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        黏土蠕變非線性特性及其分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)蠕變模型

        2020-09-17 08:50:06鵬,王鵬,張華,唐
        工程力學(xué) 2020年9期
        關(guān)鍵詞:理論模型

        任 鵬,王 鵬,張 華,唐 印

        (1. 四川省建筑科學(xué)研究院有限公司,成都 610081;2. 地質(zhì)災(zāi)害防治與地質(zhì)環(huán)境保護(hù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(成都理工大學(xué)),成都 610059;3. 成都大學(xué)建筑與土木工程學(xué)院,成都 610106)

        黏土的蠕變具有顯著的非線性,尤其是在中-高應(yīng)力條件下[1]。元件模型因?yàn)榫哂欣碚摶A(chǔ)完善、形式簡(jiǎn)單、規(guī)律明確、概念清晰等優(yōu)點(diǎn),成為研究非線性蠕變的重要基礎(chǔ)。目前非線性蠕變研究主要有以下幾方面:1)傳統(tǒng)元件與經(jīng)驗(yàn)?zāi)P停瑢O均[1]提出采用傳統(tǒng)元件模型描述低應(yīng)力條件下的蠕變,非線性經(jīng)驗(yàn)?zāi)P兔枋龈邞?yīng)力條件下的蠕變,以此建立非線性蠕變模型;2)傳統(tǒng)元件與新型非線性元件,李晶晶等[2]通過(guò)在Burgers 模型的基礎(chǔ)上串聯(lián)一個(gè)非線性黏塑性元件來(lái)描述加速蠕變,建立了膨脹土的非線性蠕變模型;劉開云等[3]通過(guò)構(gòu)建應(yīng)變觸發(fā)式非線性黏滯元件來(lái)描述加速蠕變,并與Bingham 模型串聯(lián),建立了三維非線性蠕變模型;韓陽(yáng)等[4]通過(guò)構(gòu)建一種非線性黏滯元件,分別替換Burgers 模型中的兩個(gè)黏滯元件,建立了非定常Burgers 蠕變模型;3)傳統(tǒng)元件與損傷非線性元件,蒲成志等[5]基于損傷理論分別構(gòu)建了彈性損傷元件和黏性損傷元件,并以此與其他經(jīng)典元件組合建立了五元件非線性蠕變損傷模型;謝星等[6]采用Maxwell 模型和滑塊元件并聯(lián)描述線性蠕變,構(gòu)建的損傷元件描述非線性蠕變,以此建立了統(tǒng)計(jì)損傷蠕變模型;4)傳統(tǒng)元件與分?jǐn)?shù)階黏滯元件,郭佳奇等[7]通過(guò)分?jǐn)?shù)階微積分理論,構(gòu)建了分?jǐn)?shù)階黏滯元件,并利用新元件代替Kelvin-Voigt 模型中的傳統(tǒng)黏滯元件,建立了分?jǐn)?shù)階微積分Kelvin-Voigt 模型;肖世武等[8]通過(guò)采用Koeller 彈滯元件代替標(biāo)準(zhǔn)線性固體模型中的傳統(tǒng)黏滯元件,建立了分?jǐn)?shù)階非線性流變模型;蘇騰等[9]在Scott-Blair 分?jǐn)?shù)階元件和變系數(shù)分?jǐn)?shù)階元件的基礎(chǔ)上,建立了變階分?jǐn)?shù)階非線性黏彈塑性蠕變模型。國(guó)外對(duì)非線性蠕變也有大量的研究,Chunlin[10]通過(guò)Bingham 模型和Kelvin 模型,結(jié)合損傷理論,建立了非線性黏彈塑性損傷蠕變模型;Zhu 等[11]根據(jù)試驗(yàn)擬合,構(gòu)建非線性化蠕變系數(shù),并建立了非線性蠕變模型;Cao 等[12]基于損傷理論構(gòu)建了一個(gè)損傷黏滯元件和損傷彈性元件,分別替換Burgers 模型中的傳統(tǒng)黏滯元件和彈性元件,建立了非線性損傷蠕變模型;Li 等[13]基于分?jǐn)?shù)階微積分理論構(gòu)建了分?jǐn)?shù)階黏滯元件,并將其替換了西元模型中的兩個(gè)傳統(tǒng)黏滯元件,同時(shí)還基于指數(shù)函數(shù)構(gòu)建了非線性黏塑性元件,將其與改進(jìn)西元模型串聯(lián),建立了非線性蠕變模型;Zhao 等[14]認(rèn)為在蠕變過(guò)程中,彈性模量隨應(yīng)力或時(shí)間的變化非線性軟化,而黏滯系數(shù)隨應(yīng)力或時(shí)間的變化非線性硬化,并基于損傷理論、硬化理論和Burgers 模型,建立了損傷硬化非線性蠕變模型。Yang 等[15]基于損傷理論和分?jǐn)?shù)階微積分理論,構(gòu)建了分?jǐn)?shù)階黏滯元件,建立了五元件非線性損傷蠕變模型。非線性蠕變的研究已經(jīng)碩果累累,但是也存在以下問(wèn)題:經(jīng)驗(yàn)?zāi)P屠碚摶A(chǔ)不足、地域性限制大;基于新型非線性元件、損傷理論和分?jǐn)?shù)階微積分理論的蠕變模型常常因?yàn)榻T?shù)量較多,而引起模型參數(shù)多、形式復(fù)雜,不利于使用和推廣。因此建立一個(gè)理論基礎(chǔ)完善、形式簡(jiǎn)單、概念清晰的非線性蠕變模型是非常有必要的。

