劉 凱，郭 健，周文雅, 佘智勇

(1. 大連理工大學(xué)航空航天學(xué)院，大連 116024；2.遼寧省空天飛行器前沿技術(shù)重點實驗室, 大連 116024；3.北京空天技術(shù)研究所, 北京 100074)

0 引 言

吸氣式高超聲速飛行器[1-5]是指飛行馬赫數(shù)大于5，采用吸氣式及其組合動力，能夠在距海平面20～100 km高度進行機動飛行，可執(zhí)行打擊、偵查、運載與對抗等任務(wù)的飛行器。高超聲速飛行器具有快速響應(yīng)、突防能力強、自由廉價進入空間等技術(shù)特點，具有巨大的軍事意義和政治意義。作為導(dǎo)彈武器使用，可實現(xiàn)全球快速打擊，利用速度和空域優(yōu)勢對抗敵方防空反導(dǎo)體系；作為高超聲速飛機使用，可對高威脅區(qū)域進行快速抵近偵察，提供基于信息系統(tǒng)的體系作戰(zhàn)能力；作為空天往返飛行器使用，具有可重復(fù)使用、水平起降和拓展發(fā)射窗口等特點，可大幅降低發(fā)射成本、增強飛行可靠性，并具備執(zhí)行戰(zhàn)時應(yīng)急入軌能力。

美國通過X43A、HyFly及X51A等演示驗證飛行器計劃的推進，已經(jīng)在高超聲速巡航飛行技術(shù)方面積累了深厚基礎(chǔ)，目前以洛克希德馬丁公司和波音公司為代表已經(jīng)開啟了以吸氣式組合發(fā)動機為動力、適應(yīng)大空域?qū)捤儆蝻w行任務(wù)的高超聲速飛機的研究中。國內(nèi)外學(xué)者對組合動力高超聲速飛行器爬升段飛行軌跡設(shè)計進行了一些研究工作。文獻[6]在進行爬升段軌跡設(shè)計時，考慮了加速度設(shè)計對于燃料消耗的影響，將最大加速度爬升方案所得軌跡與燃料最省爬升軌跡進行對比，并且提出了航跡傾角變化率的約束條件。在軌跡優(yōu)化方面，文獻[7]研究了單級入軌的高超聲速飛行器上升段軌跡，結(jié)合群體智能隨機優(yōu)化算法和確定性梯度算法，考慮飛行過程中的動壓約束，最大有效載荷為優(yōu)化性能指標(biāo)，最終獲得最優(yōu)上升段軌跡。文獻[8]則以兩級入軌飛行器為研究對象，通過定義飛行器自身結(jié)構(gòu)與燃料質(zhì)量之間的等式關(guān)系，然后通過優(yōu)化飛行軌跡得到燃料最省軌跡來達到減小既定油箱容積的目的。

然而，多數(shù)文獻在研究中直接應(yīng)用目前成熟的直接法、間接法以及智能優(yōu)化算法等，從數(shù)學(xué)上獲得能量最優(yōu)或爬升時間最短的飛行軌跡，但從不同飛行階段的升重/推阻匹配等物理機理出發(fā)，來研究飛行策略從而進行軌跡設(shè)計的工作并不多。

在軌跡跟蹤制導(dǎo)方面，文獻[9]針對一類具有非最小相位特性的吸氣式高超聲速飛行器，給出了判定非線性系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)的判據(jù)，并利用動態(tài)逆方法完成了縱向軌跡跟蹤控制設(shè)計。針對高超聲速飛行器縱向模型的快時變、強耦合和高度非線性的特點，文獻[10]針對吸氣式高超聲速飛行器，在考慮模型不確定性的情況下，采用李導(dǎo)數(shù)的方法對某型高超聲速飛行器進行輸入輸出的精確線性化，并基于線性化后的模型提出一種非線性動態(tài)逆控制方法,實現(xiàn)對該型高超聲速飛行器的軌跡跟蹤控制。文獻[11]針對滑翔式高超聲速飛行器建模不確定性強的特點，使用具有較強魯棒性的ADSC方法實現(xiàn)魯棒路徑跟蹤，仿真結(jié)果表明該制導(dǎo)方法可以有效處理具有模型不確定性條件下的再入軌跡跟蹤制導(dǎo)問題；文獻[12]針對多約束條件下高超聲速飛行器再入制導(dǎo)問題，提出一種基于微分變換法求解最優(yōu)反饋控制的全狀態(tài)標(biāo)準(zhǔn)軌跡跟蹤制導(dǎo)律，通過最優(yōu)控制理論將制導(dǎo)指令解算問題轉(zhuǎn)化為兩點邊值問題，采用微分變換法進行求解獲得最優(yōu)反饋控制律。

