趙久玉，王付勇，楊 坤

(中國石油大學(xué)(北京)，北京 102249)

0 引 言

準確預(yù)測致密砂巖滲透率并確定其關(guān)鍵影響因素對致密油藏高效開發(fā)具有重要意義。滲透率模型是預(yù)測儲層滲透率的重要手段，實驗室常利用經(jīng)驗公式擬合得到滲透率模型，Kozeny-Carman方程在預(yù)測常規(guī)砂巖的滲透率時具有良好的表現(xiàn)，在此基礎(chǔ)上許多學(xué)者對其進行了改進[1-3]，但致密儲層孔隙結(jié)構(gòu)復(fù)雜，孔隙類型多樣，僅僅依靠孔隙度不能精確地預(yù)測儲層滲透率。滲透率不僅與孔隙度有關(guān)，還與孔隙大小、分布、連通方式等有明顯的關(guān)系[4]。分形理論可以有效表征復(fù)雜多孔介質(zhì)孔隙分布特征，并在油藏儲層評價中得到廣泛的應(yīng)用。國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者將分形理論與毛管束模型結(jié)合構(gòu)建了不同的滲透率模型[5-11]，但如何計算滲透率模型中的關(guān)鍵分形參數(shù)仍存在很大不確定性。

基于具有分形特征的迂曲毛管束模型，推導(dǎo)了特征單元中孔隙總流量表達式，得到致密砂巖絕對滲透率預(yù)測模型。利用壓汞法提出了一種求取三維迂曲度分形維數(shù)的新方法，并利用滲透率模型對其合理性進行驗證。研究表明，三維迂曲度分形維數(shù)計算與滲透率模型相結(jié)合，能夠快速、準確地預(yù)測巖心滲透率，對致密砂巖儲層物性評價具有重要意義。

1 滲透率模型

1.1 滲透率模型Ⅰ

Yu和Cheng[12]假設(shè)在一個長度為L0，2D的二維特征單元內(nèi)，毛細管管徑、長度均符合分形分布，建立一個無經(jīng)驗系數(shù)的滲透率模型：

(1)

1.2 滲透率模型Ⅱ

Wang等[13]推導(dǎo)了迂曲度相等、孔隙大小符合分形分布的滲透率模型：

(2)

式中：φ為孔隙度；τ為平均迂曲度。

1.3 滲透率模型Ⅲ

在長度為L0，3D的立方體特征單元內(nèi)，迂曲毛細管分布符合分形分布，根據(jù)分形理論，孔隙大小與累計孔隙數(shù)目滿足[14]：

(3)

對式(3)求導(dǎo)可得：

(4)

特征單元內(nèi)每根迂曲毛細管的長度也符合分形分布[12]：

(5)

Wang等[15]建立了單根毛細管長度具有分形特征的毛細管流量方程：

(6)

式中：L為迂曲毛細管長度，μm；q為單根毛細管流量，mm3/s；μ為流體黏度，mPa·s；p1、p2分別為毛細管兩端壓力，MPa。

根據(jù)分形理論，特征長度為L0，3D的特征單位中流體的流量Q可通過對單根毛細管流量從λmin到λmax積分得到，結(jié)合式(4)、(6)可得到特征長度為L0，3D的特征單元體中流體的流量Q為：

(7)

式中：Q為特征長度為L0，3D的特征單元體中流體的流量，m3/s。

將特征單元中的流量Q代入達西定律，則絕對滲透率的表達式為：

(8)

Yu[16]推導(dǎo)了三維迂曲度分形維數(shù)的表達式：

(9)

式中：τav為平均三維迂曲度；λav為平均孔隙直徑，μm。

三維空間內(nèi)，特征體單元邊長L0，3D為[17]：

(10)

將式(9)代入式(10)變形可得：

(11)

(12)

2 滲透率模型參數(shù)計算

以26塊鄂爾多斯盆地延長組的致密砂巖巖心為例，在滲透率模型Ⅲ的基礎(chǔ)上，計算平均迂曲度、分形維數(shù)、特征長度和三維迂曲度分形維數(shù)，結(jié)果如表1所示。

表1 26塊致密砂巖參數(shù)及模型參數(shù)計算結(jié)果Table 1 Model prediction and test data of 26 tight sandstone core samples

2.1 平均迂曲度

平均迂曲度是描述滲流通道的重要參數(shù)，Comiti和Renaud[18]、Yu[16]提出利用孔隙度計算平均迂曲度的方法，2種方法的計算結(jié)果存在一定的差異。由表1可知，τ1的數(shù)值為1～2；τ2的數(shù)值為3～6。雖然2種方法計算的平均迂曲度存在一定差異，但隨著平均迂曲度增大，巖心滲透率降低，較大、較小的迂曲度都將影響巖心滲透率的計算準確性，選擇合適的迂曲度計算方法會大大提高預(yù)測滲透率的準確性。

