陳 帥，祝 杰，侯 力，吳 陽(yáng)

（1.四川大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院，四川 成都 610065；2.二灘水力發(fā)電廠，四川 攀枝花 617100）

1 引言

變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪（VH-CATT）作為一種新型齒輪，在齒寬方向的齒線為圓弧齒線，中截面上的齒廓線為漸開(kāi)線，其他截面上的齒廓線為變雙曲線，具有接觸性長(zhǎng)、無(wú)軸向分力、承載能力大、傳動(dòng)效率高、傳動(dòng)平穩(wěn)等特點(diǎn)，故有廣闊的應(yīng)用前景。20世紀(jì)40 年代，文獻(xiàn)[1]提出了弧齒圓柱齒輪的概念。許多學(xué)者對(duì)其理論進(jìn)行了深入研究，文獻(xiàn)[1]對(duì)面向制造的弧齒圓柱齒輪的成型原理和三維建模進(jìn)行了較深入的剖析；文獻(xiàn)[2]對(duì)圓弧齒輪的靜態(tài)接觸應(yīng)力進(jìn)行了詳細(xì)的研究。文獻(xiàn)[3-4]對(duì)圓弧齒輪的動(dòng)態(tài)接觸應(yīng)力接行了詳細(xì)的分析。但目前對(duì)于變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪加工誤差的研究甚少。而齒輪在制造與安裝的過(guò)程中，難以避免地會(huì)產(chǎn)生誤差，從而使齒輪副的瞬時(shí)傳動(dòng)比發(fā)生變化，產(chǎn)生傳動(dòng)誤差；會(huì)大大降低齒輪工作的可靠性與精度，甚至嚴(yán)重時(shí)導(dǎo)致齒輪或其他零件的損壞，從而使傳動(dòng)系統(tǒng)失效而導(dǎo)致嚴(yán)重后果[5]。因此對(duì)齒輪特別是對(duì)于變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪而言傳動(dòng)誤差的研究是非常有必要的。文獻(xiàn)[6]從嚙合線增量與幾何偏心關(guān)系入手，詳細(xì)推導(dǎo)分析幾何偏心對(duì)漸開(kāi)線齒距累積誤差的影響規(guī)律，分析方式簡(jiǎn)單明了被廣泛引用。文獻(xiàn)[7]從加工角度系統(tǒng)的分析了齒輪誤差的成因。文獻(xiàn)[8]建立了齒輪誤差模型并進(jìn)行了仿真分析，但不能精確描述出齒輪偏心對(duì)系統(tǒng)傳動(dòng)的影響規(guī)律。

目前對(duì)于齒輪傳動(dòng)誤差的研究主要集中于齒輪誤差曲線與減小傳動(dòng)誤差方法，但是齒輪傳動(dòng)誤差對(duì)齒輪傳動(dòng)的影響是直接由齒輪轉(zhuǎn)角變化決定的。采用ADAMS 對(duì)含有幾何偏心誤差的變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真，通過(guò)對(duì)該齒輪傳動(dòng)轉(zhuǎn)角誤差的分析，與傳統(tǒng)理論計(jì)算方法得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，研究幾何偏心誤差對(duì)變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪傳動(dòng)的影響規(guī)律。

2 含幾何偏心誤差的變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪模型的建立

幾何偏心是產(chǎn)生齒輪傳動(dòng)誤差的重要來(lái)源，在變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪切削過(guò)程中，齒坯在旋轉(zhuǎn)刀盤(pán)上進(jìn)行加工的過(guò)程中，工件孔軸線與刀具軸線發(fā)生周期性的變化，繼而使工件在切制時(shí)，實(shí)際回轉(zhuǎn)中心偏離了理論回轉(zhuǎn)中心。根據(jù)齒輪幾何偏心誤差的成因，可以建立含幾何偏心誤差的變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪三維模型。變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪的成形原理，如圖1 所示。

圖1 VH-CATT 加工示意圖Fig.1 Processing of VH-CATT

完成加工的運(yùn)動(dòng)包括：（1）采用旋轉(zhuǎn)刀盤(pán)來(lái)進(jìn)行加工，裝有刀頭的刀盤(pán)安裝在主軸上進(jìn)行圓周旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，即主運(yùn)動(dòng)。（2）待加工的工件（齒坯）安裝在工作臺(tái)上做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。刀盤(pán)沿齒輪分度圓切向移動(dòng)，刀盤(pán)與工件實(shí)現(xiàn)精確的展成運(yùn)動(dòng)。完成齒面的形成過(guò)程。（3）在加工過(guò)程中，刀盤(pán)的進(jìn)刀、退刀運(yùn)動(dòng)，和齒坯的分度運(yùn)動(dòng)。VH-CATT 齒面形成過(guò)程通過(guò)齒坯與刀具的形成原理和嚙合原理，基于由刀具旋轉(zhuǎn)形成的空間曲面方程，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換，得到該齒輪輪齒齒面方程[1]（1）。

