黃云海，張炯，劉衛(wèi)東

（1.五邑大學(xué) 土木建筑學(xué)院，廣東 江門 529020；2.河海大學(xué) 機械學(xué)院，江蘇 南京 210098）

顆粒增強復(fù)合材料因其優(yōu)異的力學(xué)和熱學(xué)性能，被廣泛應(yīng)用在航空航天等領(lǐng)域.這些材料經(jīng)常處于溫度急劇變化的環(huán)境中，由此引起的應(yīng)力集中是導(dǎo)致顆粒增強復(fù)合材料破壞的一個主要原因.所以在研究復(fù)合材料破壞的問題中，確定含橢圓夾雜平面的熱彈性場具有重要意義.

針對以上問題，很多學(xué)者進行了大量的研究，Lekakis[1]采用復(fù)勢函數(shù)、共形映射和解析延拓方法，研究了在無限處的均勻熱流作用下橢圓夾雜物的熱彈性問題.Shen[2]基于復(fù)變函數(shù)方法導(dǎo)出了用無窮級數(shù)表示的熱彈性場.戴明[3]借助保角變換法、Faber 級數(shù)和Fourier 級數(shù)等工具，求解了含多個夾雜橢圓平面的熱彈性場.Lee[4]采用等效夾雜法并結(jié)合三維橢球的Eshebly 內(nèi)部張量，計算了在無限大空間內(nèi)由于橢球夾雜溫度變化引起的熱應(yīng)力.

但是，在用上述共形映射、復(fù)變函數(shù)和級數(shù)等方法求解該問題時，計算過程較為復(fù)雜.為了簡化計算過程和提高計算效率，本文在文獻[4]的基礎(chǔ)上采用等效夾雜法并結(jié)合二維的Eshelby 內(nèi)部張量和外部張量，以期更簡便和精確地求解含單個橢圓夾雜平面在均勻溫度變化下的熱彈性場.

1 等效夾雜法

假設(shè)在彈性常數(shù)為的某無限大平面內(nèi)存在一個彈性常量為的橢圓夾雜，如圖1 所示，橢圓夾雜的長軸與x軸的夾角為θ；橢圓夾雜的長短軸之比Γ=a/b；夾雜物和基體之間的線膨脹系數(shù)差值為Δα；夾雜物和基體的剪切模量比為；整個平面溫度變化為ΔT.

將圖1 的橢圓夾雜轉(zhuǎn)化為圖2 所示的問題.在圖2 中，將橢圓夾雜轉(zhuǎn)化為位置和形狀不變但彈性常量變?yōu)榈膴A雜；同時在夾雜內(nèi)部會產(chǎn)生本征應(yīng)變（）[5]，由于本征應(yīng)變的產(chǎn)生，會在夾雜內(nèi)部和外部產(chǎn)生擾動應(yīng)變（）：

其中Sijkl為內(nèi)部張量[6]；Gijkl為外部張量[7-8].

圖1 含橢圓夾雜的無限大平面受到均勻溫度變化示意圖

圖2 等效夾雜法示意圖

根據(jù)圖1 和圖2 所示問題，可在夾雜中心建立應(yīng)力平衡方程：

其中[4]是由溫度變化引起的均勻應(yīng)變

根據(jù)上述的等效夾雜法和Eshelby 內(nèi)部張量，若夾雜橢圓內(nèi)部的本征應(yīng)變?yōu)?，通過式（1）可以得到橢圓夾雜的內(nèi)部應(yīng)變，根據(jù)式（2）可以求得夾雜的內(nèi)部應(yīng)力場為：

同理可根據(jù)上述的Eshelby 外部張量，若夾雜的橢圓內(nèi)部受到均勻的本征應(yīng)變，結(jié)合式（1）可以求得橢圓夾雜的外部應(yīng)變，然后根據(jù)式（2）可以求得夾雜外部的應(yīng)力場為：

這樣便可根據(jù)Eshelby 的內(nèi)部和外部張量求解出溫度變化下彈性體的應(yīng)力應(yīng)變場.

2 算例對比驗證

將上述方法利用FORTRAN 編程實現(xiàn)，并對相應(yīng)的算例進行分析（典型算例：無限平面含單個傾斜橢圓夾雜），然后將本文方法的計算結(jié)果與有限元軟件的計算結(jié)果進行比較，以驗證其有效性.所有計算均在1.8 GHz 的i5 CPU 電腦上進行.本文算例均假設(shè)為平面應(yīng)變問題.

在含單個橢圓夾雜的無限大平面內(nèi)均勻升溫1 C° ，基體和夾雜的剪切模量分別為2.6 GPa 和13.0 GPa，泊松比為0.3；其余參數(shù)固定為：a=2.0，b=1.0 ，θ=30°，0.01αΔ=；然后分別用本文方法和有限元方法對含單個橢圓夾雜平面的熱彈性場進行計算.