當(dāng)前多數(shù)高超軌跡跟蹤制導(dǎo)問題的研究集中在吸氣式巡航段以及無動力滑翔段，對于組合動力爬升段制導(dǎo)問題的研究成果較少；同時，由于組合動力爬升段經(jīng)歷不同推進模態(tài)，推力特性受飛行姿態(tài)角及火箭流量的影響迥異，給軌跡跟蹤制導(dǎo)問題帶來新的難點。

基于此，本文針對渦輪/沖壓/火箭三組合動力水平起降高超聲速飛行器為研究對象，分別分析了渦輪段、引射段、沖壓段及沖壓火箭段的飛行策略，給出了適合的攻角剖面構(gòu)型，進而結(jié)合直接法中的序列二次規(guī)劃算法，完成了組合動力高超聲速飛行器上升段飛行軌跡設(shè)計工作；在此基礎(chǔ)上，結(jié)合軌跡線性化控制方法[13-15]，開展了組合動力上升段軌跡跟蹤制導(dǎo)律設(shè)計研究，給出了保證閉環(huán)穩(wěn)定性和控制品質(zhì)的制導(dǎo)律參數(shù)設(shè)計準(zhǔn)則，最后通過對標(biāo)稱情況和拉偏情況的仿真證明了方法的有效性。

1 組合動力爬升段軌跡設(shè)計與制導(dǎo)模型

1.1 質(zhì)點動力學(xué)模型

本文忽略地球自轉(zhuǎn)影響，根據(jù)彈道坐標(biāo)系與地面坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可建立渦輪/沖壓/火箭三組合動力高超聲速飛行器縱向質(zhì)點動力學(xué)方程為：

(1)

式中:h,V,θ,m,R分別表示飛行高度、速度、彈道傾角、質(zhì)量、航程，T,D,L分別表示發(fā)動機推力、阻力、升力，Isp表示比沖，α表示攻角，re為地球半徑?？紤]高超聲速飛行器采用渦輪、沖壓和火箭三組合動力[16]，其中發(fā)動機推力特性依賴于飛行馬赫數(shù)、動壓及攻角和火箭流量等，且不同模態(tài)下影響關(guān)系和影響特性不同，可以描述為如下分段形式

(2)

式中:Ma表示飛行馬赫數(shù),q表示飛行動壓,kr表示火箭流量大小。

1.2 軌跡優(yōu)化問題描述

爬升段軌跡設(shè)計約束主要包括動壓、熱流、過載、攻角幅值等約束條件，可以描述為如下形式：

(3)

另外，飛行器軌跡需要滿足終端約束，即

(4)

選用燃料最省作為性能指標(biāo)，則飛行軌跡設(shè)計問題可以轉(zhuǎn)化為如下最優(yōu)控制問題：

(5)

1.3 軌跡跟蹤制導(dǎo)問題

軌跡跟蹤制導(dǎo)問題可以描述為：對于給定的爬升段標(biāo)稱軌跡

(6)

設(shè)計合適的制導(dǎo)規(guī)律

[α(t),kr(t)]t∈[t0,tf]=[K1(e(t)),

K2(e(t))]t∈[t0,tf]

(7)

使得組合動力爬升段實際飛行狀態(tài)較好的跟蹤標(biāo)稱飛行軌跡中裝訂的飛行狀態(tài)，這里

(8)

