王羅楠，李述山

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,山東 青島 266000)

在金融時間序列分析領(lǐng)域，經(jīng)典的ARMA類模型是目前最常用的平穩(wěn)時間序列擬合模型，但這類模型本質(zhì)上是線性模型，不但不能刻畫金融時間序列中的非線性相關(guān)信息，而且無法解釋金融時間序列呈現(xiàn)出的波動聚集、尖峰厚尾等時變特征。Engle[1]提出ARCH模型，將歷史波動信息作為條件，采用自回歸的形式來刻畫波動的變化，克服了ARMA類模型的局限性。隨后，Bollerslev提出GARCH模型，克服了ARCH模型滯后階數(shù)過大的缺點[2]。GARCH模型能夠迅速捕獲聚集性波動，反映金融時間序列中所蘊含的風(fēng)險，但這類模型同樣也無法充分利用金融時間序列中的非線性相關(guān)關(guān)系。

Copula函數(shù)是一類定義在[0,1]上的多維聯(lián)合分布函數(shù)，它能夠?qū)⒍鄠€隨機變量的邊際分布連接起來得到它們的聯(lián)合分布，在金融市場間相關(guān)性分析、金融風(fēng)險管理等方面有著廣泛的應(yīng)用。為解決傳統(tǒng)Copula模型難以擴展到高維的問題，Joe等[3]在多元Copula的基礎(chǔ)上發(fā)展了Pair-Copula，將高維隨機變量的聯(lián)合分布分解為一系列邊緣分布和Pair-Copula函數(shù)的乘積。隨后，Tim等[4]基于Pair-Copula理論提出了藤Copula模型，運用圖論的方法詳細(xì)描述了各變量間的連接關(guān)系，為構(gòu)建高維隨機變量聯(lián)合分布函數(shù)提供了一種簡便清晰的方法。C藤Copula模型是藤Copula模型中應(yīng)用最為廣泛的模型之一，適合描述具有根節(jié)點變量的多個變量之間的相關(guān)關(guān)系。在以往的大部分文獻中，Copula函數(shù)和藤Copula模型往往被應(yīng)用于研究多個時間序列之間的相依性[5-6]，本文將Copula函數(shù)和C藤Copula模型運用于研究嚴(yán)平穩(wěn)時間序列的非線性自相關(guān)性，建立C藤Copula自回歸模型，提取序列中有用的信息，并運用模型進行預(yù)測。

本文的主要工作是：(1)研究嚴(yán)平穩(wěn)時間序列的非線性自相關(guān)性，建立C藤Copula自回歸模型，給出序列相關(guān)自變量的篩選方法；(2)給出C藤Copula自回歸模型的參數(shù)估計方法和預(yù)測方法；(3)運用模型進行預(yù)測和對比分析，通過實例來說明模型的有效性和實用價值。

1 C藤Copula自回歸模型

1.1 C藤Copula模型

考慮n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)，設(shè)其聯(lián)合分布函數(shù)和聯(lián)合密度函數(shù)分別為F(x1,x2,…,xn)、f(x1,x2,…,xn)，邊際分布函數(shù)和邊際密度函數(shù)分別為Fi(xi)(i=1,…,n)、fi(xi)(i=1,…,n)。C藤結(jié)構(gòu)的每棵樹Tj有且僅有一個節(jié)點連接到n-j條邊，這個節(jié)點被稱為根節(jié)點，每條邊對應(yīng)一個Pair-Copula。n維隨機變量的C藤Copula密度函數(shù)可以表示為[7]

(F(xj|x1,…,xj-1),F(xj+i|x1,…,xj-1))

(1)

式中：j為第j棵樹Tj的標(biāo)號；i遍歷所有樹的每一條邊。

本文運用C藤Copula模型研究嚴(yán)平穩(wěn)時間序列的非線性自相關(guān)性，找出序列中與t時刻條件分布相關(guān)的連續(xù)滯后項個數(shù)，以這些滯后項為自變量建立C藤Copula自回歸模型，從而剔除與t時刻不相關(guān)的歷史信息，更加充分地利用序列的非線性自相關(guān)性。

1.2 C藤Copula自回歸模型

設(shè){Xt}為一嚴(yán)平穩(wěn)時間序列，若在t時刻xt的條件分布僅與其前k個滯后項xt-1,xt-2,…,xt-k有關(guān)，而與其他滯后項xt-k+1,xt-k,…無關(guān)，那么剔除與xt不相關(guān)的歷史信息，建立以xt-1,xt-2,…,xt-k為自變量，xt為因變量的自回歸模型，就能夠充分利用t時刻之前的歷史相關(guān)信息，完成對xt的預(yù)測。因此本文將結(jié)合C藤結(jié)構(gòu)的思想，建立C藤Copula自回歸模型，利用xt的前k個滯后項xt-1,xt-2,…,xt-k，預(yù)測t時刻的值xt。

