謝定亮 魏有蓮

函數(shù)零點的個數(shù)問題是各類試題中的常見問題，常與不等式、數(shù)列、三角函數(shù)等知識相結合，主要考查同學們對問題的轉化和分析能力.本文主要談一談求函數(shù)零點個數(shù)的三種方法：定義法、圖象法和運用零點存在性定理.

一、定義法

所謂定義法，指是根據函數(shù)零點的定義解答問題的方法.我們把使f（x）=0的實數(shù)x叫作函數(shù)y=f（x）的零點.在利用定義法解題時，我們可以直接令函數(shù)f（x）=0，通過解方程來求出x的值，這樣就可以直接判斷出函數(shù)零點的個數(shù).

例1.已知函數(shù) ，試求該函數(shù)

分析：該函數(shù)是分段函數(shù)，我們需要進行分段討論，可以根據函數(shù)零點的定義，令 ，分別求出對應區(qū)間上的x的值，再進行匯總，即可得出函數(shù)零點的個數(shù).

二、圖象法

有些函數(shù)解析式的結構較為復雜，很難直接求出函數(shù)的零點，我們可以將已知函數(shù)拆成兩個新的函數(shù)，將函數(shù)零點問題轉化兩個新函數(shù)的交點的個數(shù)問題來求解.利用圖象法來解題就是通過分析函數(shù)的圖象，求得函數(shù)零點的個數(shù).合理對函數(shù)解析式進行拆分是解題的關鍵.

例2.求函數(shù) 在區(qū)間 上的零點的個數(shù).

分析：本題很難直接求出函數(shù)的零點，需要運用圖象法來解題.首先令f（x）=0，構造兩個新的函數(shù)y=2x和y= ，，將函數(shù)零點的個數(shù)問題轉化為函數(shù) 的交點的個數(shù)問題，作出兩個函數(shù)的圖象，分析其交點情況，便可得出函數(shù)f（x）零點的個數(shù).

值得注意的是，函數(shù)零點的存在性定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點，而不能判斷函數(shù)的不變號零點.

通過上述分析，我們可以發(fā)現(xiàn)：定義法較為直接，比較容易操作;運用圖象法解題需要進行適當?shù)霓D化;利用零點存在性定理解題較為復雜，有時需要用到導數(shù)知識.因此在求函數(shù)零點的個數(shù)時，我們首先要考慮定義法和圖象法，然后再考慮利用零點存在性定理來解題.

（作者單位： 福建省三明第一中學）