徐冬冬，王元清，劉曉玲，班慧勇，劉 明

(1. 清華大學土木工程系，北京 100084；2. 鞍鋼股份有限公司，鞍山 114009)

隨著現代建筑的跨度及高度的逐漸增加，其結構的受力變得越來越復雜，采用傳統等截面的設計方法過于保守，變截面設計應運而生。傳統變截面設計一般為截面高度變化，而對于鋼板厚度變化較少。本文研究的縱向變厚度鋼板(longitudinally profiled steel plate, LP 鋼板)是厚度沿軋制方向具有特殊形狀的變厚度鋼板[1]。它可以根據結構在不同極限狀態(tài)下的受力模式，來確定其沿縱向的不同厚度尺寸，從而達到降低鋼材用量、減少施工焊縫、提高抗震性能的目的[1?4]。LP 鋼板最早于20 世紀末生產應用于船只建造當中[2]，并取得了良好的經濟效益，之后開始應用到橋梁工程中[3]。目前，LP 鋼板已廣泛應用于歐洲、日本及韓國[4?5]的橋梁工程。

國內外關于LP 鋼板的研究較少，主要是對其軋制工藝、材料力學性能及變形性能進行了一系列研究[6?11]，對LP 鋼板的局部穩(wěn)定的研究則更少，而與之類似的機加工變厚度鋼板，是通過機械切割得到的變厚度鋼板，這種鋼板在航空和機械領域應用廣泛，國外學者則對其進行了深入的研究。對于變厚度鋼板的彈性穩(wěn)定問題的研究，文獻[12 ? 13]是對于加載方向的彎曲剛度為二次變化，而另一方向均勻厚度的四邊簡支變厚度鋼板進行了研究，研究表明，在一些特殊的參數條件下，矩形薄板的彈性屈曲問題具有理論解析解，然而該理論解析解具有較大的局限性。文獻[14]對板微元段的平衡方程進行研究，得到了單向變厚度板的變系數常微分方程，并采用冪級數方法求解該微分方程，該方法需首先假定一個初值，再進行迭代，因此這種方法容易受數值分析的影響。文獻[15]其解法與文獻[14]基本一致，只是通過一種坐標變換的方式來處理該變系數常微分方程，并且其邊界條件存在一定的差異，文獻[15]無需采用迭代方式，計算收斂性較好。文獻[16 ? 17]是針對任意變厚度鋼板，提出了計算其彈性屈曲系數的計算方法，該計算方法需要一定的計算量，相對于有限元法可以降低建模工作和減少計算時間。文獻[18]基于能量法原理，采用Galerkin 方法，對于四邊簡支或者側邊簡支、加載邊固支的線性變化板和指數變化板進行理論研究，其計算結果具有較高的精確性。

LP 鋼板在軋制過程中因軋制比變化使得其力學性能和等厚度鋼板存在較大的差異[10]?？紤]到在彈性范圍內，LP 鋼板與機加工變厚度板并無較大差別。在計算彈性屈曲系數時，可采用相同的理論方法。本文在文獻[18]的基礎上，通過采用Galerkin 和Rayleigh-Ritz 的方法(GRM)，從板元平衡微分方程出發(fā)，運用虛位移原理，得到一個最小勢能方程，采用一系列滿足邊界條件的三角函數和作為板的變形函數，將彈性屈曲系數的求解轉化為對矩陣的最小特征值求解問題。通過理論推導，獲得了4 種不同邊界條件下(四邊簡支、四邊固支、三邊簡支、三邊固支)該特征矩陣元素的表達式，采用數學軟件MATLAB 求解其最小特征值，并得到彈性屈曲系數隨著鋼板的長寬比變化的曲線圖。采用通用有限元軟件ANSYS 驗證了公式的正確性，同時給出了不同變厚度系數下鋼板的彈性屈曲系數隨著板的長寬比變化的曲線圖。

