趙 密，邵偉昂，黃景琦，杜修力，王 媛

(1. 北京工業(yè)大學(xué)城市與工程安全減災(zāi)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124；2. 北京科技大學(xué)土木與資源工程學(xué)院，北京 100083)

隧道作為我國山區(qū)的生命線工程，在國家基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)中占有重要作用。由于隧道埋置于土體或巖體介質(zhì)中，相較于地上結(jié)構(gòu)，以往的研究者認(rèn)為隧道結(jié)構(gòu)具有較好的抗震性能。但在近幾次大地震中，如Kobe(1995)、Chichi(1999)和Wenchuan(2008)等地震，很多的隧道結(jié)構(gòu)遭受嚴(yán)重破壞，造成了大量的人員傷亡及財(cái)產(chǎn)損失[1?3]。因此，在隧道結(jié)構(gòu)安全性設(shè)計(jì)中除需考慮周圍巖土體的靜力荷載外，還需考慮地震帶來的附加地震荷載。對(duì)隧道設(shè)計(jì)者而言，簡單有效的隧道內(nèi)力及變形計(jì)算方法對(duì)隧道抗震設(shè)計(jì)尤為重要[4?5]。

目前隧道抗震設(shè)計(jì)主要有以下三種方法：數(shù)值分析方法、模型試驗(yàn)方法和簡化解析方法。數(shù)值分析方法包括動(dòng)力時(shí)程分析方法[6? 7]及擬靜力簡化分析方法(如整體式反應(yīng)位移法[8]、Pushover分析方法[9]等)，其優(yōu)點(diǎn)為可考慮眾多復(fù)雜條件，但對(duì)設(shè)計(jì)者的數(shù)值計(jì)算理論和軟件操作能力要求較高；模型試驗(yàn)[10]通過相似比設(shè)計(jì)可很好的反應(yīng)真實(shí)情況，但周期長、費(fèi)用高，較難在實(shí)際工程設(shè)計(jì)中大規(guī)模采用；相較于前兩種方法，簡化解析方法由于能夠給出隧道地震內(nèi)力及變形的計(jì)算公式，可快速對(duì)隧道地震反應(yīng)進(jìn)行計(jì)算，因此在隧道結(jié)構(gòu)的初步設(shè)計(jì)中得到廣泛應(yīng)用。Hoeg[11]提出了地震荷載作用下圓形隧道軸力、彎矩和位移的解析解；Einstein 等[12]推導(dǎo)了無窮遠(yuǎn)處剪應(yīng)力作用下圓形地下結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和變形；Wang[13]考慮了土-結(jié)構(gòu)相互作用，分別給出了圓形和矩形地下結(jié)構(gòu)的內(nèi)力求解公式；Penzien[14]基于梁單元假設(shè)，提出了一種矩形隧道和圓形隧道內(nèi)力及變形的解析方法；Bobet[15? 16]考慮隧道處于飽和沉積物中并受到快速加載的地震荷載，分別針對(duì)排水與不排水條件推導(dǎo)了圓形隧道內(nèi)力的計(jì)算公式。另外，Park 等[17]通過引入接觸剛度系數(shù)，推導(dǎo)了能夠考慮土體與地下結(jié)構(gòu)不同接觸條件下的靜力解析解。