        本文以成都黏土為研究背景,首先展開蠕變?cè)囼?yàn),通過(guò)分析黏土長(zhǎng)期彈性模量和黏滯系數(shù)隨應(yīng)力和時(shí)間變化的規(guī)律,明確黏土蠕變的非線性規(guī)律;其次,基于分?jǐn)?shù)階微積分理論構(gòu)建了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)元件,基于Harris 衰減函數(shù)分別構(gòu)建了非線性軟化彈性元件和非線性硬化黏滯元件,并建立了非線性分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)蠕變模型;最后通過(guò)非線性蠕變模型的擬合驗(yàn)證分析,明確了本文蠕變模型的科學(xué)合理性。

        1 蠕變?cè)囼?yàn)

        1.1 試驗(yàn)儀器

        以成都黏土作為研究對(duì)象,進(jìn)行三軸蠕變?cè)囼?yàn),其主要物理性質(zhì)參數(shù)如表1 所示。由該黏土的液塑限及含水率計(jì)算可知,天然狀態(tài)下的成都黏土處于硬塑狀態(tài),其黏聚力和內(nèi)摩擦角相對(duì)較大,表明土體力學(xué)性質(zhì)相對(duì)較好。但根據(jù)成都黏土地區(qū)的實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn),成都黏土一般具有較強(qiáng)的水敏性及弱-中膨脹勢(shì),其綜合力學(xué)性質(zhì)復(fù)雜多變,其土體力學(xué)性質(zhì)特殊性較強(qiáng),具有一定的代表性。試驗(yàn)儀器采用CSS-2901TS 土體三軸流變?cè)囼?yàn)機(jī),如圖1 所示,該試驗(yàn)儀器可通過(guò)應(yīng)力控制的方式完成蠕變?cè)囼?yàn)。

        圖1 CSS-2901TS 土體三軸流變?cè)囼?yàn)機(jī)Fig. 1 CSS-2901TS soil triaxial rheological testing machine

        表1 成都黏土的基本物理性質(zhì)Table 1 Basic properties of Chengdu clay

        1.2 試驗(yàn)方法

        1)制樣,試樣尺寸為:高78 mm,直徑39.1 mm,并采用抽真空注水的方法飽和試樣。

        2)裝樣及固結(jié),對(duì)試樣施加200 kPa 的圍壓,加壓速率為0.1 kPa/min。當(dāng)圍壓加壓完畢后,先關(guān)閉孔隙水壓力排水閥門,待孔隙水壓力上升至圍壓的98%以后,打開孔隙水壓力排水閥門,孔隙水壓力逐漸降低,直至孔隙水壓力消散達(dá)到95%以上,再次關(guān)閉孔隙水壓力閥門,若穩(wěn)定的孔隙水壓力消散仍在95%以上,即認(rèn)為試樣固結(jié)完成。

