摘 要：分析了經(jīng)典彈性勢(shì)能概念的局限性，重新定義了彈性勢(shì)能，并且推廣給出了勢(shì)能的一般概念。

關(guān)鍵詞：輕質(zhì)彈簧;彈性勢(shì)能;勢(shì)能;質(zhì)量

中圖分類(lèi)號(hào)：O313.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-2064（2020）08-0237-02

1問(wèn)題的提出

現(xiàn)在一般力學(xué)教材給出彈性勢(shì)能的定義為——發(fā)生彈性形變的物體的各部分之間，由于有彈力的相互作用，也具有勢(shì)能，這種勢(shì)能叫做彈性勢(shì)能（elastic potential energy）。在工程中又稱(chēng)“彈性變形能”。例如被壓縮的氣體、拉彎了的弓、卷緊了的發(fā)條、拉長(zhǎng)或壓縮了的彈簧都具有彈性勢(shì)能。同一彈性物體在一定范圍內(nèi)形變?cè)酱?，具有的彈性?shì)能就越多，反之，則越小。彈性勢(shì)能是存儲(chǔ)在材料或物理系統(tǒng)的構(gòu)造中的潛在機(jī)械能，因?yàn)閳?zhí)行工作以扭曲其體積或形狀。當(dāng)需要壓縮和拉伸或大體上以任何方式變形時(shí)，彈性能量就會(huì)發(fā)生。彈性理論主要發(fā)展為固體和材料力學(xué)的形式（注意，拉伸橡皮筋所做的工作不是彈性勢(shì)能的一個(gè)例子，它是熵彈性的一個(gè)例子）彈性勢(shì)能方程用于機(jī)械平衡位置的計(jì)算。在數(shù)學(xué)上，方程可以表示為：，這個(gè)定義其實(shí)是不完善的，下面首先以彈簧的彈性勢(shì)能為例說(shuō)明一下這個(gè)問(wèn)題，上述概念只談到了彈簧的彈性勢(shì)能，沒(méi)有涉及彈簧的動(dòng)能，不少人理解為忽略彈簧的動(dòng)能，只研究其勢(shì)能?？墒沁@樣會(huì)造成矛盾，例如在地面系把一個(gè)彈簧壓縮后放入真空中，它的勢(shì)能不斷變化，如果不考慮彈簧的動(dòng)能，顯然不滿足能量守恒定律。根據(jù)愛(ài)因斯坦質(zhì)能方程E=mc2，能量一定與質(zhì)量成正比，無(wú)法體現(xiàn)。

2問(wèn)題的解決

從上面的分析可以看出只具有彈性勢(shì)能而不具有動(dòng)能的彈簧是不存在的，彈弓和彎曲的樹(shù)枝等發(fā)生彈性形變的物體具有勢(shì)能，在變化的過(guò)程中也具有動(dòng)能，實(shí)踐中可以忽略動(dòng)能，是近似處理。輕質(zhì)彈簧在忽略彈簧質(zhì)量的同時(shí)也忽略了彈簧的勢(shì)能和動(dòng)能，現(xiàn)在部分中學(xué)教材甚至高考中研究輕質(zhì)彈簧的彈性勢(shì)能，這是不準(zhǔn)確的，嚴(yán)格講應(yīng)該表述為與輕質(zhì)彈簧接觸質(zhì)點(diǎn)的彈性勢(shì)能，例如在彈簧振子中，如果這樣表達(dá)彈性勢(shì)能，就可以看出彈性勢(shì)能屬于質(zhì)點(diǎn)，而不是屬于彈簧。這樣可以發(fā)現(xiàn)勢(shì)能與質(zhì)量成正比，符合質(zhì)能方程的要求。在大中學(xué)階段可以只研究質(zhì)點(diǎn)的彈性勢(shì)能，作為專(zhuān)家可以研究彈簧的彈性勢(shì)能。當(dāng)考慮彈簧質(zhì)量時(shí)，可以宏觀考慮為若干個(gè)受彈力作用的質(zhì)點(diǎn)，必須研究彈簧的動(dòng)能了，也可以把彈簧的質(zhì)量合并到質(zhì)點(diǎn)中去，必須考慮彈簧的質(zhì)量是否均勻等因素，不是簡(jiǎn)單相加，見(jiàn)圖1。