1 基本原理

1.1 基本假定

本次研究是基于小撓度理論，計算薄板彎曲時屈曲荷載的計算假定如下[13,17,19]：

1)板件為完全彈性，各向材質均勻，應力-應變關系服從胡克定律；

2)忽略垂直厚度方向的影響，即認為厚度方向和等厚度板是一致的；

3)板厚變化充分平緩，可以假定為廣義平面應力問題；

4)屈曲荷載不受中面位移的影響，即不考慮中面彎曲變形伸長而產生的薄膜力；

5)垂直于變厚度方向的屈曲變形與等厚度板的變形形狀一致。

從以上假定可以得到，板的受力假定同等厚度板，同屬于平面應力問題，并且可以用常系數偏微分方程來描述板的受力狀態(tài)。

1.2 基本方程

對于一塊矩形薄板，取其中一個微小的板元(如圖1(a)、圖1(b)所示)，對其進行受力分析可以得到圖1。

圖1 中：Nx、Ny和Nxy為板元的中面力，分別對應x向的軸力、y向的軸力和板的切向力；Qx、Qy分別對應板元x向和y向的剪力；Mx、My分別對應板元x向和y向的彎矩；Mxy、Myx分別對應板元x向和y向的扭矩。則可以獲得板元的總勢能如式(1)所示[18,20]，其中 ?為拉普拉斯算子。

圖1 板元中外力、內力圖示Fig. 1 External and internal forces of micro element of plate

式(3)中的虛擬位移δw是任意的，因此δw=0不恒成立，故積分中微分式的值必定為0。式(3)為Galerkin 基本方程等式，也就是板元微分平衡方程的基本方程。

1.3 計算模型

本次研究主要考慮到工程上常遇到的四邊簡支、四邊固支、三邊簡支一邊自由和三邊固支一邊自由四種情況。在縱向變厚度方向施加均勻壓力Nx，其計算圖示如圖2 所示。

其中LP 鋼板薄端的厚度為t0，厚端的厚度為t1，坡度變化率為α。則鋼板的任意厚度可以用下式表示：

2 理論推導

考慮到本文所研究的LP 鋼板為縱向線性變化，橫向為均勻厚度，從圖2 可以得到Ny=0，Nxy=0，因此式(3)可改寫成：

從式(5)可以看出，在橫向為均勻厚度，其變形函數和均勻厚度板是一致，可以假設其變形函數為：1) 側邊兩邊簡支如式(6a)；2) 側邊兩邊固支如式(6b)；3) 側邊一側簡支，一邊自由，如式(6c)；4) 側邊一側固支，一側自由，如式(6d)：

圖2 四種邊界條件計算模型Fig. 2 Calculation mode of four boundary conditions

式中：f(x)為縱向待定的變形函數；r、s分別為任意正整數；μ為任意常數。

2.1 四邊簡支(SSSS)

對于縱向變形函數，文獻[11 ? 12]已經表明，在變厚度具有特殊情況下才有初等函數表達式，本次推導的鋼板為單方向線性變化，縱向抗彎剛度與縱向x為3 次方成正比，不具備一般意義的初等函數解，因此可以假設其變形函數為一系列的三角函數集合，即采用三角級數和來擬合其變形函數。

故求解變厚度板的彈性屈曲系數k0轉化成對矩陣特征值的求解。對于四邊簡支的矩形LP 鋼板，其邊界變形需要滿足以下邊界條件：

從式(20)可以得出，矩陣B*為一個n×n維矩陣，對其求特征值可以轉化為一個一元n次方程，取其中的最小的根，當n≥5 時，沒有一般解析解。

特殊的，當鋼板的厚度變化率α=0，那么可以得到χ=0，則式(20)變成：

2.2 四邊固支(CCCC)

對于四邊固支(圖2(b))，計算其彈性屈曲系數時，橫向的波長取最小即可，故可令式(6b)中的參數r=1，s=1，則可以得到：

為計算方便，其中X、Y同四邊簡支的情況。對于四邊固支，矩形LP 鋼板的邊界條件需要滿足邊界條件為：

其中，δmp為克羅內克函數?？芍仃嘋僅僅是一個實對稱矩陣，而不再是一個對角矩陣。和四邊簡支的情況不再類似，因此無法通過簡化矩陣B，降低求解矩陣特征值的難度。

2.3 三邊簡支(SSSF)

當板的邊界條件為三邊簡支時(圖2(c))，計算其彈性屈曲系數，由于橫向的幅值系數對其計算結果無影響，不妨設式(6c)中的參數μ=1，則其變形函數可以表示為：

而加載邊的邊界需要滿足式(15)的條件，而其假設的一系列形函數依舊可以采用式(16)的形式。將式(31)代入式(2)，再對橫向Y進行積分可以得到：

將式(16)代入式(33)，進行積分，可以獲得矩陣B*各元素的表達式為：

1)當m=p時，可以得到，

3)當m≠p且(m+p)為奇數時，

從式(35)可以得出，矩陣B*為一個n×n維矩陣，對其求特征值可以轉化為一個一元n次方程，取其中的最小的根，當n≥5 時，沒有一般解析解。

特殊的，當鋼板的厚度變化率α=0，那么可以得到χ=0，則式(20)變成：

這和等厚度鋼板的彈性屈曲系數表達式的結果是一致的，從而驗證了理論公式的正確性。

2.4 三邊固支(CCCF)

