彭斌輝

圓錐曲線定點問題常涉及直線、圓錐曲線、動點、動直線等，題型多變，運算量大.此類型問題主要考查同學(xué)們的分析和邏輯思維能力.本文將以2020年全國新課標I卷第20題為例，探討一下解答圓錐曲線定點問題的兩個技巧.

本題主要考查了橢圓的方程以及定點問題.我們首先要根據(jù)題意繪制相應(yīng)的圖形，如圖所示，然后結(jié)合圖形來分析問題.第一個問題較為簡單，同學(xué)們根據(jù)題意，設(shè)出G點的坐標，由 =8即可求出a的值，進而得出E的方程： .這里主要討論一下第二個問題.第二個問題是一個定點問題，主要有兩種解答方法.

一、直接法

直接法主要是指依據(jù)題干信息，選擇一個與定點相關(guān)的變量，如點的坐標、斜率、截距等，列出定點所滿足的關(guān)系式，然后利用其他輔助條件消去變量，得到定點的坐標.

本題可以通過設(shè)點P的坐標 ，結(jié)合已知條件 與橢圓方程的關(guān)系，直接聯(lián)立方程組， 坐標，進而得到直線 的方程，通過化簡證明直線CD恒過定點.

二、利用韋達定理

利用韋達定理解答定點問題的基本思路是選擇一個參數(shù)，設(shè)出直線或者圓錐曲線的方程，然后構(gòu)建方程組，通過消元，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達定理求出 與直線k，m的關(guān)系式，再根據(jù)其他條件將關(guān)系式進行化簡，得到直線的方程或與定點相關(guān)的關(guān)系式，進而確定定點的坐標.

在本題中，我們可以直接設(shè)出 ，直線 的方程，將其與橢圓方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，求得 ，再結(jié)合 的方程，消去 得到關(guān)于k，m的表達式，通過化簡最終證明直線過定點.

運用這兩種方法解答圓錐曲線定點問題的思路是設(shè)出參數(shù)或者變量，通過化簡證明直線恒過定點.解答圓錐曲線定點問題的計算量非常大，要求同學(xué)們具備較強的運算能力和分析推理能力.因此，同學(xué)們不僅要熟練掌握這兩個解題技巧，還要強化運算訓(xùn)練.

（作者單位：江西省贛州市會昌縣第三中學(xué)）