數(shù)κ1≥0,κ2≥0；s是三軸滑模面組成的向量。

針對式(2)的三軸陀螺狀態(tài)方程，考慮阻尼剛度不確定及外界干擾，方程(2)可寫為

(28)

式中：dm為外界干擾；矩陣ΔC,ΔK表示系統(tǒng)阻尼剛度矩陣的不確定參數(shù)。式(28)整理得

(29)

假設(shè)陀螺3個軸向的參考軌跡為xm=Axsinωxt,ym=Aysinωyt,zm=Azsinωzt。將其同樣寫成狀態(tài)方程形式，即

(30)

定義系統(tǒng)的狀態(tài)跟蹤誤差為

e=qm-q

(31)

定義比例-微分滑模面為

(32)

對比例-微分滑模面取一階導數(shù)

(33)

式中

理想控制律設(shè)計為

(34)

將理想控制律式(34)和式(14)代入式(33)，得閉環(huán)滑模動態(tài)為

(35)

定理3選擇理想控制律式(34)，死區(qū)補償器式(8)以及兩個RBF的權(quán)值自適應(yīng)律式(26)和式(27)，則閉環(huán)控制系統(tǒng)的跟蹤誤差一致有界穩(wěn)定。

證明：

針對式(35)的滑模動態(tài)，設(shè)計Lyapunov函數(shù)為

(36)

對上式求導，得

(37)

將式(35)的滑模動態(tài)代入式(37)，得

(38)

(39)

根據(jù)矩陣的跡的性質(zhì)，對任一矩陣M，如下不等式成立：

則式(39)為

(40)

式中λmin(·)表示矩陣的最小特征值。而根據(jù)矩陣范數(shù)的三角不等式，可得

則式(40)為

(41)

考定理2，則式(41)為

(42)

即滿足上述不等式的一組κ1,κ2可使整個閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。上述穩(wěn)定性分析可以看出，κ1=0,κ2=0是上述不等式的一組可行解。與傳統(tǒng)自適應(yīng)律式(26)和式(27)相比，這組可行解可以大大減弱兩個RBF網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值耦合，降低控制的復(fù)雜度。因此，本文改進的權(quán)值自適應(yīng)律為：

(43)

證畢。

3 仿真驗證及分析

為了驗證兩個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對未知死區(qū)的補償效果，利用Matlab/S-Function對整個陀螺閉環(huán)系統(tǒng)進行了仿真實驗。假設(shè)三軸MEMS陀螺儀的各項設(shè)計參數(shù)如下[7-8]：

無量綱化過程中，參考長度取q0=10-6m，參考頻率取w0=3 kHz。假設(shè)三個軸向的參考軌跡為：

xm=sint,ym=1.2sint,zm=1.5sint。

仿真過程中，滑模面比例增益c=5，控制參數(shù)Kcom=50，死區(qū)特性描述為：

正定對稱陣S,T的主對角線取值為500，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層結(jié)點的高斯參數(shù)中心值cj選取神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入值范圍內(nèi)的值：

c1=c2=

兩個RBF網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值矩陣初值均設(shè)置為20。陀螺的三軸位置初始狀態(tài)設(shè)為

仿真結(jié)果如圖4—圖6所示。

(a)無死區(qū)補償

圖5 死區(qū)補償后的各軸向控制輸入Fig.5 Triaxial control inputs with dead zone compensation

圖6 陀螺各軸向的死區(qū)估計Fig.6 Estimation of triaxial dead zone

圖4(a)表明只利用滑?？刂坡?，不采取任何死區(qū)補償措施時，位置跟蹤誤差存在震蕩，這種震蕩反應(yīng)到速度跟蹤誤差中將會造成很大的角速率精度損失；圖4(b)表明在本文的復(fù)合控制器作用下，陀螺三軸的位置跟蹤誤差可以在1 s左右收斂到0，且動靜態(tài)性能良好，說明RBF網(wǎng)絡(luò)對死區(qū)效應(yīng)起到了很好的補償效果。

圖5為經(jīng)過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補償器后各軸向的控制輸入，圖6為陀螺各軸向的死區(qū)估計結(jié)果。由圖6仿真結(jié)果可見，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補償器能夠精確估計死區(qū)邊界常數(shù)和邊界外的非線性力電函數(shù)。

4 結(jié)束語

本文針對Park S操作模式下三軸MEMS陀螺軸向軌跡跟蹤中的驅(qū)動梳齒死區(qū)問題，提出了基于權(quán)值自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和滑?？刂频膹?fù)合控制器。整個控制過程中用到兩個RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。穩(wěn)定性分析中通過新算法設(shè)計削弱了兩個網(wǎng)絡(luò)的強耦合。仿真結(jié)果證明了該復(fù)合控制器能夠以較高精度估計執(zhí)行器未知死區(qū)特性并實現(xiàn)前饋補償，保證了ParK S操作模式下MEMS陀螺三軸運動的精確跟蹤。