摘 要:高中數(shù)學(xué)中,折疊時(shí)動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題在求解上有較大難度.應(yīng)充分選用必要的幾何知識(shí),尤其要緊扣空間幾何中旋轉(zhuǎn)時(shí)不變的位置關(guān)系,包括線段,角的定值及平面圖形的旋轉(zhuǎn)等作為依據(jù)去求解,同時(shí)也可選用解析法在坐標(biāo)系下,運(yùn)用求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程得出軌跡去判斷位置關(guān)系,也是處理該類問(wèn)題的有效途徑之一.
關(guān)鍵詞:折疊;軌跡;兩種解法
中圖分類號(hào):G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A ? ? ?文章編號(hào):1008-0333(2020)10-0031-02
收稿日期:2020-01-05
作者簡(jiǎn)介:史云峰(1967.8-),男,甘肅省天水人,本科,中學(xué)一級(jí)教師,從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.
案例1 如圖1,在矩形ABCD中,AB=2BC=4,E為邊AB的中點(diǎn),現(xiàn)將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△PDE.若M為線段PC的中點(diǎn),則在△ADE翻轉(zhuǎn)過(guò)程中:M點(diǎn)的軌跡是什么?
分析 在將三角形PDE折起的過(guò)程中,它的兩邊PE,DE的大小不變?yōu)槎ㄖ担C中點(diǎn)為G,MG與PE平行,BG與DE平行,應(yīng)用等角定理及不變的平行線段長(zhǎng)度,可得∠BGM=3π4為定值,在此折疊中相當(dāng)于將△PDE沿著B(niǎo)G所在的直線為軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)M畫(huà)出的軌跡問(wèn)題,故應(yīng)為圓弧,其半徑是M到BG的距離,并且軌跡在直線BG的過(guò)M點(diǎn)的一個(gè)垂面內(nèi)的半圓.
解法一 (立體幾何法)連接CE,取CE中點(diǎn)為G,連接MG,BG,則MG∥PE,BG∥DE,∴平面MBG∥平面DEP,∴MB∥平面DPE.
可得∠MGB=π-∠DEP=3π4,
MG=12PE=1,BG=12DE=2.
由余弦定理可得MB2=MG2+GB2-2MG ·BG·cos∠MGB,所以|MB|=5是定值.
又點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)時(shí),等于把△BMG繞BG邊為軸旋轉(zhuǎn)半周,則M點(diǎn)畫(huà)出的軌跡為半圓,BM為圓錐的母線,圓錐底面半徑R=22MG=22為定值,CP中點(diǎn)M在半圓上運(yùn)動(dòng).∴M是在以B為頂點(diǎn)、以BM為母線的圓錐底面圓周上運(yùn)動(dòng).
說(shuō)明:(1)翻折中動(dòng)點(diǎn)A在一個(gè)面上移動(dòng),M點(diǎn)也在一個(gè)面上移動(dòng).
(2)如果沒(méi)有旋轉(zhuǎn)意識(shí),則不易看出定值及完成計(jì)算.
分析 可將此立體幾何問(wèn)題選用解析法來(lái)處理,以折痕DE所在線為x軸,DE的中垂面為y軸z軸建系,在此折疊過(guò)程中,P點(diǎn)始終在x軸的垂面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),并畫(huà)出了半圓,那么PC的中點(diǎn)M也是在x軸的垂面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),畫(huà)出了半圓弧,從而可設(shè)M(x,y,z),求出其參數(shù)方程,得出M的軌跡.
解法二 (解析法)以DE所在直線為x軸,中垂線為y軸z軸建系,則A(0,2,0),B(-22,-2,0),C(-2,-22,0).
設(shè)∠AOP=θ,θ∈(0,π),P(0,2cosθ,2sinθ),取PC中點(diǎn)為M,坐標(biāo)M(-22,2cosθ-222,2sinθ2)即x=-22,y=2cosθ-222,z=2sinθ2.在x軸的一個(gè)垂面內(nèi),有 2y+222+2z2=2,即y+22+z2=12, 故M的軌跡是以F為圓心,R為半徑的半圓,其中:F(-22,-2,0),R=22.由于BF⊥面yOz,故BM為一圓錐的母線,其長(zhǎng)BM=BF2+222=5(定值).
案例2 如圖在平行四邊形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=π2,以AC為折痕將△ACM折起到△ACD位置,AB的中點(diǎn)為F,BD的中點(diǎn)為N,則F到點(diǎn)N的軌跡所在平面的距離是多少?(2019全國(guó)1卷18)
分析 在△BCD中,取BC中點(diǎn)為E,NE為CD的一半是定值,故點(diǎn)N的軌跡是以E為圓心,R=32的半圓.
以MC所在直線為x軸,C為原點(diǎn),垂線為y軸,z軸建系,設(shè)∠x(chóng)CD=θ,D(3cosθ,0,3sinθ),B(3,-3,0),N(3cosθ+32,-32,3sinθ2).在y軸的一個(gè)垂面內(nèi),有x=3cosθ2,y=-32,z=3sinθ2,(2x-3)2+(2z)2=9,即x-322+z2=322.故軌跡是以E32,-32,0為圓心的半圓.
EF垂直該圓面,故F到軌跡所在平面的距離是32.
總之幾何問(wèn)題代數(shù)化,折疊問(wèn)題解析化,能有效建立章節(jié)間的橫向聯(lián)系,使知識(shí)有效整合,增強(qiáng)了對(duì)數(shù)學(xué)整體認(rèn)識(shí),使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有較好的應(yīng)用,對(duì)問(wèn)題有較強(qiáng)的分析能力,從而提高了數(shù)學(xué)空間想象能力和運(yùn)算能力,加強(qiáng)了對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).
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