表示飛行過程中實際狀態(tài)與標(biāo)稱狀態(tài)之間的偏差。

2 飛行軌跡設(shè)計

2.1 飛行策略

下面分階段給出飛行策略。

1)渦輪段飛行策略

如果從起飛爬升至安全高度后開始考慮，則在亞聲速階段應(yīng)當(dāng)將彈道拉起，以避免高動壓飛行，保證在跨聲速階段不會有過多的阻力損失，跨聲速結(jié)束后再通過降低爬升率避免出現(xiàn)過低動壓情況，利于渦輪發(fā)動機加速爬升。

2)引射火箭段飛行策略

由于此階段主要依靠火箭動力加速，因此先采用火箭動力高彈道策略，將彈道拉起減小阻力消耗，由火箭動力快加速，然后為了滿足后續(xù)純沖壓段高動壓的需求，降低爬升率增加動壓，保證在引射火箭段結(jié)束時的動壓達到純沖壓理想工作狀態(tài)。

3)純沖壓段飛行策略

此時單純沖壓通道產(chǎn)生的推力已經(jīng)足夠克服飛行器所受阻力，同時發(fā)動機處于亞燃狀態(tài)比沖較高，為了發(fā)揮高比沖優(yōu)勢，采用維持等高動壓飛行策略。

4)沖壓火箭段飛行策略

采用BANGBANG控制形式，即在某個馬赫數(shù)之前為純沖壓工作狀態(tài)，過了這一閥值后則切換到火箭流量開到最大的狀態(tài)。這一閥值馬赫數(shù)可以作為設(shè)計變量優(yōu)化得到。待進入沖壓火箭共同加速飛行段，同樣主要采用火箭飛行策略將彈道拉起，降低阻力消耗，然后將彈道拉平，滿足終端高度、速度及彈道傾角需求。

2.2 攻角剖面形式

第2.1節(jié)分析了不同飛行階段采用的飛行策略，對應(yīng)上述飛行策略，各階段采用如下的攻角剖面形式。

1)渦輪段

攻角剖面采用以馬赫數(shù)為調(diào)度變量的多項式形式，且應(yīng)為前一段為較大攻角，隨著馬赫數(shù)增加攻角減小至零度附近，跨聲速加速后再適當(dāng)提升攻角，避免高度過低，不利于引射火箭段工作。

2)引射火箭段

攻角剖面仍然采用以馬赫數(shù)為調(diào)度變量的多項式形式，且前一段為大攻角，拉升彈道，后將攻角減小至負(fù)數(shù)，壓低彈道滿足終端理想動壓需求。

3)純沖壓段

火箭流量為關(guān)閉狀態(tài)，所有控制量僅有攻角一項，為保證等動壓飛行實際上攻角是唯一確定的，可采用牛頓迭代計算得到攻角指令。

4)沖壓火箭段

火箭流量為開滿狀態(tài)，控制量只有攻角，仍然可采用以馬赫數(shù)為調(diào)度變量的多項式形式。

2.3 參數(shù)優(yōu)化求解

將上述攻角剖面構(gòu)型代入原優(yōu)化問題后，可將無窮維軌跡優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為有限維非線性參數(shù)規(guī)劃問題，非線性規(guī)劃問題一般形式可表示為：

(9)

其中，目標(biāo)函數(shù)f和ci均為定義于Rn中的二階連續(xù)可微函數(shù)。設(shè)x*為上述問題的局部最優(yōu)解。若在x*處起作用約束條件，即有ci(x*)=0成立的約束條件的梯度向量▽ci(x*)線性無關(guān)，則存在滿足下列Kuhn-Tucker條件的向量組(x,λ)=(x*,λ*)

(10)

(11)

其中,λ=[λ1,λ2,…,λm]T是拉格朗日乘子向量。上述最優(yōu)性條件可由序列二次規(guī)劃(SQP)算法[7]求解，圖1為求解流程圖。

圖1 SQP算法流程圖

3 軌跡跟蹤制導(dǎo)

