王漢平，張哲，廖小華

(北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081)

路面不平度的模擬方法主要有諧波疊加法、IFFT法、白噪聲濾波法、AR/ARMA法和基于分形理論的模擬法等[1]，但在推廣應(yīng)用于2維路面不平度生成時(shí)，這些方法卻存在較大的差異. Zhang Yonglin[2]基于文獻(xiàn)[3]給出的輪轍相干模型利用白噪聲濾波法將相干函數(shù)近似成輪轍間的傳遞函數(shù)，構(gòu)造了2維的時(shí)域路面不平度；Wang X[4]和孫寧[5]對(duì)諧波疊加法中諧波疊加組分的相位角進(jìn)行了優(yōu)化，從而使模擬路面的統(tǒng)計(jì)功率譜密度(PSD)更符合標(biāo)準(zhǔn)PSD；Sz?ke D 等[6]基于IFFT方法提出了一種不同輪轍相位角與相干函數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系，仿真結(jié)果表明改進(jìn)的相關(guān)關(guān)系具有更好的模擬效果；任宏斌[7]和王亞[8]分別基于IFFT方法和諧波疊加法采用擬合的方式獲得了左右輪相位角的相關(guān)特性，其實(shí)施過程未加詳述，從相位角相關(guān)性的表達(dá)形式上看，可能借鑒了文獻(xiàn)[6]的思想；榮吉利[9]和朱興高[10]分別基于有理濾波獲得了不同輪轍的不平度特性和履帶對(duì)路面的包絡(luò)特性；盧凡[11]則將有理傳遞函數(shù)與相干函數(shù)之差構(gòu)造成目標(biāo)函數(shù)，借助優(yōu)化來擬合左右輪的相干函數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)輪轍間的濾波器設(shè)計(jì)，最終獲得左右輪路面的不平度特性. Liu Xiandong[12]基于IFFT方法，通過將左右輪的不平度特性分解為原始不平度和擾動(dòng)不平度，并假定左右輪的原始不平度完全相同，左右輪的擾動(dòng)不平度完全獨(dú)立且與原始不平度無關(guān)，然后借助PSD和左右輪的相干函數(shù)來獨(dú)立生成原始不平度和左右擾動(dòng)不平度，最終疊加得到左右輪的不平度特性，但與參考標(biāo)準(zhǔn)的對(duì)比可以看出，其模擬精度差強(qiáng)人意；李倩[13]在諧波疊加法的基礎(chǔ)上根據(jù)PSD及相干函數(shù)的定義推導(dǎo)了不同輪轍諧波疊加組分相位角之間的解析關(guān)系，并由此構(gòu)建了通用的二維路面仿真模型，仿真結(jié)果驗(yàn)證了模型的有效性，但該模型的計(jì)算量較大；Bogsj?K[14-15]針對(duì)不同路面的測試數(shù)據(jù)擬合了左右輪轍的相干特性，發(fā)現(xiàn)均符合指數(shù)衰減規(guī)律，在車輛振動(dòng)損傷模擬方面，這種指數(shù)衰減規(guī)律的相干函數(shù)模型相較于各向同性的相干模型精度明顯要高.

以上文獻(xiàn)表明，2維隨機(jī)路面的生成主要從兩方面入手：①通過疊加組分相位角的相干關(guān)系；②通過不同輪轍間的傳遞函數(shù)關(guān)系. 但這些2維路面仿真模型或沒公開原始推導(dǎo)，或模擬精度偏低，或算法是時(shí)域而非空間域，或算法本身存在不足，亦或計(jì)算量較大，這給工程應(yīng)用帶來某些不便. 由此，本文以功率譜密度(PSD)函數(shù)、相干函數(shù)同不平度函數(shù)傅里葉變換之間的關(guān)系為基礎(chǔ)，理論推導(dǎo)了IFFT法中不同輪轍相位角的相干關(guān)系，同時(shí)也驗(yàn)證IFFT法與諧波疊加法的等價(jià)性；還借助不同輪轍功率譜密度陣的LU分解得到白噪聲濾波的傳遞函數(shù)陣，進(jìn)而分別基于輪轍相位角相干關(guān)系和輪轍功率譜密度陣LU分解構(gòu)造了兩種2維路面的IFFT生成模型. 兩模型均基于空間域，且仿真速度快捷，最終的仿真對(duì)比驗(yàn)證效果良好，從而為2維不平度路面的生成提供了兩種高效高精度的仿真模型.