由于能夠簡便快捷的計(jì)算隧道襯砌的抗震設(shè)計(jì)內(nèi)力，簡化的解析方法常在初步設(shè)計(jì)中被用于估算隧道的內(nèi)力與變形。然而上述各簡化解析方法的求解公式并不完全相同，不同解析方法對(duì)隧道內(nèi)力與變形的計(jì)算結(jié)果甚至出現(xiàn)相差較大的情況。因此，需對(duì)此類簡化解析公式的準(zhǔn)確性進(jìn)行必要的對(duì)比驗(yàn)證。Hashash 等[18]指出在土體與結(jié)構(gòu)接觸完全滑動(dòng)的情況下，Wang 和Penzien 的方法計(jì)算結(jié)果一致，而當(dāng)土體與結(jié)構(gòu)處于完全綁定的情況下，Wang 的計(jì)算結(jié)果明顯高于Penzien 的計(jì)算結(jié)果；Sedarat 等[19]在無滑移條件下通過將Wang和Penzien 的解析解與擬靜力有限元的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，得出Penzien 的解析解嚴(yán)重低估了隧道軸力；Kontoe 等[20]同樣通過擬靜力有限元數(shù)值模擬，考慮不同的接觸狀態(tài)及不同的土-結(jié)構(gòu)相對(duì)剛度，對(duì)Wang、Penzien、Bobet 和Park 等四種方法進(jìn)行了較為系統(tǒng)的驗(yàn)證。在國內(nèi)，晏啟祥等[21]、賓佳[22]對(duì)簡化解析方法也進(jìn)行了相關(guān)的驗(yàn)證。上述驗(yàn)證工作通常采用擬靜力有限元模型對(duì)簡化解析方法進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證，將地震荷載等效為均勻的剪應(yīng)變或剪應(yīng)力，并忽略結(jié)構(gòu)慣性效應(yīng)及隧道對(duì)地震波的散射作用。而實(shí)際地震作用下的隧道結(jié)構(gòu)響應(yīng)為一種動(dòng)力響應(yīng)過程，需考慮地震傳播的時(shí)空效應(yīng)、結(jié)構(gòu)的慣性效應(yīng)及散射場作用[23?24]。另外，簡化解析方法假定結(jié)構(gòu)埋置于無限巖土體中，未考慮實(shí)際工程中地表對(duì)淺埋結(jié)構(gòu)的影響。因此，采用理論上相對(duì)較為完備的近場波動(dòng)有限元方法，開展不同場地土類別及不同埋深下簡化解析方法對(duì)隧道內(nèi)力預(yù)測精度的驗(yàn)證，給出簡化解析方法的適用條件及計(jì)算精度具有重要的工程意義。

本文采用近場波動(dòng)有限元方法對(duì)隧道地震響應(yīng)進(jìn)行模擬求解。其中，以黏彈性人工邊界條件模擬無限域的輻射阻尼效應(yīng)，以等效節(jié)點(diǎn)力方法模擬地震動(dòng)的波動(dòng)輸入。最終，以數(shù)值模擬結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)解，對(duì)Wang、Bobet 和Park 等3 種經(jīng)典簡化解析方法在不同的場地土類別及不同埋深下的精度及適用條件進(jìn)行研究。

1 圓形隧道橫斷面地震響應(yīng)簡化解析方法

當(dāng)圓形隧道橫斷面受豎向入射剪切波作用時(shí)，簡化解析方法通常假設(shè)隧道-圍巖土系統(tǒng)的周邊遠(yuǎn)場地層處于純剪狀態(tài)，如圖1(a)所示。圓形隧道此時(shí)的變形為一種橢圓形的剪切變形，如圖1(b)所示。此時(shí)隧道內(nèi)力取決于遠(yuǎn)場剪應(yīng)力的大小及圍巖土-結(jié)構(gòu)的相對(duì)剛度。為描述圍巖土與結(jié)構(gòu)之間的相對(duì)剛度，Wang[13]通過采用壓縮比C和柔度比F兩個(gè)參數(shù)對(duì)隧道結(jié)構(gòu)與周圍圍巖土介質(zhì)的相對(duì)剛度進(jìn)行量化。隧道襯砌的內(nèi)力與變形是壓縮比C和柔度比F的函數(shù)。壓縮比C和柔度比F的表達(dá)式為：

式中：下標(biāo)m 和l 分別代表圍巖土和隧道襯砌；E和ν分別表示介質(zhì)的彈性模量與泊松比；r和t分別表示隧道半徑及襯砌厚度；I為隧道襯砌的截面慣性矩。

圖1 簡化解析方法的分析模型Fig.1 Analytical model of simplified analytical method

對(duì)于圍巖土與結(jié)構(gòu)的接觸條件，簡化解析方法中往往假定為完全無滑移和全滑移兩種接觸條件，且兩種接觸條件預(yù)測內(nèi)力的結(jié)果往往差異較大[20]。實(shí)際工程中圍巖土介質(zhì)與隧道襯砌接觸面較為粗糙，不可能處于完全滑移狀態(tài)，因此全滑移接觸的假設(shè)與實(shí)際情況差距較大。杜修力等[25]研究結(jié)果表明在小震情況下接觸面粗糙程度對(duì)地下結(jié)構(gòu)橫斷面地震響應(yīng)影響并不顯著，因此本文僅討論無滑移條件下簡化解析方法的精度。

1.1 Wang 的解析解

Wang[13]給出了在完全滑移狀態(tài)及無滑移狀態(tài)