為方便描述，本文將xt節(jié)點記為k+1，將其前k個滯后項節(jié)點xt-1,xt-2,…,xt-k記為1,2,…,k，作出C藤Copula自相關(guān)模型的結(jié)構(gòu)圖，如圖1所示。

圖1 C藤Copula自相關(guān)模型結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structural chart of the C-Vine Copula autoregressive model

由圖1和式(1)得出，條件集為xt-1,xt-2,…,xt-k時，xt的條件密度為

F(xt|φt-i-1))

(2)

式中：φt={xt-1,xt-2,…,xt-k}，表示t時刻前1階到前k階滯后項的集合；φt-i={xt-i,xt-i-1,…,xt-k},(1

設(shè)與xt相關(guān)的連續(xù)滯后項個數(shù)為k，那么自變量集合為φt={xt-1,xt-2,…,xt-k}，結(jié)合條件密度函數(shù)表達(dá)式(2)建立C藤Copula自回歸模型：

(3)

其回歸函數(shù)為

(4)

1.3 相關(guān)自變量篩選方法

考慮嚴(yán)平穩(wěn)時間序列{Xt}，若存在任一k(k∈N+)滿足：對于任意q∈N+，在條件集(Xt-1,Xt-2,…,Xt-k)已知時，Xt與Xt-k-q條件獨立；在條件集(Xt-1,Xt-2,…,Xt-k+1)已知時，Xt與Xt-k不條件獨立，則稱Xt-1,Xt-2,…,Xt-k為序列{Xt}在t時刻的k個相關(guān)自變量。

(5)

H00：對于任意q∈N+，Hk,1|Φt(Xt|Φt)與Hq,k|Φt(Xt|Φt)獨立；

2 參數(shù)估計及預(yù)測

2.1 模型參數(shù)估計

本文采用兩步法對模型參數(shù)進行估計。第一步估計邊際分布參數(shù)，第二步估計相關(guān)Copula參數(shù)。

邊際分布有多種擬合方法，由于帶位置參數(shù)與尺度參數(shù)的有偏廣義誤差分布(SGED)能夠很好地刻畫收益率序列尖峰后尾的特征，因此本文選取此分布來擬合收益率序列的邊際分布。將得出的邊際分布函數(shù)帶入C藤Copula的對數(shù)似然函數(shù)，便可以對相關(guān)Copula參數(shù)進行極大似然估計，其中C藤Copula的對數(shù)似然函數(shù)為[9]

…,xt-i+1),F(xt-i-j|xt-1,…,xt-i+1)

(6)

式中：θ為Copula參數(shù)的集合；T代表觀察值的組數(shù)。

在實證分析中，為了保證估計精度，本文模型中所涉及的Copula及Pair-Copula均采用混合Copula。由n個不同種類Copula函數(shù)得到的混合Copula函數(shù)表達(dá)式為

MCn=ω1C1(θ1)+ω2C2(θ2)+

…+ωnCn(θn)

(7)

式中：ω1,ω2,…,ωn表示n個不同Copula函數(shù)相應(yīng)的權(quán)重系數(shù)，ω1,ω2,…,ωn≥0，ω1+ω2+…+ωn=1；θ1,θ2,…,θn為相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)。

2.2 模型預(yù)測方法

(8)

[qα/2,q1-α/2]

(9)

3 實證分析

3.1 數(shù)據(jù)的描述性統(tǒng)計及平穩(wěn)性檢驗

本文選取近20年共5 081個深證成指每日收盤數(shù)據(jù)作為樣本觀察值，數(shù)據(jù)涵蓋1998年1月5日至2018年12月19日，并使用日對數(shù)收益率xt=lnpt-lnpt-1(t=1,2,…,5 081)作為研究指標(biāo)，其中pt表示第t日收盤價。借助Matlab進行數(shù)據(jù)建模與分析，得到對數(shù)收益率序列的描述性統(tǒng)計及ADF檢驗結(jié)果，見表1。

表1 描述性統(tǒng)計及ADF檢驗結(jié)果Tab.1 Descriptive statistics and ADF test results

由表1可知xt序列偏度為負(fù)值，峰度為6.518 7，因此序列為有偏的，且表現(xiàn)出顯著的尖峰厚尾特征。ADF檢驗統(tǒng)計量的值為-67.480 1，對應(yīng)P值接近0，在0.01的顯著性水平下拒絕原假設(shè)，表明對數(shù)收益率序列為平穩(wěn)序列。

3.2 模型建立

3.2.1 邊際分布

鑒于xt為有偏的、具有顯著尖峰厚尾特征的序列，因此本文采用有偏廣義誤差分布(sged)擬合序列的邊際分布，并通過K-S檢驗進行擬合優(yōu)度評估。得出邊際分布參數(shù)的最大似然估計值及K-S檢驗結(jié)果，見表2。

表2 邊際分布參數(shù)估計及K-S檢驗結(jié)果Tab.2 Parameter estimation of marginal distribution and K-S test results