1 基于輪轍相位角相干性的模擬算法

路面不平度特性可當(dāng)做均值為0的平穩(wěn)隨機(jī)過程，通常采用路面功率譜密度函數(shù)來描述其統(tǒng)計(jì)特性，國際通用標(biāo)準(zhǔn)是將路面不平度分為A至H共8級(jí)，其功率譜密度函數(shù)的表達(dá)式為

(1)

式中：n為空間頻率，n0為參考空間頻率，通常取0.1 m-1，Gq(n0)為參考空間頻率下的路面不平度系數(shù)，不同等級(jí)的路面其取值不同；w為頻率指數(shù)，一般取2.

假設(shè)左輪的路面不平度曲線為fL(x)，則可知其傅里葉變換為

(2)

根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義可知，左輪輪轍路面不平度的自相關(guān)函數(shù)為

由于功率譜密度函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)是Fourier變換和反Fourier變換的關(guān)系，考慮到路面譜是單邊譜，則可知左輪路面的功率譜密度函數(shù)為

(4)

于是

(5)

同理

(6)

式中：φL(n)，φR(n)∈[0,2π]均勻分布隨機(jī)數(shù). 于是，分別對(duì)FL(n)，F(xiàn)R(n)進(jìn)行逆Fourier變換(IFT)即可得到左、右輪輪轍路面不平度函數(shù);

(7)

(8)

考慮到計(jì)算效率，在進(jìn)行IFT計(jì)算時(shí)，可以使用快速逆Fourier變換(IFFT)算法，這就是路面不平度生成的IFFT方法.

將式(7)(8)代入式(4)，可得GLL(n)、GRR(n)為

Gq(n)e[φL(-n)+φL(n)]I,

(9)

Gq(n)e[φR(-n)+φR(n)]I.

(10)

由式(1)可知，Gq(n)=Gq(-n)，所以只有φL(-n)=-φL(n),φR(-n)=-φR(n)時(shí)，GLL(n)=GRR(n)=Gq(n)，于是式(7)、(8)可改寫為

(11)

(12)

將式(11)(12)與文獻(xiàn)[11]中的諧波疊加法對(duì)比，只要Ldn≈LΔn=1，則IFFT法與諧波疊加法是等價(jià)關(guān)系，若左右輪不平度的相干函數(shù)為coh(n)，于是可知：

φL(n)=φR(n)+sgn(φ(n))arccos(coh(n)),

(13)

式中：φ(n)∈[-0.5,0.5]是均勻分布的隨機(jī)數(shù)，sgn是符號(hào)函數(shù)，即左右輪相位角的相干關(guān)系.

2 基于輪轍功率譜密度陣LU分解的模擬算法

文獻(xiàn)[16]表明，不同輪轍不平度的功率譜矩陣為

(14)

文獻(xiàn)[14-15]經(jīng)過大量試驗(yàn)給出了一種描述不同路面和輪距的路面不平度相干函數(shù)，

(15)

式中：B為左右輪的輪距，ρ為跟路面有關(guān)的經(jīng)驗(yàn)值，由此可知coh(n)∈[0,1]. 所以式(14)中的譜陣可進(jìn)行矩陣分解，且分解為一個(gè)矩陣與其轉(zhuǎn)置的乘積，即G(n)=H(n)·HT(n)，文獻(xiàn)[17]給出了一種解：

(16)

但該矩陣解中沒有哪一個(gè)輪轍的譜是獨(dú)立于coh(n)的，不利于構(gòu)造具有輪轍相關(guān)性的2維路面. 這里提出一種基于LU分解的解，將不同輪轍的譜陣分解為一個(gè)下三角陣與其轉(zhuǎn)置的乘積，解為