在無滑移條件下，Wang 未給出彎矩的公式，但建議可采用全滑移下的彎矩公式進(jìn)行求解。

1.2 Bobet 的解析解

1.3 Park 的解析解

2 近場時(shí)域波動(dòng)有限元方法

在近場時(shí)域波動(dòng)有限元方法中，通常在模型截?cái)噙吔缣幵O(shè)置人工邊界條件來模擬無限域的輻射阻尼效應(yīng)。相對(duì)于黏性邊界[26]與透射邊界[27?28]，黏彈性邊界[29? 30]能夠較好地模擬無限域地基的彈性恢復(fù)性能和輻射阻尼效應(yīng)，且在有限元軟件中方便實(shí)現(xiàn)。另外，地震動(dòng)作為外源荷載通常采用等效節(jié)點(diǎn)力的方法進(jìn)行施加[31?32]。因此，考慮人工邊界條件的近場時(shí)域波動(dòng)有限元的控制方程可寫為[24]：

式中：下標(biāo)I和B分別表示內(nèi)部節(jié)點(diǎn)和人工邊界節(jié)點(diǎn)；U、U˙ 和U¨分別為位移、速度和加速度；M、C和K分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；FB為截?cái)噙吔绻?jié)點(diǎn)上的地震荷載向量；FI為內(nèi)部節(jié)點(diǎn)上的荷載向量。子矩陣CB和KB為黏彈性人工邊界的對(duì)角矩陣。對(duì)于人工邊界上的特定節(jié)點(diǎn)l，對(duì)角矩陣[CB]l和[KB]l的對(duì)角項(xiàng)為黏彈性人工邊界的彈簧-阻尼元件參數(shù)，其表達(dá)式為[29]：

3 簡化解析方法的數(shù)值驗(yàn)證

3.1 時(shí)域波動(dòng)有限元分析模型建立

采用通用有限元程序ABAQUS[33]，建立圓形隧道橫斷面的二維有限元分析模型，如圖2 所示，模型寬度為120 m。為討論隧道埋深的影響，隧道拱頂至地表的距離H分別設(shè)定為1 m、3 m、5 m、7 m、10 m、17 m、27 m、37 m、47 m、57 m、67 m 和77 m。隧道襯砌外半徑為3 m，襯砌厚度為0.3 m。在模型底部和兩側(cè)施加黏彈性人工邊界條件來模擬無限域的輻射阻尼效應(yīng)。具體方法為在人工邊界面所有單元節(jié)點(diǎn)上，分別在法向和切向上施加并聯(lián)的彈簧單元與阻尼單元。彈簧單元與阻尼單元的參數(shù)通過式(17)進(jìn)行求解。圍巖土體介質(zhì)及隧道襯砌均采用平面應(yīng)變單元模擬。圍巖土體介質(zhì)與隧道襯砌的接觸面采用完全綁定約束以模擬無滑移接觸條件。

圖2 計(jì)算模型Fig. 2 Computation model

巖土體和隧道襯砌均采用線彈性本構(gòu)模型，隧道襯砌密度為2500 kg/m3，泊松比為0.2，彈性模量為24.8 GPa。假定結(jié)構(gòu)周圍場地為均勻、各向同性介質(zhì)。為研究場地中不同巖土體類別對(duì)簡化解析方法精度的影響，參考《城市軌道交通結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB50909?2014)[34]，選取軟弱土、中軟土、中硬土、堅(jiān)硬土或軟巖和巖石等五種類別的巖土體，場地密度為2500 kg/m3，泊松比為0.25，每種巖土體類型選取2 組參數(shù)。巖土體介質(zhì)的彈性模量、剪切波速及相應(yīng)的柔度比見表1所示。

表1 場地巖土體參數(shù)Table 1 Parameters of surrounding ground

輸入地震動(dòng)為1995 年日本阪神地震中的Kobe波，其加速度時(shí)程曲線見圖3 所示。截取能反映Kobe 波地震特性的前20 s 進(jìn)行輸入，加速度峰值6.114 m/s2。地震波作為剪切波從模型底部開始輸入，傳播方向沿豎向垂直傳播。

圖3 輸入的Kobe 波加速度時(shí)程曲線Fig. 3 Acceleration time-history of the incident Kobe waves

