劉 艮，陳貢發(fā)

(廣東工業(yè)大學(xué)土木與交通工程學(xué)院，廣州 510006)

關(guān)于空間可展開結(jié)構(gòu)的研究始于20 世紀(jì) 60年代，空間可展結(jié)構(gòu)以其鮮明的特點為航天結(jié)構(gòu)不斷的大型化發(fā)展提供了可能。環(huán)形桁架支撐結(jié)構(gòu)由桿件組成的胞元循環(huán)重復(fù)形成的環(huán)形結(jié)構(gòu)。環(huán)形桁架天線為衛(wèi)星通訊、對地觀測等任務(wù)的實施提供了有力的支持，其動力學(xué)行為直接影響著整個反射器型面的精度。數(shù)值方法可以對桁架結(jié)構(gòu)的動力學(xué)行為進(jìn)行有效的分析，但是，從大量的數(shù)值結(jié)果中找出高維系統(tǒng)的動力學(xué)特性是一件繁瑣且無章可循的工作?；谶B續(xù)體模型的解析或半解析的方法可以為探索結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性提供幫助，于是怎樣將由大量桿件等離散結(jié)構(gòu)構(gòu)成的桁架轉(zhuǎn)換為連續(xù)體模型成為后續(xù)動力學(xué)研究的基礎(chǔ)。

Timoshenko 和Gere[1]在20 世紀(jì)就已經(jīng)對桁架的等效問題進(jìn)行了研究。在隨后的幾十年中，學(xué)者們將平面桁架及空間桁架動力學(xué)問題的研究重點投放到了對具有循環(huán)對稱胞元的梁式桁架或者平面式桁架結(jié)構(gòu)等效連續(xù)體的建立中。Nayfeh 和Hefzy[2?3]分別對具有鉸接鉸鏈和剛接鉸鏈的桁架結(jié)構(gòu)的問題進(jìn)行了研究。利用循環(huán)對稱的胞元建立起了桁架結(jié)構(gòu)的等效連續(xù)體模型。給出了求解二維及三維桁架結(jié)構(gòu)的力學(xué)參數(shù)計算的方法，將每根桿件對結(jié)構(gòu)剛度的貢獻(xiàn)計算出來，并用實際例子對方法進(jìn)行了驗證。Sun 和 Kim[4]研究了將直線式桁架結(jié)構(gòu)等效為Timoshenko 梁的等效方法。從桁架的胞元入手進(jìn)行剛度等效的計算，利用等效Timoshenko 梁模型研究了非對稱桁架的自由振動問題，并將其與全尺寸有限元解進(jìn)行了比較。結(jié)果表明等效的Timoshenko 梁模型在預(yù)測桁架構(gòu)件的固有頻率、模態(tài)形狀和荷載方面都是有效可行的。