式中：RT—名義旋轉(zhuǎn)刀盤(pán)半徑；Ri—齒坯分度圓半徑；m—齒輪模數(shù)；u—刀具曲面上任意點(diǎn)沿刀刃到參考點(diǎn)位移（mm）；α—刀具壓力角（°）；φ—齒輪的轉(zhuǎn)角，順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎沪取庸み^(guò)程中刀具從齒坯中截面到端面的轉(zhuǎn)角（°）稱(chēng)為齒廓位置角，順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎弧馈≌?hào)時(shí)表示凹齒面，取負(fù)號(hào)表示凸齒面。

在齒輪切削加工過(guò)程中，齒輪的回轉(zhuǎn)中心線與刀具之間的距離不變，加工出來(lái)的齒輪基圓、節(jié)圓也不變。加工的回轉(zhuǎn)中心線與安裝使用的回轉(zhuǎn)中心線不重合，會(huì)導(dǎo)致基圓中心與齒頂圓上各點(diǎn)之間的距離不等，在精確齒輪模型的基礎(chǔ)之上，根據(jù)上述分析建立含幾何偏心誤差的變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪模型。參照齒面方程1，運(yùn)用MATLAB 取點(diǎn)計(jì)算得到凹、凸齒面的數(shù)據(jù)點(diǎn)云，然后將這些點(diǎn)云導(dǎo)入到UG 里面，經(jīng)過(guò)一系列的操作得到變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪的齒面三維模型，然后以O(shè) 為圓心。為齒頂圓半徑，以為齒根圓半徑，經(jīng)過(guò)一系列操作建立初始的變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪標(biāo)準(zhǔn)模型；再利用布爾運(yùn)算以偏心距e 的O1為圓心切除半徑之外的部分；通過(guò)裝配建立對(duì)應(yīng)的傳動(dòng)副模型；最后得到含幾何偏心誤差的變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪傳動(dòng)副三維模型，如圖2 所示。

圖2 含幾何偏心誤差的齒輪模型Fig.2 Gear Model with Geometric Eccentricity Error

3 幾何偏心誤差對(duì)齒輪傳動(dòng)精度的影響

目前，對(duì)于齒輪傳動(dòng)誤差分析主要采用的是嚙合線增量法。將齒輪轉(zhuǎn)角變化產(chǎn)生的誤差看作是輪齒間嚙合線增量的變化。齒輪加工誤差成因很多，不同誤差源在加工過(guò)程中所引起齒輪間嚙合關(guān)系的變化規(guī)律互不相同，幾何偏心誤差在齒輪加工誤差中占有很大比重。幾何偏心反映為齒輪加工的回轉(zhuǎn)中心線與安裝使用的回轉(zhuǎn)中心線不重合，二者的偏心量用e 表示。由于變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪齒輪的中截面齒廓為漸開(kāi)線齒廓[1]。采用幾何偏心齒輪與標(biāo)準(zhǔn)齒輪做單面嚙合，在任意位置，嚙合線增量可以表示為：

式中：α—壓力角，單位為弧度（rad）；φz—逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度，單位為弧度（rad）。

可以看出，嚙合線的變化規(guī)律符合正弦變化規(guī)律，周期為2π。根據(jù)漸開(kāi)線的性質(zhì)，得到該齒輪的轉(zhuǎn)角誤差為：

式中：Δφ—幾何偏心引起的轉(zhuǎn)角誤差，單位為mm；rb—從動(dòng)齒輪基圓半徑，單位為mm。

建立四對(duì)含幾何偏心誤差的單級(jí)變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)模型，各對(duì)齒輪的基本參數(shù)，如表1 所示。其中，0 號(hào)與1號(hào)嚙合，0 號(hào)與2 號(hào)嚙合，0 號(hào)與3 號(hào)嚙合，0 號(hào)與4 號(hào)嚙合。