3.1 軌跡線性化

針對高度和速度剖面跟蹤需求，將高度/速度項影響作為關(guān)注狀態(tài)變量，引入速度積分項、高度微分項對狀態(tài)方程擴維，增廣軌跡動力學(xué)模型如下：

(12)

描述為狀態(tài)空間形式為

(13)

(14)

(15)

式中:

假設(shè)1. 為了應(yīng)用基于期望極點配置的軌跡線性化控制方法，本文假設(shè)控制輸入矩陣非奇異，即滿足

3.2 跟蹤制導(dǎo)律設(shè)計

針對線性化后的時變系統(tǒng)，采用如下形式的時變控制器，包括標(biāo)稱軌跡設(shè)計中的前饋控制部分以及誤差時變反饋控制器

(16)

其中,

將控制器代入誤差時變系統(tǒng)，并設(shè)期望閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為

(17)

令代入閉環(huán)控制器的誤差時變系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣與期望系統(tǒng)矩陣相等，可解出控制器參數(shù)

徐州傳統(tǒng)地方戲曲梆子戲在2008年被列為國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，江蘇梆子劇院有限公司（前身江蘇省梆子劇團），現(xiàn)已實行企業(yè)化管理。梆子戲在徐州、河北地區(qū)目前仍繼續(xù)上演，有一批固定觀眾。

3.3 期望系統(tǒng)矩陣設(shè)計

從第3.2節(jié)可以看出，控制參數(shù)由期望特征根決定，所以核心問題在于期望特征根的選取。從期望閉環(huán)系統(tǒng)矩陣可以看出，兩個子空間均可描述為線性時變的二階系統(tǒng)，描述為特征方程形式即為

(18)

因此有

按照目前欠阻尼二階線性系統(tǒng)對于階躍響應(yīng)的上升時間和超調(diào)量估算公式：

(19)

(20)

則給定需求的閉環(huán)控制系統(tǒng)上升時間和超調(diào)量聯(lián)立求解出期望系統(tǒng)的阻尼比和頻率，進而確定期望系統(tǒng)矩陣特征根，獲得控制器參數(shù)。

3.4 穩(wěn)定性判據(jù)

第3.3節(jié)給出了控制結(jié)構(gòu)和控制參數(shù)設(shè)計方法，本節(jié)給出軌跡線性化時變控制器穩(wěn)定性分析判據(jù)。

引理1[17].對于閉環(huán)誤差線性時變系統(tǒng)(15)，若系統(tǒng)PD特征值

(21)

滿足

1)存在常數(shù)c1,c2滿足

(22)

2)存在正整數(shù)m滿足

(23)

那么時變閉環(huán)系統(tǒng)是一致穩(wěn)定的。

利用上述定理分析時變線性控制器，由于軌跡線性化控制器加入后的閉環(huán)系統(tǒng)PD特征值為

那么，只要存在正常數(shù)c保證

ωn(t)>c>0,t>0

則顯然式(21)～式(22)均成立，基于上述PD特征根設(shè)計出的控制器可以保證閉環(huán)時變系統(tǒng)穩(wěn)定，因此上述引理提供了選取期望閉環(huán)極點的準(zhǔn)則，以便支撐軌跡線性化控制參數(shù)設(shè)計工作。

4 仿真校驗

4.1 組合動力爬升飛行軌跡仿真

本節(jié)以面向水平起降高超聲速飛行任務(wù)需求的渦輪/沖壓/火箭組合動力飛行器方案[18]為仿真對象，考慮起飛至安全高度后，開展爬升段飛行軌跡設(shè)計研究，考慮終端飛行速度Ma6，高度為26 km，飛行攻角不超過15°，渦輪段工作Ma上限為1.5，純沖壓工作起始狀態(tài)為Ma3，沖壓火箭段起始工作狀態(tài)為Ma5，應(yīng)用本文提出的基于飛行策略分析的分段軌跡設(shè)計方法，可完成組合動力爬升段軌跡設(shè)計。

從圖2～圖7可以看出，利用本文提出的爬升段軌跡設(shè)計方法，可以滿足飛行過程約束(飛行動壓及攻角并未超限)，并較好地滿足了終端狀態(tài)約束(終端飛行高度和馬赫數(shù))。