        3)蠕變加載方案,蠕變?cè)囼?yàn)采用分級(jí)加載進(jìn)行,加載總應(yīng)力qf為333.98 kPa(qf根據(jù)《土工試驗(yàn)方法標(biāo)準(zhǔn)》(GB/T 50123?2019),由同等條件下的常規(guī)固結(jié)不排水三軸剪切試驗(yàn)確定)。每級(jí)軸向加載偏應(yīng)力?q=qf/x,x為加載級(jí)數(shù)(x=4);綜上,本次蠕變?cè)囼?yàn)的加載方案為:83.49 kPa→166.98 kPa→250.47 kPa→333.96 kPa。

        4)蠕變?cè)囼?yàn)每級(jí)荷載下的試樣穩(wěn)定標(biāo)準(zhǔn)為變形量小于0.01 mm/2d。

        2 試驗(yàn)結(jié)果及分析

        2.1 蠕變?cè)囼?yàn)曲線

        成都黏土的蠕變時(shí)程曲線如圖2 所示。由圖2可知,成都黏土蠕變有以下特點(diǎn):前三級(jí)加載時(shí),軸向應(yīng)變隨時(shí)間逐漸衰減,表現(xiàn)出衰減蠕變性質(zhì);第四級(jí)加載后,軸向應(yīng)變先以穩(wěn)定的速率變形,隨后應(yīng)變速率迅速增大,直至試樣破壞,蠕變表現(xiàn)出一定的穩(wěn)態(tài)蠕變和顯著的加速蠕變性質(zhì)。

        圖2 軸向應(yīng)變時(shí)程曲線Fig. 2 Time history curves of the axial strain

        2.2 長(zhǎng)期強(qiáng)度

        成都黏土的等時(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖3 所示。由圖3 可知:應(yīng)力應(yīng)變等時(shí)曲線出現(xiàn)分離,隨著時(shí)間的發(fā)展,加載瞬時(shí)的黏土應(yīng)變遠(yuǎn)小于其他時(shí)刻的應(yīng)變,表現(xiàn)出顯著的蠕變變形。

        圖3 應(yīng)力-應(yīng)變等時(shí)曲線Fig. 3 Isochronous stress-strain curves

        其原因可能為:黏土加載的瞬時(shí)速率遠(yuǎn)大于蠕變速率,土體力學(xué)性質(zhì)表現(xiàn)出遠(yuǎn)大于長(zhǎng)期彈性模量和長(zhǎng)期強(qiáng)度的瞬時(shí)彈性模量和瞬時(shí)強(qiáng)度,因此加載瞬時(shí)的黏土變形較??;但在恒定荷載下,隨著時(shí)間的增加,黏土力學(xué)性質(zhì)表現(xiàn)出長(zhǎng)期彈性模量和長(zhǎng)期強(qiáng)度,其變形迅速增加,因此加載瞬時(shí)和加載后的應(yīng)力應(yīng)變曲線分離。第三級(jí)加載后,曲線出現(xiàn)拐點(diǎn),根據(jù)沈明榮等[16]提出確定長(zhǎng)期強(qiáng)度的等時(shí)曲線法,可將第三級(jí)軸向應(yīng)力作為黏土的長(zhǎng)期強(qiáng)度 σL;由于第四級(jí)軸向應(yīng)力為常規(guī)三軸固結(jié)不排水確定的應(yīng)力,其剪切應(yīng)變速率遠(yuǎn)大于蠕變速率,可認(rèn)為黏土是“瞬時(shí)”剪切破壞的,可將第四級(jí)軸向應(yīng)力作為黏土的瞬時(shí)強(qiáng)度。

        2.3 長(zhǎng)期彈性模量

        成都黏土彈性模量EL的時(shí)程曲線如圖4 所示。由圖4 可知:在前三級(jí)加載時(shí),EL隨著時(shí)間的增加先以較大的速率迅速衰減,隨后逐漸收斂,保持不變;最后一級(jí)加載后,EL先以某一速率穩(wěn)定衰減,隨后衰減速率突增,直至土體破壞;并且EL隨著應(yīng)力的增加而減?。痪C上所述,EL是時(shí)間和應(yīng)力的函數(shù),隨時(shí)間和應(yīng)力的增加非線性軟化。