2.2 分形維數(shù)

分形維數(shù)用以表征孔隙的分布，Wang等[15]和Li[19]介紹了利用壓汞曲線求取分形維數(shù)的方法。以1號巖心為例，使用2種方法得到的累計孔隙數(shù)目與孔隙直徑的雙對數(shù)曲線如圖1所示，其斜率的負值為分形維數(shù)。Wang等計算出的分形維數(shù)接近2，并且孔隙半徑和累計孔隙數(shù)目相關(guān)性較低(圖1a)。Li計算的分形維數(shù)大于2，孔隙半徑和累計孔隙數(shù)目相關(guān)性較好(圖1b)。

圖1 1號巖心N-λ雙對數(shù)曲線

圖2 分形維數(shù)與滲透率關(guān)系

2.3 特征長度和迂曲度分形維數(shù)

式(12)較為復(fù)雜，無法求得其解析解，信賴域算法是一種求解非線性優(yōu)化問題的數(shù)值方法，該方法從給定的初始解出發(fā)，通過逐步迭代，不斷改進，直到獲得滿意的近似最優(yōu)解為止。將求得的三維特征長度代入式(9)可以計算得到三維迂曲度分形維數(shù)。

3 滲透率模型驗證

巖心最大孔隙半徑和平均孔隙半徑可以通過壓汞數(shù)據(jù)得到，由于壓汞的進汞飽和度無法到達100%，因此，無法測量出準確的最小孔隙半徑，此處假設(shè)最小孔隙半徑均為1 nm。由上述3種模型可知，巖心內(nèi)部孔隙迂曲度對巖心滲透率的計算有一定影響，而不同方法計算的迂曲度并不完全相同，存在一定的差異，因此，將2種方法計算的平均迂曲度分別帶入上述3種滲透率模型，并對表1中26塊致密砂巖滲透率進行模擬計算，將其與巖心氣測滲透率進行對比，2種方法的計算結(jié)果分別如圖3、4所示。圖中擬合曲線與坐標軸角平分線的偏離程度可直觀表述預(yù)測結(jié)果的準確性，擬合曲線與角平分線吻合度越高，偏離程度越小，滲透率預(yù)測越準確。

圖3 平均迂曲度τ1預(yù)測滲透率與氣測滲透率對比

圖4 平均迂曲度τ2預(yù)測滲透率與氣測滲透率對比

由圖3可知，不同滲透率模型的計算結(jié)果不同。3種模型均考慮了巖心內(nèi)部孔隙迂曲度對滲透率預(yù)測的影響，但其表現(xiàn)形式存在一定差異。模型Ⅰ中考慮了毛細管的迂曲分形特征，而模型Ⅱ中將所有孔隙迂曲度設(shè)為同一固定值，2種模型預(yù)測滲透率時所用的為二維迂曲度分形維數(shù)；模型Ⅲ中利用三維迂曲度方法進行計算。

同理，由圖4可知，當利用Yu方法計算平均迂曲度時，利用滲透率模型Ⅲ所預(yù)測的滲透率與巖心氣測滲透率最為接近。因此，利用三維迂曲度分形維數(shù)校正后的滲透率模型可以有效預(yù)測滲透率。

對比圖3、4，由于2種方法所計算的迂曲度不同，二者滲透率預(yù)測結(jié)果也存在一定差異。表1中利用Comiti和Renaud方法計算的迂曲度略小于Yu方法所計算的迂曲度，因此，滲透率模型Ⅰ、Ⅱ計算所得的滲透率偏大，圖3中的擬合曲線偏差略大于圖4。

4 結(jié) 論

(1) 構(gòu)建了一種基于孔隙大小分布和迂曲度分形特征的致密砂巖滲透率預(yù)測新模型，該模型沒有經(jīng)驗系數(shù)，利用壓汞曲線得到分形維數(shù)、最大孔隙半徑與平均孔隙半徑，并通過迭代法計算迂曲度分形維數(shù)、特征長度，即可對滲透率進行準確預(yù)測。

(2) 針對二維特征長度不能夠準確表示迂曲度分形維數(shù)的問題，提出了一種求取三維迂曲度分形維數(shù)的新方法。以鄂爾多斯盆地延長組26個致密砂巖巖心為例，將計算所得三維迂曲度分形維數(shù)與滲透率模型Ⅲ相結(jié)合，所測得的滲透率與巖心氣測滲透率最為接近，該方法可以有效地預(yù)測巖心滲透率。

(3) 不同方法計算的迂曲度不同，其預(yù)測滲透率結(jié)果也存在一定差異。當計算迂曲度較小時，滲透率預(yù)測結(jié)果偏大。選取合適的迂曲度計算方法對準確預(yù)測致密砂巖滲透率具有重要意義。