表1 偏心齒輪基本參數(shù)Tab.1 Basic Parameters of Eccentric Gear

4 ADAMS 仿真分析及結(jié)果處理

4.1 ADAMS 仿真預(yù)處理

ADAMS 是使用交互式圖形環(huán)境的多體動(dòng)力學(xué)仿真軟件，可以從靜力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)方面來(lái)對(duì)虛擬機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行分析。目前，ADAMS 被廣泛應(yīng)用于齒輪嚙合分析中。在UG 中將建立的含有幾何偏心誤差的變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪三維裝配體模型選擇導(dǎo)出Parasolid 格式文件，該文件格式可以防止數(shù)據(jù)丟失，保證導(dǎo)入到ADAMS 中模型的準(zhǔn)確性，從而保證仿真結(jié)果的正確性和有效性。為了控制插值分析中的插值誤差，同時(shí)為了盡可能的減少仿真的計(jì)算時(shí)間，仿真設(shè)置中采用系統(tǒng)默認(rèn)的積分誤差。采用Intergrator選項(xiàng)來(lái)改變積分方式，選擇Gstiff 積分求解器，積分格式為S12，積分精度為0.001。具體的仿真參數(shù)選取，如表2 所示。表格中各參量的單位按ADAMS 中默認(rèn)的MMKS 單位，為了降低分析中振動(dòng)對(duì)仿真結(jié)果的影響，阻尼系數(shù)選擇較大值，此處選擇為500。

表2 仿真參數(shù)的設(shè)置Tab.2 Setting of Simulation Parameters

4.2 ADAMS 仿真結(jié)果處理與分析

根據(jù)齒輪間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，共定義了2 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副，1 個(gè)接觸，1個(gè)驅(qū)動(dòng)，1 個(gè)扭矩負(fù)載，得出最終的含幾何偏心誤差的變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪虛擬樣機(jī)，然后在ADAMS 中建立主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)角測(cè)量Measure。ADAMS 軟件能夠直接得到主從動(dòng)輪各個(gè)時(shí)刻轉(zhuǎn)角的變化，主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速恒定，轉(zhuǎn)角為φ1，單位為弧度（rad）。由于其存在幾何偏心誤差，會(huì)使從動(dòng)輪產(chǎn)生轉(zhuǎn)角誤差，轉(zhuǎn)角為φ2，單位為弧度（rad）。從動(dòng)輪的實(shí)際角位移與理論角位移做差即可得到從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)角誤差，假設(shè)傳動(dòng)比為i，那么可以得到從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)角誤差Δφ2（rad）為：

此處為方便計(jì)算，選取i=1，即 Δφ2=φ2-φ1。

將ADAMS 仿真得到的主從動(dòng)輪轉(zhuǎn)角數(shù)據(jù)導(dǎo)入到MATLAB中，進(jìn)行數(shù)據(jù)處理后得到轉(zhuǎn)角誤差數(shù)據(jù)，重新導(dǎo)入到ADAMS 后處理得到各從動(dòng)輪對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角誤差曲線，如圖3 所示。

圖3 轉(zhuǎn)角誤差曲線Fig.3 Angle Error Curve

式中：Δφmax的單位是角度制（deg）；ei—計(jì)算得到的幾何偏心誤差，單位為mm。

將基圓半徑rb和最大轉(zhuǎn)角誤差Δφmax帶入，計(jì)算可以得到經(jīng)ADAMS 仿真后的變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪幾何偏心誤差值，再與理論幾何偏心誤差值進(jìn)行對(duì)比可以得到相對(duì)偏差量，具體數(shù)據(jù)，如表3 所示。由表3 可以得到：（1）由基圓半徑和最大轉(zhuǎn)角誤差計(jì)算得到的仿真幾何偏心誤差計(jì)算值與幾何偏心理論值的相對(duì)偏差量較小，估計(jì)精度較高。（2）從ADAMS 仿真分析角度驗(yàn)證了轉(zhuǎn)角誤差理論計(jì)算公式在變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪上應(yīng)用的正確性。即幾何偏心最大轉(zhuǎn)角誤差等于偏心距與基圓半徑的比值。

表3 幾何偏心計(jì)算值Tab.3 The Calculated Value of Geometric Eccentricity

5 結(jié)論

（1）用ADAMS 仿真分析得到的幾何偏心誤差計(jì)算值與幾何偏心理論值偏差的相對(duì)偏差量較小，估計(jì)精度較高。同時(shí)驗(yàn)證了理論計(jì)算方法的正確性，即變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪的最大轉(zhuǎn)角誤差等于幾何偏心值與其對(duì)應(yīng)的從動(dòng)輪基圓半徑的比值。（2）利用ADAMS 通過(guò)轉(zhuǎn)角誤差來(lái)計(jì)算幾何偏心誤差的方法，可以通過(guò)測(cè)量動(dòng)態(tài)傳遞誤差來(lái)間接計(jì)算變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪的幾

何偏心值。為以后分析變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪的加工誤差具有重要的指導(dǎo)意義。