摘 要：本文通過對一道分段函數(shù)題目的改編，試圖將函數(shù)的零點、對稱性、單調(diào)性、極值等性質(zhì)貫穿起來，從而引導學生在解決函數(shù)問題時關注其圖象與性質(zhì)，學會以點帶面，將知識學通.

關鍵詞：函數(shù);性質(zhì);圖象

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2020）10-0032-03

收稿日期：2020-01-05

作者簡介：程春暖（1988.2-），女，安徽人，博士，中學一級教師，從事中學數(shù)學教學研究.

函數(shù)是高中數(shù)學課程內(nèi)容的主線，是學生進入高中之后接觸到的第一個難點，也是讓許多學生望而生畏的數(shù)學概念.從初中的注重直觀到高中的逐步抽象，學生對函數(shù)的認識在理論上應當上升了一個層次.但實際上，許多學生還是：

看到函數(shù)，慌了;

沒有頭緒，亂了;

陷于計算，涼了;

再有參數(shù)，完了.

本文以一道分段函數(shù)的單調(diào)性問題為背景，通過對題目的改編，以求讓學生體會解決函數(shù)問題關注其圖象與性質(zhì)才是關鍵.

原題 （2006年北京理）已知fx=3a-1x+4a，x<1

logax，x≥1， 是（-∞，+∞）上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是（ ?）.

A.（0，1） B.（0，13） C.17，13 D.17，1

分析 本題考查了一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及分段函數(shù)的單調(diào)性.要使函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則需要滿足：① f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減;② f（x） 在（1，+∞）上單調(diào)遞減;③當自變量x從-∞趨近于1時，f（x）的極限不小于f（1）.從而有 3a-1<0，

0 3a-1+4a≥loga1， 解得17≤a<13，故選C.

改編角度1 單調(diào)性的定義

本練習在原題的基礎上考查了函數(shù)單調(diào)性的定義.作為第一種變形，知識跨度較小，易于理解，學生接受度也較高.

改編角度2 單調(diào)性與零點的關系

零點是函數(shù)的重要性質(zhì)，零點個數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間有密切關系，因此將問題定位在零點個數(shù)考查單調(diào)性也是一種常見的方式.

練習2.1 已知fx=3a-1x+4a，x<1，logax，x≥1，若對于任意m∈R，fx=m 至多有1個根，求a的取值范圍.

分析 因為“任意m∈R，fx=m 至多有1個根”，所以fx 在R上必是單調(diào)函數(shù).若 fx 在R上單調(diào)遞減，則同原題，得a∈17，13;若fx 在R上單調(diào)遞增，由分段函數(shù)的單調(diào)性可知 3a-1>0，a>1，3a-1+4a≤loga1， 此方程組無解.綜上，a∈17，13.

數(shù)學解題本質(zhì)上就是一個不斷轉(zhuǎn)化的過程，將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題.這種思想可以幫助我們解題，也可以幫助我們改編題目.沿著此思路，就函數(shù)的零點，筆者又進行了如下的變形設計：

練習2.2 已知fx=3a-1x+4a，x<1，

logax，x≥1，若對于任意m∈R，fx=m 有且只有1個根，求a的取值范圍.

分析 本題條件由練習2.1中的“至多1個根”改為“有且只有1個根”，對函數(shù)的要求由“單調(diào)”增強為“單調(diào)且連續(xù)”.結(jié)合練習2.1的分析可知：3a-1+4a=loga1， a=17 . 經(jīng)檢驗，a=17 時，fx單調(diào)遞減且連續(xù)，所以a=17.

函數(shù)單調(diào)的情況研究清楚了，不單調(diào)的情況自然也就了然于心了.考慮此，筆者設計了如下的變式練習：

分析 “存在m∈R， 使得fx=m 有2個不同的根”意味著fx在R上不單調(diào).因此由練習2.1 及對數(shù)函數(shù)對a的要求（a>0 且 a≠1）可得 a∈0，17∪13，1∪1，+∞.

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原題是函數(shù)中有字母考查單調(diào)性，反過來，在已知單調(diào)性的基礎上考查其應用尤其是與不等式相關的問題亦是一個常見的角度，故此在原題中取a=14 設置了如上的變形.

分析 函數(shù)解析式是自變量與因變量之間的對應關系，通過對解析式的分析可以得到該函數(shù)的相關性質(zhì).同時我們也應注意到，圖象也是函數(shù)的重要表達形式，且從圖象觀察性質(zhì)更形象直觀.對于不需要嚴謹推理證明過程的小題，借助圖象可以更快捷方便.本題fx的圖象如圖所示，由圖象可知fx在R上單調(diào)遞減.故若想求解fa2-a>-12 只需求得函數(shù)值為-12 的自變量即可.又由圖象可知函數(shù)值為-12的自變量必大于1，因此由-log4x=-12 求得x=2，從而 a2-a<2，解得-1 ? ? 改編角度4 單調(diào)性與對稱性

分析 因為存在 x>1，使得 fx=f（2-x），即 fx 的圖象上存在關于 x=1對稱的兩點，所以fx在R上不單調(diào).由練習2.3可得 a∈0，17∪13，1∪1，+∞. 接下來為了更好地觀察對稱性，我們借助函數(shù)的圖象：

由本題可以進一步體會圖象的重要性.若單純地借助解析式進行代數(shù)推導將陷入復雜沒有頭緒的計算之中.

改編角度5 單調(diào)性與極值、最值

分析 由于該分段函數(shù)在-∞，1及1，+∞內(nèi)分別都是單調(diào)函數(shù)，故fx若存在極值點，極值點必在分段點x=1處產(chǎn)生，從而fx在R上一定是不單調(diào)的.結(jié)合練習4的圖象及極值（點）的定義，可得a∈0，17 時，x=1為極大值點;a∈1，+∞ 時，x=1為極小值點;其余情況下fx都不存在極值點.故a∈0，17∪1，+∞.

感悟 1.解析式與與圖象是函數(shù)的兩種非常重要的表示方法，通過解析式研究性質(zhì)可以鍛煉學生的邏輯思維、數(shù)學抽象，要求學生對概念有深刻的認識，對函數(shù)有本質(zhì)的理解，而通過圖象獲取函數(shù)的性質(zhì)在解決小題時的優(yōu)點更為顯著.圖象提供了更多的形象思維，更直觀、易于理解，且性質(zhì)一目了然.筆者在教學過程中針對此類題目總結(jié)了如下的口訣，深受學生喜歡.

遇見函數(shù)心莫慌，借助圖象來幫忙.

慧眼識珠多發(fā)現(xiàn)，性質(zhì)利用是關鍵.

含有參數(shù)困難增，留心觀察變不變.

困難就像霧霾天，大風起兮藍天見！

2.作為教師，要勤于思考，善于改編，用盡量少的題面幫助學生梳理盡量多的知識.教師的首要職責之一是不能給學生下列印象：數(shù)學題相互之間幾乎沒有什么聯(lián)系，與其他事物也根本毫無聯(lián)系.因此在同樣的問題背景下改編設問，知識之間的聯(lián)系更容易產(chǎn)生，知識網(wǎng)絡更容易形成，更有利于學生的整體認知及思維形成.

參考文獻：

[1]G.波利亞.怎樣解題＼[M＼].上海：上海科技教育出版社，2002.

[責任編輯：李 璟]