3.2 簡化解析方法的精度驗(yàn)證

3.2.1 隧道軸力Tmax

圖4 給出了不同埋深及不同柔度比下隧道峰值軸力的數(shù)值模擬結(jié)果與各簡化解析方法的計(jì)算結(jié)果。從圖4 中的數(shù)值解可以看出，隨著柔度比增加，即隨著場地巖土體逐漸變硬，隧道軸力具有先增加后減小的規(guī)律。

三種簡化解析方法具有相同的軸力預(yù)測值，且預(yù)測結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果具有相同的變化趨勢(shì)。對(duì)比數(shù)值結(jié)果與三種解析結(jié)果可以看出，在埋深較淺情況下(即H≤10 m)，小柔度比下的解析解與數(shù)值解差距較大，解析解嚴(yán)重高估了隧道軸力，但隨著柔度比的增加，解析解與數(shù)值解的差距逐漸減小。對(duì)于埋深較深的情況(即H>10 m)，解析解的軸力小于數(shù)值結(jié)果，說明此時(shí)解析解低估了隧道軸力。另外，解析解在較小柔度比和較大柔度比情況下與數(shù)值解均吻合較為良好，但在中間柔度比下兩者吻合程度稍差，即大埋深情況下，解析解與數(shù)值解吻合程度隨柔度比增加具有先減小后增加的規(guī)律。

為定量描述簡化解析方法預(yù)測軸力與數(shù)值解軸力之間的相對(duì)誤差，現(xiàn)定義誤差R如下：

式中：TmNax為數(shù)值解；TmAax為簡化解析解。

由于Wang、Bobet 和Park 三種方法預(yù)測軸力相同，其誤差值R也相同。表2 中給出了不同柔度比(即不同的場地土類別)及不同埋深下的軸力誤差R。從表2 中可以看到，當(dāng)隧道埋深較淺時(shí)，解析解預(yù)測的軸力誤差往往較大，且誤差大小隨柔度比的增加而減小，即場地土越硬則預(yù)測誤差越小。當(dāng)隧道埋深較深時(shí)，解析解誤差明顯小于埋深較淺的情況。表2 中灰色值均為誤差R超過15%的情況。若以誤差小于15%為可接受的標(biāo)準(zhǔn)，簡化解析方法在軟弱土、中軟土、中硬土、堅(jiān)硬土或軟巖和巖石五類場地土中用于預(yù)測隧道軸力的隧道埋深需分別大于5 m、3 m、3 m、1 m和1 m。

圖4 不同埋深H 及不同柔度比F 下數(shù)值解與各簡化解析解的軸力Fig. 4 Tunnel thrusts by numerical modelling and analytical solutions under different depths H and flexibility ratios F

表2 不同埋深H 及不同柔度比F 下簡化解析解的軸力誤差R /(%)Table 2 Errors R of these three analytical solutions for tunnel thrusts under different depths H and flexibility ratios F

3.2.2 隧道彎矩Mmax

不同埋深及不同柔度比下隧道的峰值彎矩如圖5 所示。從圖5 中的數(shù)值解可以看出，隧道處于軟弱土和中軟土中的彎矩明顯大于隧道處于巖石場地中的情況。當(dāng)埋深H≤17 m 和H≥67 m時(shí)，隧道軸力隨柔度比的增加而減小。而當(dāng)埋深處于17 m

圖5 不同埋深H 及不同柔度比F 下數(shù)值解與各簡化解析解的彎矩Fig. 5 Tunnel bending moments by numerical modelling and analytical solutions under different depths H and flexibility ratios F

三種簡化解析方法預(yù)測的隧道軸力隨柔度比和埋深的變化與數(shù)值解具有相同的變化趨勢(shì)。Bobet 方法與Park 方法預(yù)測的彎矩值相同，但小于Wang 方法的預(yù)測值。三種方法的預(yù)測彎矩均大于數(shù)值解，說明三種解析方法都高估了隧道彎矩，其中Wang 方法對(duì)彎矩預(yù)測的偏差最為嚴(yán)重。另外，對(duì)于同一埋深情況，隨著柔度比增加三種簡化解析方法的彎矩與數(shù)值模擬結(jié)果逐漸接近。在柔度比較大的情況下，如堅(jiān)硬土場地和巖石場地，簡化解析解與數(shù)值解基本重合。

