王 欣

（興城市濱海經(jīng)濟(jì)區(qū)學(xué)校）

數(shù)形結(jié)合思想是最古老也是最基本的數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)與形可以互相轉(zhuǎn)化，他們之間有深入的聯(lián)系。數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用可以分為兩種情形，一是將數(shù)作為工具求解圖形問題，二是將圖形作為工具求解代數(shù)問題。

應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想可以將抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為具體、表象化的圖形問題，變抽象為形象，使得問題生動(dòng)直觀。通過轉(zhuǎn)化，許多問題就能比較容易地求解出來。數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用十分廣泛，比如解方程和解不等式，求函數(shù)的性質(zhì)問題等。在初中階段應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，大致可以分為四個(gè)類型。

一、利用數(shù)軸和坐標(biāo)系解幾何題

數(shù)軸與全體實(shí)數(shù)有著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，在數(shù)軸上可以知道兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，絕對(duì)值的含義等，因此是很重要的解題工具。坐標(biāo)系可以將幾何圖形代數(shù)化，坐標(biāo)對(duì)與實(shí)數(shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以計(jì)算平面里兩個(gè)點(diǎn)之間的距離。在教學(xué)這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，可以結(jié)合例題，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)軸和坐標(biāo)系的實(shí)用性，從而加深學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合方法的印象，使他們產(chǎn)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的欲望。

在課堂上，可以巧用數(shù)學(xué)情境，讓學(xué)生在求解過程中慢慢學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合的方法。如在教學(xué)人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)“點(diǎn)和直線”這一知識(shí)點(diǎn)時(shí)，有如下教學(xué)片段。

師：同學(xué)們，我們?cè)谇懊嬉呀?jīng)學(xué)習(xí)了點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離公式，誰知道點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離是怎么求的？

生：他說的是平面上的點(diǎn)，直線上的點(diǎn)用數(shù)軸來求就行。

師：在求解的時(shí)候我們需要知道點(diǎn)的坐標(biāo)，或者點(diǎn)在數(shù)軸上的某個(gè)位置，然后再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行求解。點(diǎn)用坐標(biāo)表示，用的就是數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想，今天我們來學(xué)習(xí)點(diǎn)到直線的距離公式。

師：同學(xué)們想一下，點(diǎn)到直線的距離應(yīng)該怎么定義的呢？

生：是指點(diǎn)到直線的垂線段。

師：按照定義，我們將直線過該點(diǎn)的垂線表示出來。根據(jù)垂直直線的斜率公式，我們知道垂線與直線的斜率關(guān)系是k1·k2=-1，那么已知斜率和一點(diǎn)，可以求直線的解析式嗎？請(qǐng)小組內(nèi)探究一下，可以設(shè)點(diǎn)為（x0，y0）。

（學(xué)生探究，教師檢查學(xué)生關(guān)于直線解析式的理解情況）

師：已知兩條直線，我們就可以求得兩條直線的交點(diǎn)，以這個(gè)交點(diǎn)為垂足，垂足到相應(yīng)點(diǎn)的距離是點(diǎn)到直線的距離嗎？（學(xué)生表示贊同）

數(shù)軸和坐標(biāo)系是初中學(xué)生在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法時(shí)所接觸到的第一個(gè)類型。在從數(shù)到形的轉(zhuǎn)化過程中，這一個(gè)類型的掌握對(duì)后續(xù)的數(shù)形結(jié)合知識(shí)起著基礎(chǔ)性的作用。教學(xué)中，我們不僅要讓學(xué)生理解用公式進(jìn)行求解的方法，更重要的是，要讓他們?cè)陬^腦中形成數(shù)軸這個(gè)一維向量和坐標(biāo)系這個(gè)二維向量之間的整體框架，要讓他們對(duì)數(shù)軸和坐標(biāo)系有鮮活的、動(dòng)態(tài)的理解。

二、利用勾股定理證明直角

勾股定理的證明方法和用勾股定理證明直角也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，學(xué)生在已知直角邊和斜邊長(zhǎng)度的時(shí)候使用勾股定理，只需要進(jìn)行簡(jiǎn)單的代數(shù)計(jì)算就可以證明幾何關(guān)系，常在幾何證明題中使用。

在教學(xué)人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)“直角三角形與勾股定理”這一課時(shí)，有如下教學(xué)片段。

師：什么是勾股定理？

生：勾股定理的公式是a2+b2=c2。

師：大家預(yù)習(xí)得很到位，那么大家知道這么一個(gè)簡(jiǎn)單的公式是怎么推導(dǎo)出來的嗎？可以小組討論一下，也可以利用幾何圖形來輔助證明。

生：我想到可以利用面積證明，用圖1的圖形可以證明。

圖1

師：根據(jù)圖1中的面積關(guān)系，我們可以證明勾股定理。類似這樣的證明還有很多，比如圖2、圖3，他們都是利用面積的等量關(guān)系來進(jìn)行證明。