我們可以把牛頓第二定律和歐姆定律進(jìn)行類(lèi)比，合外力相當(dāng)于電壓，質(zhì)量相當(dāng)于電阻，加速度相當(dāng)于電流。導(dǎo)線抽去電阻、電感等屬性后用電器的電壓等于導(dǎo)線兩端的電壓一樣。類(lèi)似于不考慮電阻、電感等屬性的導(dǎo)線不能承擔(dān)電壓和消耗能量一樣，輕質(zhì)彈簧不能單獨(dú)承受力[1]，也不能儲(chǔ)存能量[2]，千萬(wàn)不要認(rèn)為彈簧振子中彈簧具有勢(shì)能，忽略動(dòng)能。這樣動(dòng)能定理就不成立了，外力做功了，動(dòng)能卻沒(méi)有變化。有人認(rèn)為彈簧振子中彈簧具有微弱的質(zhì)量，忽略質(zhì)量，這顯然是錯(cuò)誤的。這就像我們忽略摩擦，再考慮微弱摩擦力一樣的荒唐。沒(méi)有質(zhì)量和具有勢(shì)能二者不可兼容，理論上不存在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只具有勢(shì)能不具有動(dòng)能的物體，實(shí)驗(yàn)中的彈簧是忽略動(dòng)能（近似處理）。有人認(rèn)為理想的彈簧只具有勢(shì)能不具有動(dòng)能，是一個(gè)彈性體，但是這個(gè)假設(shè)違背物理學(xué)的基本原理，例如文獻(xiàn)[3]構(gòu)造了一種只具有勢(shì)能而不具有動(dòng)能的彈簧，是荒謬至極的。彈簧振子不是質(zhì)點(diǎn)+實(shí)物彈簧，而是質(zhì)點(diǎn)受到線性回復(fù)力，在水平面上受穩(wěn)定約束的彈簧振子運(yùn)動(dòng)模型，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)與距離r成正比有心力作用下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題[4]。在彈簧振子問(wèn)題中，是一個(gè)完整、理想、雙側(cè)束的質(zhì)點(diǎn)，約束力不改變質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能;考慮彈簧質(zhì)量，是具有完整、理想、雙側(cè)束的質(zhì)點(diǎn)系，約束力也不改變系統(tǒng)的機(jī)械能。

趙凱華認(rèn)為：研究一個(gè)規(guī)律的表述所具有的對(duì)稱(chēng)性，并設(shè)法消除某種不對(duì)稱(chēng)因素，從而使其規(guī)律的表述具有更多的對(duì)稱(chēng)性，這無(wú)疑是有重要意義的。因?yàn)樗粌H滿足人類(lèi)對(duì)于美（對(duì)稱(chēng)，和諧）的心理追求，而且更重要的是使表述的規(guī)律具有更大的普遍性。由于質(zhì)點(diǎn)受到萬(wàn)有引力而具有的勢(shì)能叫引力勢(shì)能，由于質(zhì)點(diǎn)受到重力而具有的勢(shì)能叫重力勢(shì)能，而把彈性勢(shì)能定義為由于彈性形變具有的勢(shì)能不具有和諧性，因?yàn)閺椈烧褡又匈|(zhì)點(diǎn)具有彈性勢(shì)能而沒(méi)有形變。如果把彈性勢(shì)能定義為由于質(zhì)點(diǎn)受到保守彈力作用（并非所有彈力都是保守力，例如非彈性碰撞中的彈力，嚴(yán)格講彈力都不是保守力，當(dāng)只考慮彈力的大小和方向，而忽略形變的影響時(shí)才是保守力，例如斜面的支持力。）而具有的勢(shì)能叫做彈性勢(shì)能就比較完整了，不但包括彈簧振子中的彈性勢(shì)能[5]，也包括具有質(zhì)量的彈簧、彈弓、弓箭等彈性勢(shì)能，甚至包括光滑斜面上的滑塊受到的彈力——支持力等具有的彈性勢(shì)能[6]和單擺的擺錘受到擺線的約束力具有的勢(shì)能等。質(zhì)點(diǎn)只要受到彈力作用就具有彈性勢(shì)能，不一定發(fā)生彈性形變，例如小滑塊在光滑斜面上下滑，斜面的形變?yōu)?，質(zhì)點(diǎn)依然具有彈性勢(shì)能[6]。有人說(shuō)沒(méi)有形變哪來(lái)的彈力，確實(shí)這樣，一個(gè)物體放在水平地面上受到支持力是彈力，但是我們不必考慮形變，力學(xué)中不必考慮力的性質(zhì)的來(lái)源，重力來(lái)源于萬(wàn)有引力，摩擦力還來(lái)自于電磁力呢？我們計(jì)算摩擦力時(shí)從來(lái)不考慮電磁力的問(wèn)題，研究質(zhì)點(diǎn)的重力時(shí)也不考慮萬(wàn)有引力。