于是，可以構(gòu)造兩個(gè)相互獨(dú)立、譜值為1的白噪聲w1(x)、w2(x)，其對(duì)應(yīng)的傅里葉變換為W1(n)、W2(n)，假設(shè)不同輪轍的譜陣是兩個(gè)白噪聲在H(n)濾波下生成，則

(18)

由隨機(jī)振動(dòng)理論可知，式(18)中左右輪不平度的譜陣就是式(14)，于是，對(duì)式(18)進(jìn)行逆傅里葉變換，即可得到左右輪的不平度曲線,

(19)

(20)

式中θL(n)、θR(n)∈[0,2π]為均勻分布隨機(jī)數(shù).

3 路面生成及結(jié)果檢驗(yàn)

針對(duì)相位角相干性模型，由式(12)(15)可得,

f(x,y)=

(21)

針對(duì)不同輪轍功率譜陣LU分解的模型，由式(20)、(15)可得

(22)

這就是兩種路面不平度生成的IFFT模型，利用Matlab按式(21) (22)編寫了兩種IFFT路面不平度曲面生成程序，用兩種方法對(duì)不同等級(jí)路面進(jìn)行了大量的仿真驗(yàn)證，模擬所得的路面功率譜與標(biāo)準(zhǔn)譜完全吻合，左右輪相干性與參考函數(shù)也具有很好的一致性. 篇幅所限，不便一一列出，在此僅就ρ=1時(shí)的D級(jí)路面(即Gq(n0)=1 024×10-6(m2/m-1))的仿真情況進(jìn)行展示. 圖1所示路面縱向長度L=1 000 m，輪轍距離B=2.5 m，路面等級(jí)為D級(jí)，空間頻率范圍為0.011～2.830 m-1，垂向偏移為0 m的兩方法生成的兩輪轍路面不平度曲線，其中模型Ⅰ指基于不同輪轍相位角相干性的IFFT模型，模型Ⅱ指基于不同輪轍功率譜陣LU分解的IFFT模型.

圖2和圖3分別是在3維路面中截取的輪距B=2.5 m、ρ=1的左右輪輪轍功率譜密度和相干函數(shù)的仿真曲線與標(biāo)準(zhǔn)參考曲線的對(duì)比，從中不難看出，自功率譜幾乎重合，而不同輪轍間的相干函數(shù)也符合較好，這從側(cè)面驗(yàn)證了本文推導(dǎo)的左右輪輪轍相位角的相干性關(guān)系以及由左右輪輪轍功率譜陣LU分解得到的傳遞關(guān)系是合理可信的. 圖3中兩模型的仿真相干性與指定參考函數(shù)及二者間均存在一定差異，其原因在于兩模型都是隨機(jī)模擬，在相干性方面確實(shí)容易出現(xiàn)離差，這是隨機(jī)模擬無法規(guī)避的問題.

4 結(jié) 論

基于IFFT法構(gòu)造了左右輪路面不平度特性，并根據(jù)左右輪不平度特性推演了左右輪輪轍的自功率譜和相干關(guān)系，由此得到路面重構(gòu)的IFFT法當(dāng)Ldn≈LΔn=1時(shí)，其與諧波疊加法是完全等價(jià)的關(guān)系，進(jìn)而借此獲得IFFT法中不同輪轍相位角的解析關(guān)系；同時(shí)也基于輪轍功率譜密度陣的LU分解得到了白噪聲濾波傳遞函數(shù)的解析表達(dá)，對(duì)不同輪轍不平度的Fourier函數(shù)進(jìn)行逆Fourier變換即得不同輪轍路面不平度曲線. 兩種IFFT模型均是解析模型，具有理論上的合理性；仿真結(jié)果表明，兩模型中各輪轍的自功率譜與標(biāo)準(zhǔn)功率譜吻合較好，輪轍間的相干性也與參考模型具有較好的一致性，從而驗(yàn)證了基于左右輪相位角相干關(guān)系的IFFT模型和基于功率譜密度陣LU分解的IFFT模型也具有較好的仿真可信性，它們都能很好地用于2維路面不平度的數(shù)字模擬.