圖2

圖3

師：如果已知三角形的三個(gè)邊長(zhǎng)，怎么判斷三角形的角是直角呢？

生：使用勾股定理。

師：使用勾股定理判定直角的方法就是數(shù)形結(jié)合的方法。

師：是的，這樣我們就發(fā)現(xiàn)兩個(gè)公式其實(shí)是統(tǒng)一的。

勾股定理的使用，使得一組具有特殊關(guān)系的數(shù)字與直角三角形這一圖形緊密結(jié)合了起來，也使學(xué)生在頭腦中建立起了“數(shù)和形一一對(duì)應(yīng)”的表象，拓展了學(xué)生的空間觀念，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維走向了深入。

三、利用幾何圖形記憶代數(shù)公式

幾何圖形具有直觀形象的優(yōu)點(diǎn)，學(xué)生對(duì)圖形更容易記憶。因此，幾何圖形還可以用來幫助學(xué)生記憶代數(shù)公式。在課堂教學(xué)中，教師可以多畫圖，讓學(xué)生對(duì)公式的含義充分理解。在解題過程中，也可以多畫圖。這樣，在潛移默化中，學(xué)生記憶和解題時(shí)就掌握了數(shù)形結(jié)合的思想。比如平方差公式、完全平方公式就可以用幾何圖形來輔助記憶。

在教學(xué)人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)“平方差公式”時(shí)，有如下教學(xué)片段。

師：我們來看一個(gè)簡(jiǎn)單的等式13+23=32，口算一下，這個(gè)結(jié)果是正確的嗎？請(qǐng)大家用幾何圖形把這個(gè)等式表示出來。

生：我畫出了這樣的圖來表示。（如圖4）

圖4

生：在圖4中，我們可以看到A是13，B、C、D合起來就是兩個(gè)2×2的正方形，就證明了等式。

師 ：13+23+33=62，13+23+33+……+n3=還有其他的表示方法嗎？

生：我們可以畫出有3項(xiàng)的圖。（如圖5）

圖5

對(duì)于n項(xiàng)的情況，學(xué)生也可以繼續(xù)畫下去。這樣，這個(gè)等式的證明也就完成了。在這個(gè)證明過程中，就用到了數(shù)形結(jié)合的思想。此外，在平時(shí)的解題過程中，也要注意引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)使用數(shù)形結(jié)合的方法。

四、利用函數(shù)圖象把握函數(shù)性質(zhì)

函數(shù)的知識(shí)是教學(xué)重難點(diǎn)，因?yàn)檫@一部分內(nèi)容比較抽象，在理解函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生借助函數(shù)圖象。建立起圖象與性質(zhì)的對(duì)應(yīng)鏈接。了解函數(shù)的性質(zhì)首先就要建立起直角坐標(biāo)系，在直角坐標(biāo)系中，平移點(diǎn)之后，要用圖象表示平移的過程并觀察平移后點(diǎn)的特征。在利用函數(shù)圖象記憶函數(shù)性質(zhì)的時(shí)候，還要畫出函數(shù)的定義域、增減性、單調(diào)性等。

在教學(xué)人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)“函數(shù)的圖象與性質(zhì)”一課時(shí)，有如下教學(xué)片段。

師：我們知道函數(shù)的因變量與自變量是一一對(duì)應(yīng)的，那么就可以利用定義在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象。比如正比例函數(shù)，請(qǐng)大家畫一畫。

師：同學(xué)們是根據(jù)什么畫出的圖象呢？

生：我是根據(jù)正比例函數(shù)是一條過原點(diǎn)的直線畫出來的。

師：這位同學(xué)掌握了正比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，從正比例函數(shù)的圖象中，我們可以知道它的斜率和經(jīng)過的點(diǎn)是原點(diǎn)，還可以知道什么呢？

生：還有它的朝向。

生：還有它所有的值都是可以取的。

師：總結(jié)一下兩位同學(xué)的發(fā)言，除了函數(shù)的增減性和還有什么？

生：還有正比例函數(shù)是單調(diào)的。

師：從一個(gè)圖象中可以看到函數(shù)的基本性質(zhì)，那么在記憶的過程中，我們只需要畫出一個(gè)函數(shù)的圖象，就可以知道它的所有性質(zhì)了，是不是很方便、很實(shí)用呢？這種方法就是數(shù)形結(jié)合的方法，老師現(xiàn)在畫出一個(gè)圖象，請(qǐng)你們來告訴我它的性質(zhì)好嗎？（如圖5）

圖5

生：可以看出它先增后減。

生：最高點(diǎn)是（1，4），對(duì)稱點(diǎn)是（1，4）。

師：真棒，你們已經(jīng)了解了函數(shù)的圖象特征，而這個(gè)圖象和我們要學(xué)習(xí)的一元二次方程是對(duì)應(yīng)的，就是圖中的方程式。在一元二次方程中，我們經(jīng)常運(yùn)用到數(shù)形結(jié)合的思想方法。

在數(shù)學(xué)課堂中使用直角坐標(biāo)系來求解不等式、一元二次方程是很方便的。教學(xué)中，我們要利用圖形來加深學(xué)生對(duì)抽象的概念和公式的理解，在圖形和公式結(jié)合的過程中，引導(dǎo)學(xué)生使用數(shù)形結(jié)合的方法，鍛煉數(shù)學(xué)思維能力。在使用數(shù)形結(jié)合輔助教學(xué)時(shí)，教師還需要注意分類總結(jié)，要讓學(xué)生舉一反三，掌握一個(gè)題目就可以掌握一個(gè)類型的題目。