由于質(zhì)點(diǎn)受到保守彈力作用（并非所有彈力都是保守力，例如非彈性碰撞中的彈力）而具有的勢(shì)能叫做彈性勢(shì)能，由于質(zhì)點(diǎn)受到萬(wàn)有引力而具有的勢(shì)能叫引力勢(shì)能，由于質(zhì)點(diǎn)受到重力而具有的勢(shì)能叫重力勢(shì)能，由于質(zhì)點(diǎn)受到浮力而具有的勢(shì)能叫浮力勢(shì)能[7-17]，由于質(zhì)點(diǎn)受到支持力而具有的勢(shì)能叫支持力勢(shì)能，由于質(zhì)點(diǎn)受到約束力而具有的勢(shì)能叫約束力勢(shì)能、、、、、、，可以給出勢(shì)能的一般定義——由于質(zhì)點(diǎn)受到有勢(shì)力而具有的能量叫做勢(shì)能，勢(shì)能的定義式為dEp=（-f）·dr（與等價(jià)），當(dāng)有勢(shì)力不顯含時(shí)間（即為保守力）時(shí)，勢(shì)能也可以稱(chēng)為位能，（筆者注：類(lèi)似地可以定義由于電荷受到電場(chǎng)力而具有的勢(shì)能叫做電勢(shì)能，從勢(shì)能的定義式可以看出單質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能是坐標(biāo)的函數(shù)，不具有伽利略變換的不變性），這樣更具有對(duì)稱(chēng)性與和諧性。本文把勢(shì)能和位能區(qū)別開(kāi)來(lái)，位能是勢(shì)能的一種情形，對(duì)于保守力二者是一致的，對(duì)于顯含時(shí)間的力是有區(qū)別的，此時(shí)只有勢(shì)能沒(méi)有位能。經(jīng)典力學(xué)教材把二者等同起來(lái)，認(rèn)為只有保守力才存在勢(shì)能，可是有關(guān)文獻(xiàn)又指出當(dāng)勢(shì)能不顯含時(shí)間時(shí)力是保守力，二者之間存在矛盾，按照本文的觀點(diǎn)矛盾自然解決。根據(jù)dEp=（-f）·dr（與等價(jià)）可以得出只要力場(chǎng)是空間坐標(biāo)的函數(shù)，此力一定是保守力，耗散力和顯含時(shí)間的力不是空間坐標(biāo)的函數(shù)，是非保守力。