Noor 和Mikulas[5]在20 世紀(jì)80 年代至90 年代的十多年間對桁架結(jié)構(gòu)的等效問題進(jìn)行了細(xì)致深入的研究。通過能量等效的手段，分別對鉸接式桁架、剛接式桁架進(jìn)行了等效建模。其研究中，將桁架的構(gòu)型加以分類對梁式結(jié)構(gòu)、面式結(jié)構(gòu)的平面問題及空間問題進(jìn)行了細(xì)致的討論。Lee[6]提出了一種基于譜元法的連續(xù)體建模方法，利用譜元將周期桁架結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換為結(jié)構(gòu)等效連續(xù)梁模型。對等效連續(xù)梁模型的有限元傳遞矩陣進(jìn)行了解析，通過組裝桁架單元內(nèi)每個結(jié)構(gòu)的譜元素來計算一個具有代表性的晶格單元的傳遞矩陣，然后令其等于有限連續(xù)梁單元，從而確定未知連續(xù)體結(jié)構(gòu)特性。Burgardt 和Cartraud[7]利用能量等效的方法提出了一種梁式桁架的等效方法。給出了連續(xù)體的位移場及應(yīng)變及應(yīng)力參數(shù)。對比了不同方法得到的本構(gòu)關(guān)系，對鉸接梁式桁架進(jìn)行了靜態(tài)分析，同時對于三維梁式桁架進(jìn)行了動力學(xué)分析。Odegard 等[8]將等效連續(xù)體建模的方法引入到了納米材料的力學(xué)特性的研究中。以桁架結(jié)構(gòu)的構(gòu)型為中介建立起了分子動力學(xué)模型與殼模型的關(guān)系，求解了等效殼模型的等效剛度，通過計算等效模型的動力學(xué)特性來確定石墨烯結(jié)構(gòu)的厚度。Fan 和Yang[9]采用等效連續(xù)體方法分析了三維拉伸占主導(dǎo)的晶格材料的剛度。文中計算了等效連續(xù)體的強度并建立了連續(xù)體的屈服模型，且與其他模型的結(jié)果進(jìn)行了比較。Salehian 和Inman[10?11]利用均勻化的方法對空間大型充氣式桁架天線的等效連續(xù)體進(jìn)行建模。對剛性鉸鏈連接及柔性鉸鏈連接的充氣式結(jié)構(gòu)分別進(jìn)行了等效研究。Liu 等[12]利用等效連續(xù)體建模的手段研究了大型空間可展開桁架天線結(jié)構(gòu)，為后續(xù)的振動控制的研究提供了理論模型。對剛接環(huán)形桁架建立了等效圓環(huán)的連續(xù)體模型，為了簡化等效過程，文中沒有考慮剛節(jié)點引起的微極效應(yīng)。

非線性能量阱(nonlinear energy sink，NES)的概念提出于2000 年左右，在動力吸振器的基礎(chǔ)上發(fā)展而來[13]。非線性能量阱是一種具有純非線性剛度的吸振器，由于具有寬頻吸振、輕質(zhì)等優(yōu)點，吸引了大量研究者的關(guān)注。研究表明，非線性能量阱的吸振效果明顯高于傳統(tǒng)被動式吸振器[14?15]。

近年來，非線性能量阱在振動抑制方面的研究方興未艾。Farid 等[16]利用NES 的振動抑制效果，考慮了強迫振動下部分填充液罐降解模型的減振問題，并且對比了線性調(diào)諧質(zhì)量阻尼器和非線性被動減振器的減振效能。Fang 等[17]研究了一種將NES 與超磁致伸縮材料相結(jié)合的新型方法, 利用此方法同時實現(xiàn)了振動控制和能量采集。通過靶向能量傳遞，產(chǎn)生了非常有效的振動抑制。Al-Shudeifat 等[18]采用數(shù)值和實驗相結(jié)合的方法，研究了一種輕量化的旋轉(zhuǎn)非線性能量減振器，解決了被動非線性靶向能量轉(zhuǎn)移(TET)問題。Mamaghani 等[19]利用NES 研究了在正弦激勵作用下的雙固定梁的振動問題。文中作者分析了系統(tǒng)發(fā)生張弛振蕩、Hopf 和鞍節(jié)分叉所需的條件。結(jié)果表明在非線性能量泵送的情況下, 隨著附件位置的變化, 系統(tǒng)響應(yīng)的振幅顯著減小。Hill 等[20]利用兩自由度NES 的骨架曲線來解釋其在受到外部強迫時的行為。Kai 等[21]基于非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)來評價NES 在頻域內(nèi)的隔振性能。采用了具有NES 連接系統(tǒng)的兩自由度結(jié)構(gòu)并對結(jié)構(gòu)進(jìn)行了數(shù)值模擬。Zang 和Chen[22]研究了單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)與NES 耦合結(jié)構(gòu)的非線性行為。通過相位軌跡、功率譜和龐加萊截面對系統(tǒng)的混沌運動進(jìn)行識別。Chen 等[23?24]利用NES研究了夾層板及簡支梁的減振問題，同時對其動力學(xué)行為作了詳細(xì)的分析。劉良坤和陳洋洋等[25?26]研究了非線性能量阱(NES)與調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(TMD)混合控制結(jié)構(gòu)振動的方案。針對典型分析模型研究其與立方NES 和TMD 的性能差異，對其性能的魯棒性進(jìn)行研究。