圖2 高度隨時間變化曲線

圖3 速度隨時間變化曲線

圖4 質(zhì)量隨時間變化曲線

圖5 馬赫數(shù)隨時間變化曲線

圖6 飛行動壓隨時間變化曲線

圖7 攻角隨時間變化曲線

4.2 組合動力爬升軌跡跟蹤制導(dǎo)仿真

針對設(shè)計獲得的標(biāo)稱飛行軌跡，利用本文提出的基于軌跡線性化控制的制導(dǎo)方法，開展了跟蹤制導(dǎo)律設(shè)計，并在考慮氣動性能拉偏的條件下，開展了仿真分析。為分析升阻系數(shù)向不同方向變化條件下的制導(dǎo)性能，分別將渦輪段升力系數(shù)向下拉偏20%、引射段阻力系數(shù)向下拉偏20%、純沖壓段阻力系數(shù)向上20%、升力系數(shù)向上20%，獲得仿真結(jié)果如圖8～12所示。

圖8 高度跟蹤結(jié)果隨馬赫數(shù)變化曲線

圖9 速度跟蹤結(jié)果隨馬赫數(shù)變化曲線

圖11 火箭流量隨馬赫數(shù)變化曲線

圖12 質(zhì)量隨馬赫數(shù)變化曲線

從圖8～9可以看出，即使在升阻系數(shù)20%拉偏條件下，組合動力爬升段中各階段制導(dǎo)律都能較好地保證實際飛行狀態(tài)較好地跟蹤標(biāo)稱飛行軌跡，證明了方法的有效性。此外，從圖10～12可以看出，為了消除升阻系數(shù)拉偏帶來的跟蹤誤差，實際攻角指令和火箭流量指令在標(biāo)稱指令的基礎(chǔ)上進行了自主調(diào)節(jié)，因此燃料質(zhì)量較標(biāo)稱軌跡燃料消耗有一定差別。

圖10 攻角隨馬赫數(shù)變化曲線

4.3 對比仿真分析

考慮到渦輪沖壓火箭三組合動力高超聲速飛行器上升制導(dǎo)方法目前研究較少，為了比較本文提出基于軌跡線性化控制制導(dǎo)方法，在相同設(shè)計條件下開展了基于PID控制的軌跡跟蹤制導(dǎo)設(shè)計及仿真分析，為了較好地看出跟蹤效果對比截圖，截取了第一段跟蹤誤差對比圖。

從圖13～圖14可以看出，基于軌跡線性化控制制導(dǎo)途徑對應(yīng)速度跟蹤誤差明顯小于PID控制途徑，高度剖面跟蹤誤差方面也是軌跡線性化控制途徑在大部分階段和最終狀態(tài)小于PID控制途徑，這些都說明了提出基于軌跡線性化控制制導(dǎo)方法應(yīng)用于吸氣式組合動力高超聲速飛行器上升段制導(dǎo)問題的優(yōu)勢。

圖13 高度跟蹤誤差對比結(jié)果

圖14 速度跟蹤誤差對比結(jié)果

5 結(jié) 論

本文綜合考慮組合動力高超聲速飛行器爬升段不同階段的動力特性和氣動特性差異，從物理規(guī)律入手提出了不同發(fā)動機工作模態(tài)下的飛行策略，在此基礎(chǔ)上通過給出適合的攻角和火箭流量剖面構(gòu)型形式，將飛行軌跡設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為有限維參數(shù)規(guī)劃問題，完成了組合動力上升段飛行軌跡的優(yōu)化設(shè)計。同時，采用軌跡線性化控制方法，給出了跟蹤制導(dǎo)律結(jié)構(gòu)、參數(shù)設(shè)計準(zhǔn)則以及穩(wěn)定性分析判據(jù)，發(fā)展了組合動力上升段軌跡設(shè)計和跟蹤制導(dǎo)律設(shè)計手段，為以水平起降高超聲速飛機為代表的下一代高超聲速飛行器制導(dǎo)方案提供了潛在的技術(shù)途徑。