根據(jù)dEp=（-f）·dr可以得出力場(chǎng)不顯含時(shí)間，勢(shì)能一定不顯含時(shí)間，這里沒(méi)有時(shí)間變量t，文獻(xiàn)[18]的觀點(diǎn)是完全錯(cuò)誤的，只要質(zhì)點(diǎn)受到保守力就具有勢(shì)能，具體數(shù)值與勢(shì)能零點(diǎn)的選擇有關(guān)，只要?jiǎng)菽芰泓c(diǎn)相對(duì)于觀察者不變即可，文獻(xiàn)[18]錯(cuò)誤的根源在于勢(shì)能零點(diǎn)的選取錯(cuò)誤。機(jī)械能守恒定律是時(shí)間均勻性的體現(xiàn)，顯含時(shí)間的力場(chǎng)能量不守恒。僅僅適用于彈簧振子中質(zhì)點(diǎn)的彈性勢(shì)能，而且不適用于所有的慣性系[5]，不適用于彈簧的彈性勢(shì)能。趙凱華、羅蔚茵在其《新概念物理教程——力學(xué)》一書(shū)中說(shuō)：“追求某種東西守恒是產(chǎn)生科學(xué)思想不可少的條件，科學(xué)家們常有尋找守恒的強(qiáng)烈愿望，與運(yùn)動(dòng)相聯(lián)系的守恒量長(zhǎng)久以來(lái)就是物理學(xué)家尋找的目標(biāo)，從守恒的觀點(diǎn)來(lái)看，勢(shì)能的概念是不能沒(méi)有的[19]?！庇?guó)著名物理學(xué)家狄拉克在被問(wèn)及：是怎樣得到那著名的相對(duì)論量子方程時(shí)，回答得很干脆，“我發(fā)現(xiàn)它美！”這種科學(xué)美也與對(duì)稱(chēng)性密切相關(guān)， 愛(ài)因斯坦將之發(fā)揮到了極致。在他以前，科學(xué)家是從定律中發(fā)現(xiàn)對(duì)稱(chēng)性，愛(ài)因斯坦反其道而行之──從對(duì)稱(chēng)性中發(fā)現(xiàn)定律。他的廣義相對(duì)論就是一個(gè)范例：從引力與加速度等效原理出發(fā)，憑協(xié)變對(duì)稱(chēng)性就能寫(xiě)出引力方程。這種從對(duì)稱(chēng)性中找定律的方法被沿用至今，在物理學(xué)的前沿探索中發(fā)揮著越來(lái)越大的作用。所以科學(xué)家不只是求真，也在尋美[20]，愛(ài)因斯坦曾經(jīng)講過(guò)：“相信世界在本質(zhì)上是有秩序的和可認(rèn)識(shí)的這一信念，是一切科學(xué)的基礎(chǔ)。我永遠(yuǎn)不會(huì)說(shuō)我真正懂得了自然規(guī)律的簡(jiǎn)單性所包含的意思?！?/p>

現(xiàn)在不少力學(xué)教材在表述力的作用效果時(shí)一方面指出“力是改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因”，另一方面指出“力是物體產(chǎn)生形變的原因”，一些初學(xué)者往往認(rèn)為力的作用效果有兩種，其實(shí)二者本身是一致的，“力是改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因”此時(shí)物體看做質(zhì)點(diǎn)?！傲κ俏矬w產(chǎn)生形變的原因”此時(shí)物體不能看做質(zhì)點(diǎn)，組成物體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)也發(fā)生了改變，物體產(chǎn)生形變只是一個(gè)宏觀效果，所以可以統(tǒng)一表達(dá)為“力是改變質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因”，牛頓就說(shuō)過(guò)，自然界喜歡簡(jiǎn)單化，而不喜歡用什么多余的原因以夸耀自己。追求簡(jiǎn)單性是經(jīng)典科學(xué)奮斗的目標(biāo)，也是推動(dòng)它獲取成功的動(dòng)力。開(kāi)普勒以三條簡(jiǎn)明的定律揭示了看似復(fù)雜的太陽(yáng)系行星運(yùn)動(dòng)，牛頓更是用單一的萬(wàn)有引力說(shuō)明了千變?nèi)f化的天體行為。因而現(xiàn)代科學(xué)是用簡(jiǎn)單性解釋復(fù)雜性，這就隱去了自然界的豐富多樣性，普朗克曾經(jīng)講過(guò)：“在科學(xué)史上，一個(gè)新概念從來(lái)都不會(huì)是一開(kāi)頭就以其完整的最后形式出現(xiàn)，象古希臘神話中雅典娜一下子從宙斯的頭里跳出來(lái)那樣?！?/p>

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