本文將空間完全展開直線式桁架結(jié)構(gòu)等效為連續(xù)梁模型，通過模態(tài)截斷研究了等效梁結(jié)構(gòu)在懸臂條件下的一階彎曲振動問題。通過調(diào)節(jié)NES 的掛載位置，分析不同位置對結(jié)構(gòu)減振效果的影響。結(jié)果表明當(dāng)NES 所在位置初始振幅較大時，其振幅衰減效果好，減振效率高。同時，增加NES 附件的質(zhì)量也可以增加結(jié)構(gòu)振幅衰減的效果。

1 等效梁模型

借助主動控制、被動減振等手段對航天器結(jié)構(gòu)進(jìn)行結(jié)構(gòu)減振是解決航天器減振的重要手段。由于空間環(huán)境呈現(xiàn)出微重力、低阻尼等狀態(tài)，航天器結(jié)構(gòu)在結(jié)構(gòu)減振方面依靠環(huán)境阻尼消耗能量以達(dá)到減振的目的難于實現(xiàn)。而利用非線性能量阱使結(jié)構(gòu)中能量實現(xiàn)單向傳遞以達(dá)到耗能的目的給航天器結(jié)構(gòu)減振的實現(xiàn)帶來了新方法。

圖1 給出了X-brace 型平面桁架附加NES 附件的示意圖。

圖1 桁架結(jié)構(gòu)附加NES 附件的示意圖Fig. 1 Schematic diagram of truss structure with NES attachment

結(jié)構(gòu)在軸線方向由重復(fù)的胞元組成，通過等效方法可以將此類平面桁架結(jié)構(gòu)連續(xù)體等效為平面內(nèi)的梁結(jié)構(gòu)，從而將由眾多桿件構(gòu)成的多自由度系統(tǒng)進(jìn)行“升維”等效為連續(xù)體，再對等效后的、具有桁架屬性的連續(xù)體進(jìn)行模態(tài)截斷，研究所關(guān)注的模態(tài)間的振動問題，為此類多自由度系統(tǒng)的振動特性的求解帶來方便。對等效后的連續(xù)體進(jìn)行相關(guān)的動力學(xué)分析，不僅能有效地反映出結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性，而且降低了計算的工作量，在對結(jié)構(gòu)的理論分析中應(yīng)用廣泛。

下面根據(jù)等效建模的流程對平面桁架結(jié)構(gòu)的等效連續(xù)體問題進(jìn)行研究。圖2 給出了平面桁架結(jié)構(gòu)的等效建模示意圖。

等效后的梁模型上沿著平面軸線任意一處的位移為：

圖2 平面桁架結(jié)構(gòu)的等效建模Fig. 2 Equivalent beam model of plane truss

圖3 三種典型的平面桁架構(gòu)型Fig. 3 Three classical plane truss configuration

根據(jù)式(11)，等效梁的控制微分方程及系數(shù)如下：

通過X-brace 桁架的等效梁模型可以看出，結(jié)構(gòu)不存在拉彎耦合剛度及拉剪耦合剛度，等效模型中各個剛度的構(gòu)成較為簡單。對于空間直線式展開桁架結(jié)構(gòu)，胞元結(jié)構(gòu)沿著一個方向循環(huán)布置，結(jié)構(gòu)細(xì)長構(gòu)成了類似于梁桿的結(jié)構(gòu)，著重考等效梁慮橫向振動且忽略軸向的伸長，應(yīng)用歐拉-伯努利梁理論將等效梁模型進(jìn)行簡化。因此基于歐拉-伯努利梁理論的等效梁橫向振動方程如下：

