李翠梅，周 洋

（鄭州科技學(xué)院基礎(chǔ)部，河南 鄭州 450064）

1 引言

汽車懸架系統(tǒng)對于整車的減震與隔振起著至關(guān)重要的作用[1-2]。在懸架系統(tǒng)的設(shè)計中，雖然全面考慮了實際路況及噪聲等激勵條件下系統(tǒng)的動力學(xué)特征，由于磨損，安裝誤差，結(jié)構(gòu)及材料非線性等因素的影響，實際使用的懸架系統(tǒng)往往具有較強非線性特征，且不能夠達到理想的設(shè)計要求[3]。因此，對于實際懸架系統(tǒng)的參數(shù)識別及再設(shè)計十分重要。

系統(tǒng)的參數(shù)識別屬于系統(tǒng)辨識的一個重要理論分支，對于線性系統(tǒng)，傳統(tǒng)的參數(shù)識別方法主要包括最小二乘法[4]，極大似然估計[5]及頻率響應(yīng)函數(shù)方法[6]。文獻[7]在考慮隨機噪聲情況下，提出一種基于極大似然估計的頻域模態(tài)參數(shù)識別方法，并驗證了該方法利用噪聲信息，能極大提高阻尼的識別精度。文獻[6]利用頻譜方法對橋梁懸索張力進行了識別，并通過實驗對識別結(jié)果進行驗證。盡管線性系統(tǒng)參數(shù)識別方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用到工程實際當(dāng)中，對于非線性系統(tǒng)，由于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及動態(tài)特征復(fù)雜，傳統(tǒng)的線性參數(shù)識別方法很難直接應(yīng)用到非線性系統(tǒng)的參數(shù)識別當(dāng)中[7]。

為解決這一問題，國內(nèi)外學(xué)者提出了多種理論方法[8-9]。例如，文獻[8]對具有離散非線性特征的Wiener 系統(tǒng)進行了參數(shù)識別研究。文獻[9]基于非線性集總參數(shù)模型，對不同慣性通道下的液阻懸置系統(tǒng)進行參數(shù)識別的研究，并從實驗上對理論結(jié)果進行驗證。雖然這些方法能夠準(zhǔn)確識別非線性系統(tǒng)參數(shù)，然而其缺點也相對明顯。絕大多數(shù)非線性系統(tǒng)參數(shù)識別方法都需要首先建立一個能夠用來表征該非線性系統(tǒng)的模型，如雙線性模型[10]，Wiener-Hammerstein 模型[11]，等。

這些模型雖然能夠用來預(yù)測系統(tǒng)的響應(yīng)及動力學(xué)特征，但是其非線性參數(shù)并不具有實際物理意義，因此對這些參數(shù)的識別也很難用于指導(dǎo)非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計[12]。

針對汽車非線性懸架系統(tǒng)，為解決傳統(tǒng)線性及非線性系統(tǒng)參數(shù)識別為解決傳統(tǒng)線性及非線性系統(tǒng)參數(shù)識別中存在的問題，基于最小二乘法原理提出兩種用來識別具有物理意義的非線性系統(tǒng)線性及非線性參數(shù)的識別方法，首先，介紹了汽車非線性懸架系統(tǒng)的簡化模型及其動力學(xué)方程。其次，介紹了最小二乘法原理及其在參數(shù)識別中的應(yīng)用，分別提出基于離散化模型和系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)的參數(shù)識別方法。最后，分別利用兩種方法對汽車非線性懸架系統(tǒng)進行參數(shù)識別，并通過與真實系統(tǒng)的輸出響應(yīng)比較，對其識別結(jié)果進行驗證。

2 懸架系統(tǒng)及其非線性模型

在忽略輪胎質(zhì)量及其彈性影響的前提下，1/4 汽車非線性懸架系統(tǒng)可簡化為一個單自由度振動系統(tǒng)[1]，如圖1 所示。圖中：m—車身質(zhì)量；k1，k3—彈簧的線性及非線性剛度系數(shù)；c—懸架系統(tǒng)的阻尼系數(shù)；x0（t）和x（t）—懸架系統(tǒng)的輸入與輸出位移（m）。

圖1 1/4 汽車非線性懸架模型Fig.1 The 1/4 Vehicle Suspension System Model

圖2 懸架系統(tǒng)線性及非線性彈簧力示意圖Fig.2 The Linear and Nonlinear Spring Force of Suspension Systems

由于非線性參數(shù)的影響，懸架系統(tǒng)剛度及阻尼系數(shù)很難采用傳統(tǒng)的線性方法進行識別。假設(shè)在方程（2）中，m=1kg，c=15N/ms-1，k1=1×104N/m 及k3=5×1011N/m3，為克服傳統(tǒng)線性方法的局限性，分別介紹了兩種基于最小二乘法的非線性系統(tǒng)參數(shù)識別方法，對懸架系統(tǒng)的線性參數(shù)c，k1及非線性參數(shù)k3進行參數(shù)識別的研究。