對于三邊固支(圖2(d))，計算彈性屈曲系數時，其橫向變形函數式(6d)中的參數不妨取μ=1，則可以設其變形函數為：

類似的，加載邊的邊界條件需要滿足式(24)，故加載向的變形函數可以依舊采取式(25)的形式。再對橫向Y進行積分可以得到：

矩陣C各元素的表達式和式(30)是一致的，故不可進一步簡化。將式(25)代入式(33)，對X進行積分可以得到矩陣B各元素的表達式為：

2.5 彈性屈曲系數的定義

由于LP 鋼板的厚度為變量，因此實際上彈性屈曲系數的定義存在多種，上述理論分析所定義的彈性屈曲系數是以LP 鋼板的薄端厚度t0為基準，即k0=Nxb2/π2D0)，為與采用相同鋼材用量的等厚度鋼板進行比較，可以定義以平均鋼板厚度為基準的彈性屈曲系數。即：

3 n 的取值及有限元驗證

3.1 數值計算n 的取值

從上述理論推導可以發(fā)現，當變形函數取的足夠多時，其計算結果將是精確的。為探討計算n的取值范圍以滿足精度要求，分別取n=4、6、8、1、15、30，計算的彈性屈曲系數的結果，并將其計算結果繪制成圖3。

從圖3 可以看出，當n≥8 時，其計算結果和n=30 的計算結果基本處于5%的偏差內，可以滿足工程所需的精度。而當n≥15 時，其計算的結果已經非常精確(與n=30 時偏差0.1%以內)，可以滿足更高的計算精度要求。

圖3 不同n 值下彈性屈曲系數對比分析圖Fig. 3 Comparative analysis of elastic buckling coefficients under different values of parameter n

3.2 有限元模型驗證

為驗證理論公式推導的正確性，采用通用有限元軟件ANSYS，對不同變厚度的矩形LP 鋼板計算其彈性屈曲系數[22]。有限元分析采用shell63單元進行計算[23]，計算模型如圖4 所示。邊界條件分別對應四邊簡支、四邊固支、三邊簡支一邊自由和三邊固支一邊自由?？紤]到β 為一個無量綱參數，可設置長邊a為一個固定值，通過變化短邊的長度b達到變化β 的目的。

圖4 有限元模型Fig. 4 FEA model

圖5 可以看出，當計算時網格尺寸從20 mm×20 mm 變化到10 mm×10 mm，其計算結果變化量已經控制在0.3%，而計算時間增加200%，為控制計算量，本次計算模型網格尺寸按20 mm×20 mm劃分，其結果滿足精度要求。

圖5 網格尺寸優(yōu)化圖Fig. 5 Mesh size optimization

在以上基礎上，分別計算了四種邊界條件下的彈性屈曲系數，對于四邊簡支邊界條件下，分別取長寬比β=0.5、1.0、1.5、2.0、3.0 和4.0，而對于參數χ 分別取0.05、0.10 和0.15。對于其他邊界條件，取鋼板長寬比β=2，厚度放大系數分別取χ=0.05、0.10 和0.15，計算的結果見表1 和表2。

從表1 和表2 可以看出，理論公式推導計算的結果同有限元計算的結果十分的吻合，最大偏差控制在2.2%以內，從而驗證了理論公式推導的正確性。

表1 不同β 值下四邊簡支條件的理論公式數值計算與有限元對比表Table 1 Comparison of theoretical calculation and finite element analysis under different values of β

表2 β=2 時理論公式數值計算與有限元對比表Table 2 Comparison of theoretical calculation and finite element analysis under β=2

3.3 彈性屈曲系數曲線圖

根據第3.1 節(jié)討論可以得知，當n=8 時，其計算的結果已經具有較大的精確度；而當n≥15 時，可以作為精確解。而與有限元計算的結果對比，驗證了理論公式的正確性。為確保理論準確性，數值計算時取n=15，可分別繪制出四種不同邊界條件下，不同厚度放大系數χ 下的彈性屈曲系數隨長寬比β 變化的曲線圖。其中圖6(a)～圖6(d)為以LP 鋼板的薄端厚度t0為基準，計算不同便厚度參數比下的彈性屈曲系數曲線圖，而圖7為以LP 鋼板的平均厚度tM作為基準計算的彈性屈曲系數曲線圖。