圖5 給出了桁架有限元模型與等效梁模型固有頻率的相對誤差。空間桁架結(jié)構(gòu)的尺寸普遍較大，在空間運行環(huán)境中，結(jié)構(gòu)的低階振動是主要形式，本文的研究在等效的基礎(chǔ)上，關(guān)注于結(jié)構(gòu)的低階振動模態(tài)，與桁架有限元模型得到的模態(tài)頻率相比較，一階模態(tài)頻率誤差在5% 以內(nèi)，二階模態(tài)頻率誤差在10%以內(nèi)，表明模型的精確度都在研究可接受范圍內(nèi)。

表1 桁架的幾何屬性Table 1 Geometric properties of truss

表2 桁架的前兩階彎曲頻率Table 2 First two bending frequencies of truss

圖4 給出了通過有限元軟件得到的X-brace 型桁架在一端固定一段自由的懸臂邊界條件下的前兩階彎曲模態(tài)，其中圖4(a)為桁架結(jié)構(gòu)在胞元所在平面內(nèi)的一階彎曲模態(tài)，圖4(b)為桁架結(jié)構(gòu)面內(nèi)二階彎曲模態(tài)。從桁架結(jié)構(gòu)1 階、2 階模態(tài)中發(fā)現(xiàn)，在一端固定、一端自由的懸臂邊界條件下，桁架結(jié)構(gòu)的振動模態(tài)與典型的梁結(jié)構(gòu)在懸臂邊界條件下的振動模態(tài)一致。

圖4 面內(nèi)前2 階彎曲模態(tài)Fig. 4 First two in-plane bending modes

圖5 桁架結(jié)構(gòu)有限模型與等效梁模型固有頻率的相對誤差Fig. 5 Relative error of natural frequency between finite model of truss structure and equivalent beam model

2 等效梁附加NES 附件的瞬態(tài)響應(yīng)分析

在將原始桁架結(jié)構(gòu)與梁結(jié)構(gòu)建立等效關(guān)系后，之前所提到的桁架結(jié)構(gòu)附加NES 減振問題就轉(zhuǎn)化為等效梁模型附加NES 的減振問題，這樣從整體上將桁架結(jié)構(gòu)減振問題進(jìn)行了等效。等效梁結(jié)構(gòu)附加NES 后的系統(tǒng)的動力學(xué)方程為：

通過Galerkin 方法將無限自由度連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)截斷，從而實現(xiàn)了“降維”，這樣的先升維再降維的過程對問題的求解實現(xiàn)了簡化?；趹冶哿旱哪B(tài)函數(shù)式(15)，利用Galerkin 法對式(20)進(jìn)行模態(tài)截斷，系統(tǒng)的橫向位移可以表示為：

將式(21)代入式(20)，同時將x從0 至L進(jìn)行積分，利用正交條件，得到如下耦合的非線性常微分方程：

通過式(22)對附加NES 的等效梁系統(tǒng)的動力學(xué)特性進(jìn)行分析。在空間任務(wù)部署中，直線式桁架結(jié)構(gòu)往往一端固定于航天器上，另一端掛載儀器或者負(fù)載完成任務(wù)，受到瞬態(tài)激勵后，結(jié)構(gòu)振動衰減緩慢，對任務(wù)正常進(jìn)行影響較大。我們考慮附加NES 的等效梁結(jié)構(gòu)在受到瞬態(tài)激勵后系統(tǒng)的動力學(xué)特性，考察結(jié)構(gòu)振幅的衰減情況。