3 基于最小二乘法的參數(shù)識別原理

4 非線性懸架系統(tǒng)參數(shù)識別

基于最小二乘法的參數(shù)識別可以分為兩類，若非線性系統(tǒng)模型相對簡單，可以基于系統(tǒng)的離散化模型進行參數(shù)識別。若非線性系統(tǒng)模型相對復(fù)雜，則可通過基于輸入輸出數(shù)據(jù)的最小二乘法進行參數(shù)識別。針對圖1 所示的汽車懸架結(jié)構(gòu)，分別采用兩種方法對其線性及非線性參數(shù)進行識別。

4.1 基于系統(tǒng)離散化模型的參數(shù)識別方法

設(shè)Δt 為系統(tǒng)采樣時間，fs=1/Δt 為系統(tǒng)的采樣頻率，則對于系統(tǒng)的動力平衡方程，有：

需要注意的是，在參數(shù)識別過程中，若輸入幅值過小，如A=1，系統(tǒng)的非線性特征不能完全體現(xiàn)，會導(dǎo)致無法識別非線性參數(shù)的情況，因此，在基于離散模型的參數(shù)識別中，選擇合適的激勵信號十分重要。

4.2 基于系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)的參數(shù)識別方法

若待識別的系統(tǒng)相對復(fù)雜，很難通過離散化的方法得到形如式（9）的離散方程，可通過系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)，利用最小二乘法進行參數(shù)識別。針對汽車懸架系統(tǒng)，共需識別2 個線性參數(shù)c，k1及1 個非線性參數(shù)k3。由討論可知，當(dāng)輸入幅值較小時，非線性參數(shù)對系統(tǒng)的影響可以忽略不計。因此，可以先在小幅值激勵下識別線性參數(shù)，進而增大激勵幅值，進行非線性參數(shù)識別。

4.2.1 線性參數(shù)識別方法

對懸架系統(tǒng)進行I≥6 次仿真實驗，得到I 組（cˉ，kˉ1）及其對應(yīng)的損失函數(shù)值。根據(jù)最小二乘法，式（20）可寫為矩陣形式：

3 階多項式線性參數(shù)損失函數(shù)，如圖3 所示。

圖3 3 階多項式線性參數(shù)損失函數(shù)Fig.3 The 3rd Order Cost Function of the Linear Parameters

由圖3 可得，使得J（c，k1）取值最小的點即為線性參數(shù)c，k1的估計值：

4.2.2 非線性參數(shù)識別方法

在非線性參數(shù)識別中，增大輸入幅值，式（11）中令A(yù)=10，系統(tǒng)仿真中，線性參數(shù)為識別得到的結(jié)果（27）。因此，非線性參數(shù)識別的損失函數(shù)可定義為：

圖4 4 階多項式非線性參數(shù)損失函數(shù)Fig.4 The 4th Order Cost Function of the Nonlinear Parameters

由圖4 可得非線性參數(shù)k3的估計值為：

在激勵（11），A=10 的作用下，對比了采用基于系統(tǒng)離散化模型的參數(shù)識別方法，基于系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)的參數(shù)識別方法以及真實系統(tǒng)的輸出響應(yīng)結(jié)果，如圖5 所示。圖5 的結(jié)果說明，不論采用何種參數(shù)辨識方法，基于最小二乘法的參數(shù)識別結(jié)果能夠準(zhǔn)確識別出系統(tǒng)的線性及非線性參數(shù)，并真實地反映系統(tǒng)的動力學(xué)特征。

圖5 實際系統(tǒng)與辨識系統(tǒng)輸出對比Fig.5 Comparison Between the Real System and the Identified System

5 結(jié)論

針對非線性汽車懸架系統(tǒng)的參數(shù)識別問題，介紹了兩種基于最小二乘法的非線性系統(tǒng)參數(shù)識別方法，并通過仿真算例對兩種識別方法進行驗證。以可簡化為單自由度非線性系統(tǒng)的汽車懸架為研究對象，基于最小二乘法原理，分別介紹了基于離散化模型的參數(shù)識別方法和基于系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)的參數(shù)識別方法?；陔x散化模型的參數(shù)識別方法適用于模型結(jié)構(gòu)相對簡單的非線性系統(tǒng)，且在參數(shù)識別過程中，需要適當(dāng)選取系統(tǒng)激勵的強度?；谙到y(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)的參數(shù)識別方法可以有效地克服這些缺點，但是需要通過多次激勵，分別識別系統(tǒng)的線性與非線性參數(shù)。分析結(jié)果表明，基于最小二乘法的兩種非線性系統(tǒng)參數(shù)識別方法均能夠準(zhǔn)確識別汽車懸架系統(tǒng)的線性及非線性參數(shù)，從而對汽車懸架系統(tǒng)的分析與設(shè)計提供必要的理論基礎(chǔ)。