由圖3～5 可知，采用本文方法所得的計算結(jié)果和有限元的計算結(jié)果吻合較好，驗證了本文方法的有效性和精確性.在計算圖3 所示的s22 應(yīng)力（y軸方向應(yīng)力）分布時，本文方法用時為10.4 s，而有限元法用時為72.2 s，表明本文方法具有更高的計算效率.此外，采用有限元計算時，要對模型進行劃分網(wǎng)格，然后同時求解；而本文方法在計算各個點的應(yīng)力時是獨立的，與其余點無直接聯(lián)系，可以僅對局部進行求解，計算效率大大提高.

圖3 s22 應(yīng)力分布（θ=30°，K=5.0）

圖4 s12 應(yīng)力分布（θ=30°，K=5.0）

圖5 Mises 應(yīng)力分布（θ=30°，K=5.0）

3 材料參數(shù)和幾何參數(shù)對界面應(yīng)力的影響

由于夾雜物和基體之間的線膨脹系數(shù)不同，在溫度變化時會產(chǎn)生熱失配，由此引起的界面應(yīng)力集中是導(dǎo)致材料破壞的一個重要原因，因此研究橢圓夾雜的材料參數(shù)和幾何參數(shù)對界面熱應(yīng)力的影響有著重要的現(xiàn)實意義.

以下算例均采用本文方法對含單個橢圓夾雜平面的熱彈性場進行計算，基體和夾雜物的泊松比均為v=0.3，并分別求出界面的徑向應(yīng)力差值（Δσr），環(huán)向應(yīng)力差值（Δσθ），剪應(yīng)力差值（Δσrθ）.

3.1 材料參數(shù)對界面應(yīng)力的影響

圖6 在K變化下的界面徑向應(yīng)力差值

由圖6～8 可知，3 個界面應(yīng)力差值的增幅隨著K的增大而逐漸減緩；Δσr和Δσrθ隨著K的增大其最大值逐漸向45°的位置靠近，而 Δσθ的最值在K＜1時出現(xiàn)在長軸端點，在K≥1出現(xiàn)在短軸端點.當K=10.0時，隨著夾雜物剪切模量的增長其界面應(yīng)力差值緩慢增加，在實際工程允許的情況下可以盡量選擇與基體剪切模量差值大的夾雜.

圖7 在K變化下的界面環(huán)向應(yīng)力差值

圖8 在K變化下的界面剪應(yīng)力差值

3.2 幾何參數(shù)對界面應(yīng)力的影響

算例1：基體和夾雜的剪切模量分別為2.6 GPa和0.52 GPa，固定 ΔT=1°C,b=1.0,Δα=0.01.研究a分別取1.1，2.0，5.0 和10.0 時，界面應(yīng)力差值的變化情況.

由圖9～11 可知，Δσr隨著Γ的增加其最大值逐漸向長軸端點靠近；Δσθ的最大值隨Γ增加而增加且最大值出現(xiàn)在長軸端點，短軸端點處的 Δσθ隨Γ增加其增幅逐漸減緩；Δσrθ的最大值隨Γ增加其增幅減緩且最大值出現(xiàn)的位置逐漸向長軸端點靠近.

圖9 在Γ變化下界面的徑向應(yīng)力差值

圖10 在Γ變化下界面的環(huán)向應(yīng)力差值

圖11 在Γ變化下界面的剪應(yīng)力差值

算例2：基體和夾雜的剪切模量分別為2.6 GPa 和13.0 GPa，固定 ΔT=1°C,b=1.0,Δα=0.01.研究a分別取1.1,2.0,5.0 和10.0 時，界面應(yīng)力差值的變化情況.

由圖12～14 可知，3 個界面應(yīng)力差值的峰值隨著Γ的增加而增加； Δσr隨著Γ的增加其峰值出現(xiàn)的位置逐漸向長軸端點靠近； Δσθ和Δσrθ隨著Γ的增加其增幅先增加然后減緩.

由算例1 和2 可以看出，硬夾雜界面應(yīng)對力夾雜物離心率較為敏感，為了減少界面處的應(yīng)力集中，可以選擇幾何參數(shù)與圓形較為接近的夾雜.

圖12 在Γ變化下界面的徑向應(yīng)力差值

圖13 在Γ變化下界面的環(huán)向應(yīng)力差值

4 結(jié)論

本文基于等效夾雜法并結(jié)合Eshelby 內(nèi)部張量和外部張量，推導(dǎo)了無限大平面內(nèi)含單個橢圓夾雜在溫度均勻變化下熱彈性場的計算公式，并通過典型算例驗證了本文方法的有效性和準確性，由于本文算法可以僅對局部進行計算，計算效率大大提高.最后，通過多個算例分析了材料參數(shù)和幾何參數(shù)對熱彈性場的影響，結(jié)果可為復(fù)合材料的工程應(yīng)用提供理論依據(jù).但是，本文算法只能計算無限平面下的熱彈性場，無法計算有限平面內(nèi)的問題，所以對材料尺寸的要求比較高.針對該問題，可以通過設(shè)置邊界條件并與錯位分布法結(jié)合來實現(xiàn)有限平面內(nèi)熱彈性場的計算，今后還可以進一步擴展到三維夾雜的熱彈性問題.