為定量描述簡化解析方法在預(yù)測彎矩時(shí)的誤差，采用式(19)中定義的誤差R進(jìn)行描述。表3中給出了不同柔度比及不同埋深下的Wang 方法的彎矩誤差R。表4 中給出了相應(yīng)的Park 方法和Bobet 方法的彎矩誤差R。從表3 中可以看出，Wang 方法的誤差在大多數(shù)情況下均較大，僅在巖石場地中誤差相對(duì)較小。因此，在實(shí)際設(shè)計(jì)中采用Wang 方法對(duì)彎矩進(jìn)行計(jì)算并不合適。

表3 不同埋深H 及不同柔度比F 下各Wang 解析解的彎矩誤差R /(%)Table 3 Errors R of Wang’s analytical solution for tunnel bending moments under different depths H and flexibility ratios F

相對(duì)于Wang 的方法，表4 中Bobet 方法和Park 方法的誤差明顯較小。與表2 中軸力的規(guī)律相似，淺埋情況下的彎矩誤差大于深埋的情況。隨著柔度比增加，即場地土逐漸變硬時(shí)，Bobet 與Park 的誤差整體具有減小的趨勢(shì)。在巖石類場地中，即使隧道拱頂距地表僅為1 m 時(shí)，彎矩誤差仍然處于10%以內(nèi)。表4 中灰色值均為誤差超過15%的情況。同樣以誤差小于15%為可接受誤差，簡化解析方法在軟弱土、中軟土、中硬土、堅(jiān)硬土和巖石等五類場土中采用Bobet 方法或Park 方法預(yù)測隧道彎矩，隧道埋深需要分別大于10 m、5 m、5 m、1 m 和1 m。

表4 不同埋深H 及不同柔度比F 下Bobet 與Park 解析解的彎矩誤差R /(%)Table 4 Errors R of Bobet’s and Park’s analytical solution for tunnel bending moments under different depths H and flexibility ratios F

4 結(jié)論

本文采用時(shí)域波動(dòng)有限元方法，研究了3 種經(jīng)典簡化解析方法對(duì)圓形隧道橫斷面地震內(nèi)力計(jì)算的準(zhǔn)確性。無滑移條件下，通過對(duì)不同場地土類別及不同埋深情況下的對(duì)比驗(yàn)證，得到如下結(jié)論：

(1) Wang、Bobet 與Park 三種簡化解析方法對(duì)隧道軸力的預(yù)測值相同。在埋深較淺情況下(即H≤10 m)，小柔度比下的解析解與數(shù)值解差距較大，解析解嚴(yán)重高估了隧道軸力，但隨著柔度比增加，解析解與數(shù)值解差距逐漸減小。在埋深較深情況下，解析方法預(yù)測軸力小于數(shù)值計(jì)算軸力，隨柔度比的增加，解析解與數(shù)值解的吻合程度具有先減小后增加的規(guī)律；

(2) Bobet 方法與Park 方法預(yù)測的彎矩值相同，且小于Wang 方法預(yù)測的彎矩。三種方法預(yù)測彎矩值均大于數(shù)值解，說明三種解析方法都高估了隧道彎矩，其中Wang 方法的預(yù)測值偏差最為嚴(yán)重。另外，對(duì)于同一埋深情況，隨著柔度比增加三種簡化解析方法預(yù)測彎矩的精度逐漸增加；

(3) 綜合考慮對(duì)隧道軸力與彎矩的預(yù)測精度，相對(duì)Wang 的方法，Bobet 與Park 方法更適合用于隧道內(nèi)力計(jì)算。對(duì)于軟弱土、中軟土、中硬土、堅(jiān)硬土和巖石等五種類別的場地土，隧道埋深分別大于10 m、5 m、5 m、1 m 和1 m 時(shí)，Bobet與Park 方法的軸力與彎矩誤差均能小于15%。

本文數(shù)值模擬中圍巖土及隧道結(jié)構(gòu)均采用線彈性模型，而在強(qiáng)震情況下場地土及隧道結(jié)構(gòu)往往會(huì)進(jìn)入一定程度的非線性，對(duì)于非線性情況下的驗(yàn)證工作將更加具有工程價(jià)值。另外，本文針對(duì)不同場地土條件均采用同一條地震記錄輸入，而在實(shí)際地震中，不同場地類別的地震記錄往往存在較大差異。因此，針對(duì)不同場地土類別，選用相應(yīng)的地震記錄作為輸入地震動(dòng)也將在后續(xù)工作中持續(xù)完善。