其中μ、σ、k、λ分別為有偏廣義誤差分布的位置參數(shù)、尺度參數(shù)、分布參數(shù)和偏度系數(shù)。表中K-S檢驗的H值為0，并且K-S統(tǒng)計量及其概率值表明，沒有充分的理由拒絕“xt的邊際分布符合有偏廣義誤差分布”的原假設(shè)。

3.2.2 Copula函數(shù)參數(shù)估計

本文采用混合Copula對所涉及的Copula及Pair-Copula函數(shù)進行擬合。由于雙參數(shù)的BB1 Copula函數(shù)能夠較好地描述非對稱的上下尾相依性，同時本文所涉及的變量間具有較弱的非線性相關(guān)性和較強的獨立性，而獨立Copula能夠較好地刻畫這種獨立性，故本文選用BB1 Copula和獨立Copula[10]的混合Copula對所涉及的Copula及Pair-Copula函數(shù)進行擬合。

根據(jù)圖1依次畫出k=1,…,i(i∈N+)時收益率序列的自相關(guān)結(jié)構(gòu)圖，結(jié)合本文給出的參數(shù)估計和假設(shè)檢驗方法分別對所求出的條件分布函數(shù)進行水平為0.05的獨立性檢驗，在k=5時接受原假設(shè)H00和H10，確定對數(shù)收益率序列xt在t時刻相關(guān)自變量的個數(shù)為5，故建立5階C藤Copula自回歸模型。

假設(shè)檢驗及模型建立過程中所涉及的Copula和Pair-Copula參數(shù)估計結(jié)果見表3和表4，其中獨立Copula和BB1 Copula的權(quán)重ω1、ω2以及BB1 Copula的參數(shù)θ、δ通過EM算法[11]進行估計。

表3 Copula參數(shù)估計結(jié)果 Tab.3 Copula parameter estimation results

表4 Pair-Copula參數(shù)估計結(jié)果 Tab.4 Pair-Copula parameter estimation results

3.2.3 模型預(yù)測

通過建立5階C藤Copula自回歸模型，本文可以對收益率序列時刻6及其以后的點進行預(yù)測。運用本文給出的預(yù)測方法，作出收益率序列最后1 000個真實值與C藤Copula自回歸模型預(yù)測值對比效果圖，如圖2所示，收益率序列的最后1 000個真實值與C藤Copula自回歸模型置信度為95%的置信區(qū)間對比如圖3所示?？梢钥闯觯A(yù)測值與置信區(qū)間具有顯著的時變特征，實際值趨于密集時預(yù)測值相對密集，實際值趨于離散時預(yù)測值也趨于離散，置信區(qū)間將大部分真實值包含在內(nèi)。

圖2 真實值與預(yù)測值對比圖Fig.2 Contrast chart between real value and predicted value

圖3 真實值與95%置信區(qū)間對比圖Fig.3 Comparison between true value and 95% confidence interval

為了顯示C藤Copula自回歸模型的預(yù)測效果，本文將5階C藤Copula自回歸模型的預(yù)測結(jié)果分別與ARMA(1，1)模型和Garch(1，1)模型進行對比，結(jié)果見表5和表6。由表5可知，從平均絕對誤差的角度來看，5階C藤Copula自回歸模型的預(yù)測效果優(yōu)于ARMA(1，1)模型，與Garch(1，1)模型的預(yù)測效果相當(dāng)，但最大絕對誤差相對較小，因此總體上可以認(rèn)為5階C藤Copula自回歸模型的預(yù)測效果優(yōu)于ARMA(1，1)模型和Garch(1，1)模型。由表6可知，在95%置信水平下，5階C藤Copula模型的置信區(qū)間所包含的真實值百分比最大，并且非常接近置信水平，因此從置信區(qū)間角度來看，5階C藤Copula模型的預(yù)測效果同樣優(yōu)于ARMA(1，1)模型和Garch(1，1)模型。

表5 預(yù)測結(jié)果對比表 Tab.5 Comparison table of prediction results

表6 95%置信水平下置信區(qū)間對比表Tab.6 Confidence interval contrast table under 95% confidence level

4 結(jié)束語

1)通過運用C藤Copula理論，建立了C藤Copula自回歸模型，給出了嚴(yán)平穩(wěn)時間序列某一時刻相關(guān)自變量個數(shù)的確定方法，從而剔除了不必要的歷史信息，提高了預(yù)測精度。

2)基于C藤Copula自回歸模型對深證成指5 081個日收益率數(shù)據(jù)進行了實證分析，并將預(yù)測結(jié)果與ARMA(1，1)模型和Garch(1，1)模型做比較，結(jié)果顯示預(yù)測效果優(yōu)于ARMA(1，1)模型和Garch(1，1)模型，從而證明了模型的可行性和實用價值。

3)本文的研究方法還有待改進。在實際操作方面，邊際分布有多種擬合方式，可以選擇不同的擬合方式比較擇優(yōu)，此外，對混合Copula估計可以引入更多的Copula函數(shù)；在實際應(yīng)用方面，C藤Copula自回歸模型還可以運用于風(fēng)險價值分析，如VaR、CVaR估計等。