首先，考慮結(jié)構(gòu)的一階彎曲模態(tài)。瞬態(tài)激勵的位置施加在結(jié)構(gòu)的兩個位置，一個為接近固定端處，一個為接近自由端處。NES 的掛載位置在固定端與自由端之間移動，考察NES 在不同位置時對結(jié)構(gòu)振動幅值衰減的影響。圖6(a)～圖6(d)給出了結(jié)構(gòu)一階彎曲模態(tài)位移響應(yīng)情況，瞬態(tài)激勵位于自由端附近，NES 掛載位置在位于固定端與自由端之間。圖7 給出了激勵位于固定端附近時施加激勵后10 s 后等效梁幅值響應(yīng)隨NES 不同掛載位置的幅值衰減比率。圖8(a)～圖8(d)同樣給出了結(jié)構(gòu)一階彎曲模態(tài)位移響應(yīng)情況，此時瞬態(tài)激勵位于固定端附近，NES 掛載位置在位于固定端與自由端之間。相關(guān)參數(shù)如下：

從圖6 可以看出，當(dāng)?shù)刃Я航Y(jié)構(gòu)受到位于自由端的激勵作用時，NES 附件所掛載的位置不同，等效梁的幅值響應(yīng)及NES 的幅值響應(yīng)不同。等效梁的幅值響應(yīng)在響應(yīng)發(fā)生的初始時刻相同。NES 附件的幅值在響應(yīng)發(fā)生的初始時刻隨著掛載位置的不同而不同，越接近自由端時，其初始幅值響應(yīng)越大，這是由于對于等效梁的在懸臂邊界條件下的情況，一階彎曲模態(tài)越接近自由端幅值響應(yīng)越大。

圖6 NES 的位置Fig. 6 Location of NES

圖7 中A1為等效梁的在激勵作用下初始階段的幅值相應(yīng)，A2為施加激勵10 s 后等效梁的幅值響應(yīng)，A3為10 s 后等效梁相對于初始幅值響應(yīng)A1的幅值響應(yīng)衰減率。從圖7 可以看出，NES的作用對結(jié)構(gòu)的初始位移是比較敏感的，附加NES 后，結(jié)構(gòu)初始的振動幅值大時，NES 的衰減效果就比較明顯，幅值衰減效率高。

圖7 振幅衰減比率Fig. 7 Ratio of amplitude attenuation

同樣的，直線式桁架結(jié)構(gòu)的固定端會受到來自航天器本體的激勵作用，考慮等效梁結(jié)構(gòu)的固定端受到激勵時，NES 附件不同掛載位置對結(jié)構(gòu)幅值響應(yīng)衰減的影響。

圖8 給出了激勵位于固定端位置時，等效梁幅值響應(yīng)隨著NES 附件不同掛載位置的變化情況。當(dāng)NES 附件位于不同掛載位置時，等效梁的初始幅值響應(yīng)基本相同，而NES 附件的初始位移響應(yīng)區(qū)別較大。NES 附件的初始響應(yīng)與其掛載位置相關(guān)，接近等效梁結(jié)構(gòu)振動幅值較大處，NES附件的幅值響應(yīng)較大。從圖中可以看出，當(dāng)NES附件的幅值響應(yīng)較大時，對結(jié)構(gòu)振動幅值的衰減效果較好。圖9 給出了激勵位于固定端附近時施加激勵后10 s 后等效梁幅值響應(yīng)隨NES 不同掛載位置的幅值衰減比率。其中B1為等效梁的初始振動幅值響應(yīng)，B2為施加激勵10 s 后等效梁的振動幅值響應(yīng)，B3為10 s 后振動幅值的衰減效率。從圖中可以看出，當(dāng)NES 附件靠近自由端時，NES附件被激起的幅值大，從而對等效梁振動幅值衰減效果好。

圖8 NES 的位置Fig. 8 Location of NES

圖9 振幅衰減比率Fig. 9 Ratio of amplitude attenuation

綜合以上分析，等效梁結(jié)構(gòu)掛載NES 附件進(jìn)行減振受到結(jié)構(gòu)振動幅值的影響，當(dāng)NES 附件處于振動幅值較大處時，NES 附件對整體結(jié)構(gòu)的振動幅值衰減效果好。