        圖4 長(zhǎng)期彈性模量時(shí)程曲線Fig. 4 Time history curves of the long-term modulus

        2.4 黏滯系數(shù)

        成都黏土黏滯系數(shù) η的時(shí)程曲線如圖5 所示。由圖5 可知: η隨著時(shí)間的增加而增加,隨著加載應(yīng)力的增大而減小;在最后一級(jí)加載時(shí), η先隨時(shí)間的增加而增加,但隨后急劇減小,直至土樣破壞。綜上所述, η是時(shí)間和應(yīng)力的函數(shù),隨時(shí)間的增加非線性硬化,隨應(yīng)力的增加非線性軟化。

        圖5 黏滯系數(shù)時(shí)程曲線Fig. 5 Time history curves of the viscous coefficient

        3 非線性蠕變模型

        3.1 分?jǐn)?shù)階黏滯元件

        元件模型雖然具有諸多優(yōu)點(diǎn),但其對(duì)非線性性質(zhì)的描述還存在不足,而分?jǐn)?shù)階算子因?yàn)閷?duì)材料的歷史具有記憶性,在描述黏塑性和黏彈性時(shí)具有顯著的優(yōu)勢(shì),可很好地彌補(bǔ)元件模型的不足[17 ? 18]。

        分?jǐn)?shù)階微積分定義最常用的理論是Riemann-Liouville[19 ? 20]理論:設(shè)函數(shù)f在(0,+∞)上連續(xù)可積,對(duì)t>0 , Re(n)≥0,分?jǐn)?shù)階積分有:

        式中: Γ(n)為Gamma 函數(shù);n為分?jǐn)?shù)階階數(shù)。

        圖6 分?jǐn)?shù)階黏滯元件Fig. 6 Fractional viscous element

        3.2 非線性元件

        由于Harris 函數(shù)是一種形式簡(jiǎn)單,曲線靈活的衰減型函數(shù)[21?22],有利于描述非線性衰減蠕變性質(zhì),因此采用該函數(shù)描述非線性衰減蠕變,其公式如下:

        由式(7)建立非線性彈性元件,如圖7 所示,其本構(gòu)如下:

        圖7 非線性彈性元件Fig. 7 Nonlinear elastic element

        2)非線性黏滯元件

        由圖5 可知:黏滯系數(shù)是應(yīng)力的衰減函數(shù),是時(shí)間的增函數(shù)。因此,提出 η的非線性公式如下:

        圖8 非線性黏滯元件Fig. 8 Nonlinear viscous element

        3.3 非線性分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)蠕變模型

        本文擬采用1 個(gè)非線性彈簧元件E、1 個(gè)非線性黏滯元件 η1、1 個(gè)分?jǐn)?shù)階黏滯元件 η2和1 個(gè)塑性元件V構(gòu)建蠕變模型,如圖9 所示。在圖9 中,彈簧元件描述瞬時(shí)彈性變形;當(dāng) 0

        圖9 非線性分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)蠕變模型Fig. 9 Nonlinear fractional derivative creep model

        當(dāng)t=0 時(shí),在模型上施加應(yīng)力 σ,黏土變形有:

        4 蠕變模型辨識(shí)及性質(zhì)分析

        4.1 蠕變模型辨識(shí)

        本文非線性分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)蠕變模型與經(jīng)典Burgers模型類似,后者具有能較好反映瞬時(shí)應(yīng)變、初始蠕變和穩(wěn)態(tài)蠕變、卸載后產(chǎn)生塑性變形等優(yōu)點(diǎn)[24]。因此,分別利用本文蠕變數(shù)據(jù)和文獻(xiàn)[25]中的蠕變數(shù)據(jù)對(duì)本文蠕變模型和經(jīng)典Burgers 模型進(jìn)行擬合分析。結(jié)果分別見(jiàn)圖10、圖11 及表2。

        圖10 本文蠕變?cè)囼?yàn)擬合曲線Fig. 10 Fitting curves of creep test in this paper

        由表2 可知,非線性分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)蠕變模型在兩個(gè)蠕變?cè)囼?yàn)第一級(jí)加載時(shí),擬合參數(shù)ab<0,c>1 表明EL(σ,t) 、 η(σ,t)均是時(shí)間和應(yīng)力的增函數(shù),可以理解為在加載較小應(yīng)力時(shí),土體力學(xué)性質(zhì)整體增強(qiáng);但隨后ab>0 , 0