從圖6 可以得到以下結論：

1)在四邊簡支條件下，矩形LP 鋼板的彈性屈曲系數和等厚度矩型板的彈性屈曲系數變化趨勢有明顯區(qū)別：隨著厚度放大系數增大，彈性屈曲系數不再隨著長寬比β 的增大而形成波浪型起伏變動，而是變成一條平滑的下降曲線。四邊固支的情況也類似。

2)三邊簡支和三邊固支的彈性屈曲系數曲線圖均是一條平滑的曲線，隨著厚度放大系數增大，其彈性屈曲系數也逐漸變大。

3)在β 較小時，變厚度參比數比對彈性屈曲系數的敏感性更大；而當β 逐漸增大時，其敏感性也隨之逐漸降低。

從理論分析也可以得到，本文假設的變形函數(式(8))實質上為等厚度板的不同階的屈曲模態(tài)函數的組合。隨著厚度放大系數χ 逐漸增大，采用等厚度板的模態(tài)函數擬和變形函數時，其各個模態(tài)不再獨立(特征矩陣B的副系數不為0)，而是相互耦合，這使得其模態(tài)的波長沿長度方向，隨著板厚的變大，波長也隨之變大，而幅值逐漸趨于0，這即為四邊簡支和固支條件變成一條光滑曲線的原因。

圖7 為以平均厚度tM為基準的四邊簡支條件下的彈性屈曲系數kM曲線圖。從圖6(a)和圖7 對比可知，采用不同定義形式的彈性屈曲系數，其曲線變化存在差別，以平均厚度作為基準計算彈性屈曲系數時，可以發(fā)現LP 鋼板相比等厚度板更容易發(fā)生局部穩(wěn)定問題，且隨著厚度放大系數χ 變大，彈性屈曲系數逐漸變小，且減小幅度較大。而造成兩者之間的差異則可以通過式(42)和式(43)來表現。顯然，以平均厚度為基準計算彈性屈曲系數時所求得的應力為鋼板中間處截面的應力，實際應用時較為不便。

圖6 四種邊界條件下LP 鋼板的彈性屈曲系數曲線圖Fig. 6 Curves of elastic buckling coefficient of LP steel plates under four boundary conditions

圖7 以平均厚度為基準的四邊簡支條件下的彈性屈曲系數曲線圖Fig. 7 Curves of elastic buckling coefficient defined as tM when four edges are simply-supported

4 結論

縱向變厚度(LP)鋼板因其結構受力合理，在橋梁工程領域已經取得了一系列成果和獲得了較大的經濟效益，相應的軋制標準已形成[24]。然而其相關研究依舊處于起步階段。本文通過能量法進行推導，獲得了四種邊界條件下LP 鋼板的彈性屈曲系數的理論計算方法，并和有限元計算結果相互驗證，得到如下結論：

(1)采用能量原理，基于GRM 方法，將板元微分平衡方程求解轉化成對特征矩陣的特征值求解。從理論上推導出四種邊界條件的下的特征矩陣各元素的計算公式，通過對該矩陣進行特征值分析，可以獲得精確的彈性屈曲系數。

(2)計算時需要假設多個三角函數作為變形函數，n表示不同三角變形函數的數量，且n值越大，其計算結果越精確。通過對不同的n值來計算其彈性屈曲系數，得到當n≥8 時，其計算結果已經和n=30 的計算結果偏差控制在5%以內，可用于實際工程，而對于有特殊的精度需求，可取n≥15 時可作為精確解。

(3)從理論推導可以得到，變厚度板的彈性屈曲系數不僅和長寬比有關，而且和厚度放大系數χ 相關。此外，LP 鋼板定義其彈性屈曲系數時，基準的板厚的對曲線變化有影響，而發(fā)生屈曲時的位置靠近最小厚度處，且其應力最大，因此以t0為基準定義彈性屈曲系數更具實際意義。

(4)通過對不同厚度放大系數下的矩形鋼板進行計算，得到了彈性屈曲系數隨長寬比變化的曲線圖，其變化規(guī)律也和等厚度板存在一定差異。當以最小厚度t0為基準定義彈性屈曲系數k0時，可以得到，當長寬比較小時，厚度放大系數對彈性屈曲系數的敏感度較大，而隨著長寬比增大時，其敏感性也隨之降低。