3 附加NES 質(zhì)量對結(jié)構(gòu)振動幅值衰減效果分析

在對NES 附件掛載于不同位置時的結(jié)構(gòu)振動幅值衰減效果的影響進(jìn)行分析之后，接著對不同質(zhì)量的NES 附件對結(jié)構(gòu)振動幅值衰減效果進(jìn)行分析。激勵的幅值設(shè)置為0.1，考慮等效梁結(jié)構(gòu)的一階彎曲模態(tài)，NES 附件位于等效梁的自由端，考察結(jié)構(gòu)振動幅值衰減為初始響應(yīng)的25%時所用的時間。

從圖10 可以看出，隨著NES 附件質(zhì)量的增加，系統(tǒng)振動幅值衰減得更為迅速，NES 附件的耗能效率更高，因此，當(dāng)滿足設(shè)計要求時NES 采用較大的質(zhì)量對結(jié)構(gòu)的振幅衰減有益。在圖 11 中選取了不同的質(zhì)量系數(shù)，給出了系統(tǒng)振動幅值衰減為初始幅值25%時所用時間。

圖10 當(dāng)NES 附件選取不同質(zhì)量時，結(jié)構(gòu)的振動幅值衰減效果Fig. 10 Vibration amplitude attenuation effect of structure with NES’s of different masses

除了NES 被動減振，線性剛度阻尼減振器(TMD)也在很多工程結(jié)構(gòu)中有應(yīng)用。接下來比較它們的減振效果。圖12 選取了激勵位于自由端，激勵幅值F=2，線性阻尼減振器(TMD)以及NES附件都布置于d=2時，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)衰減情況。

由于非線性系統(tǒng)的耦合作用，附加NES 的等效懸臂結(jié)構(gòu)的初始響應(yīng)較附加線性阻尼減振器的懸臂結(jié)構(gòu)大，但是附加NES 結(jié)構(gòu)的衰減效果明顯。比較圖12(a)中附加線性剛度阻尼減振結(jié)構(gòu)的初始響應(yīng)b*及一段時間后的衰減幅值a*以及圖12(b)中附加NES 結(jié)構(gòu)的初始響應(yīng)d*和一段時間后的衰減幅值c*，明顯地可以看出，在附加NES 的結(jié)構(gòu)中，在激勵發(fā)生后的5 秒左右時，結(jié)構(gòu)振幅的衰減就達(dá)到了可觀的程度，振幅下降的趨勢更為陡峭，體現(xiàn)了NES 優(yōu)于線性剛度阻尼減振的良好減振效果。

4 實驗研究

在對系統(tǒng)整體的振幅響應(yīng)進(jìn)行了分析后，下面進(jìn)行相關(guān)實驗設(shè)計來驗證理論計算中得到一些結(jié)果。

圖13 給出了相關(guān)實驗設(shè)計的簡圖。實驗裝置由懸臂梁構(gòu)成的主體結(jié)構(gòu)及其他三部分組成：part 1 為NES 附件，由非線性的彈簧與質(zhì)量塊組成；part 2 為試驗中的激勵施加手段；part 3 為試驗中振動響應(yīng)的采集設(shè)備。NES 附件的掛載位置位于懸臂梁的軸線上，試驗時沿著軸線x移動NES 位置，實現(xiàn)不同NES 掛載位置對系統(tǒng)振動幅值衰減的影響。相同地，激勵施加于梁的軸線x上，與yoz所形成的平面垂直以期在實驗中避免激起懸臂梁除xoz面以外的振動形式。振動幅值的采集點也選取在軸線x上，盡量避免面外振動導(dǎo)致的振幅影響實驗數(shù)據(jù)的精確度。

圖11 選取不同的質(zhì)量系數(shù)，系統(tǒng)振動幅值衰減為初始幅值25%時所用時間Fig. 11 With different mass coefficient, time taken by system when response amplitude is reduced to 25% of initial amplitude