        各參數(shù)的建議取值區(qū)間為:在低應(yīng)力條件下,a的取值區(qū)間為(0.102, 0.439),b的取值區(qū)間為(?1.001, ?1.465),c的取值區(qū)間為(1.599, 1.817);在中-高級(jí)應(yīng)力條件下(第二級(jí)加載以后),a的取值區(qū)間為(?0.019, ?0.362),b的取值區(qū)間為(?2.496,?5.629),c的取值區(qū)間為(0.271, 0.969);n的取值區(qū)間為(7.662, 8.066)。以上各參數(shù)取值區(qū)間僅為本文對(duì)成都黏土的建議取值區(qū)間。

        由圖10、圖11 可知,在低應(yīng)力階段,兩個(gè)蠕變模型與蠕變?cè)囼?yàn)值的擬合度均較好,但隨著應(yīng)力和時(shí)間的發(fā)展,非線性分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型與蠕變?cè)囼?yàn)值的擬合度明顯優(yōu)于Burgers 模型,尤其是在加速蠕變階段。綜上所述,本文非線性蠕變模型是科學(xué)合理的,可更準(zhǔn)確地反映黏土蠕變?nèi)^(guò)程。

        圖11 文獻(xiàn)[25]蠕變?cè)囼?yàn)的擬合曲線Fig. 11 Fitting curves of creep tests in Reference [25]

        表2 兩種蠕變模型的擬合參數(shù)Table 2 The fitting parameters of two creep models

        5 結(jié)論

        針對(duì)黏土蠕變的非線性性質(zhì),以成都黏土為研究背景展開了蠕變?cè)囼?yàn);并根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果、分?jǐn)?shù)階微積分理論及Harris 衰減函數(shù),建立了非線性分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)蠕變模型,主要結(jié)論如下:

        (1)根據(jù)成都黏土蠕變?cè)囼?yàn)結(jié)果,發(fā)現(xiàn)成都黏土的變形主要包括瞬時(shí)彈性變形、衰減蠕變變形、穩(wěn)態(tài)蠕變變形和加速蠕變變形;長(zhǎng)期彈性模量隨時(shí)間和應(yīng)力的增加非線性軟化,黏滯系數(shù)隨應(yīng)力的增加非線性軟化,隨時(shí)間的增加非線性硬化。

        (2)基于分?jǐn)?shù)階微積分理論和Harris 函數(shù),分別提出了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏滯元件、非線性彈性模量和非線性黏滯系數(shù),并建立了模型簡(jiǎn)單、參數(shù)少和概念清晰的非線性分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)蠕變模型。

        (3)通過(guò)兩組蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù),對(duì)非線性分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)蠕變模型及Burgers 蠕變模型進(jìn)行擬合分析,發(fā)現(xiàn)前者各階段的擬合系數(shù)均大于后者并大于0.99,各擬合參數(shù)的規(guī)律更明顯,對(duì)黏土非線性蠕變規(guī)律的描述更為合理,綜上所述本文建立的非線性蠕變模型是科學(xué)合理的,可更準(zhǔn)確地反映黏土蠕變?nèi)^(guò)程。并給出了本文非線性蠕變模型各參數(shù)的建議取值區(qū)間。

        應(yīng)當(dāng)指出,通過(guò)黏土蠕變?cè)囼?yàn),確定彈性模量和黏滯系數(shù)的非線性特性;在流變學(xué)理論和分?jǐn)?shù)階微積分理論的基礎(chǔ)上,構(gòu)建分?jǐn)?shù)階黏滯元件,非線性彈性模量和非線性黏滯系數(shù),建立的非線性分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)蠕變模型,是對(duì)黏土非線性蠕變規(guī)律研究的一種嘗試和探討,但是文中只通過(guò)兩個(gè)蠕變?cè)囼?yàn)對(duì)非線性分?jǐn)?shù)階蠕變模型進(jìn)行辨識(shí)分析,所以蠕變模型的普適性還需要進(jìn)一步驗(yàn)證。

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