圖12 減振效果比較Fig. 12 Comparison of vibration reduction effects

圖13 懸臂梁結(jié)構(gòu)耦合NES 附件振動實驗簡圖Fig. 13 Experiment diagram of cantilever beam coupling NES attachment

圖14 給出實驗裝置實物圖。在實際應(yīng)用中，懸臂梁結(jié)構(gòu)采用了鋼片結(jié)構(gòu)，減小了結(jié)構(gòu)在振動過程中面外方向振動的影響。表3 給出了懸臂梁的基本參數(shù)。

圖14 實驗裝置實物圖Fig. 14 Experimental equipment

表3 懸臂梁的基本參數(shù)Table 3 Physical parameters of cantilever beam

NES 附件的質(zhì)量選取了不同質(zhì)量的砝碼，方便對比不同質(zhì)量系數(shù)下結(jié)構(gòu)的衰減效率。振幅采集設(shè)備采用基恩士激光單點振位移采集器，設(shè)備提供了較高的實驗采集精度及采集率。試驗中，為了得到NES 中的非線性彈簧，選取不同的彈性橡膠繩進(jìn)行了靜力加載實驗。通過加載不同質(zhì)量，測量彈簧的剛度曲線，得到了圖15 中的力-位移曲線。從圖15 的曲線趨勢可以看出，彈簧剛度曲線具有三次非線性彈簧的特征。

圖15 非線性彈簧的剛度曲線Fig. 15 Stiffness curve of nonlinear spring

通過測量不同NES 質(zhì)量懸臂梁橫向位移瞬態(tài)響應(yīng)的時域曲線，在理論計算中比較了不同質(zhì)量比懸臂梁橫向位移的瞬態(tài)響應(yīng)。圖16 給出了懸臂梁在未附加NES 時及加載不同質(zhì)量的NES 時其橫向位移響應(yīng)的時域曲線。在梁的自由端施加相同的位移激勵幅值(15 mm)，NES 附件的質(zhì)量越大，懸臂梁結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)響應(yīng)衰減效率越高。實驗結(jié)果的趨勢驗證了理論計算的正確性。圖17 給出了對應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)曲線的包絡(luò)線，進(jìn)一步說明了結(jié)果的正確性。

圖16 不同NES 附件質(zhì)量時懸臂梁振動幅值的時域響應(yīng)Fig. 16 Time-domain curve of transient response attenuation of structures with NES’s of different masses

圖17 不同NES 附件質(zhì)量時懸臂梁振動幅值的時域響應(yīng)包絡(luò)線Fig. 17 Envelope of time-domain curves of transient response attenuation of structures with different masses

5 結(jié)論

本文基于等效桁架梁模型對桁架結(jié)構(gòu)附加NES 的減振問題進(jìn)行了相關(guān)研究。將直線式桁架結(jié)構(gòu)等效為連續(xù)梁結(jié)構(gòu)，通過模態(tài)截斷研究了等效梁在懸臂條件下面內(nèi)一階彎曲振動問題，得到如下結(jié)論：

(1) 通過調(diào)節(jié)NES 的掛載位置，分析了不同位置對結(jié)構(gòu)減振效果的影響。結(jié)果表明，當(dāng)NES 所在位置初始振幅較大時，其振幅衰減效果好，減振效率高。

(2) 研究了NES 附件的質(zhì)量對結(jié)構(gòu)減振效果的影響。結(jié)果表明，通過增加NES 附件的質(zhì)量也可以增加結(jié)構(gòu)振幅衰減的效果，且通過實驗加以了驗證。

(3) 比較了NES 被動減振和線性剛度阻尼減振器(TMD)的減振效果。發(fā)現(xiàn)在相同條件下，NES被動減振的效果明顯優(yōu)于線性剛度阻尼減振器(TMD)。