葉小娟

教材：北師大版七年級(jí)下冊(cè)與八年級(jí)上冊(cè)

上課時(shí)間：2019年5月15日

上課班級(jí)：金蘋果錦城第一中學(xué)七（13）班

課型：新授課

1 教學(xué)目標(biāo)

（1）根據(jù)角平分線與對(duì)稱軸的關(guān)系，探索如何利用尺規(guī)畫角平分線。

（2）經(jīng)歷探索角的性質(zhì)及判定的過程，進(jìn)一步理解軸對(duì)稱的性質(zhì)，發(fā)展空間觀念。

（3）應(yīng)用角平分線的性質(zhì)定理與判定定理解決問題，培養(yǎng)獨(dú)立思考的能力，并能在解決問題過程中能規(guī)范表達(dá)。

教學(xué)重點(diǎn)：角平分線的尺規(guī)作法，角平分線的性質(zhì)及判定

教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用角平分線的性質(zhì)與判定解決問題

創(chuàng)新點(diǎn)：教學(xué)中不拘泥于教材，改變教材的安排，有利于學(xué)生進(jìn)行探究

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

教師是學(xué)習(xí)活動(dòng)的引導(dǎo)者和組織者，學(xué)生是課堂的主人。教學(xué)中充分運(yùn)用現(xiàn)代化信息技術(shù)，尊重學(xué)生的個(gè)體差異，鼓勵(lì)學(xué)生自主探索與合作交流，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成與應(yīng)用過程，鼓勵(lì)學(xué)生的直覺并且運(yùn)用基本方法進(jìn)行相關(guān)的驗(yàn)證，指導(dǎo)學(xué)生注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，不斷提高解決問題的能力。

3 教具的選擇和使用目的

多媒體課件及實(shí)物展示，通過動(dòng)畫演示化解知識(shí)難點(diǎn)，運(yùn)用實(shí)物展臺(tái)，實(shí)現(xiàn)現(xiàn)代教育技術(shù)既作為教的工具，也作為學(xué)的工具。

4 教學(xué)過程

老師：我們剛剛學(xué)了垂直平分線的性質(zhì)與判定，利用垂直平分線的性質(zhì)探索出了一種新的證明線段相等的方法。這節(jié)課我們將繼續(xù)來研究角平分線的性質(zhì)及判定。它將會(huì)給大家?guī)碜C明角等或線段等的另一種新思路。

首先我們來認(rèn)識(shí)角：第1個(gè)問題，角是軸對(duì)稱圖形，那么它的對(duì)稱軸在哪里？

生1：角平分線所在的直線

老師：非常好，表述的非常清晰！第2個(gè)問題，那么我們有哪些方法可以得到角平分線呢？

生2：讓兩個(gè)角相等

老師：怎樣讓兩個(gè)角相等呢？

生2：利用量角器去量

老師：還有沒有其他方法？

生3：可以將角的兩條邊重合，并對(duì)折。

老師：很好，你們手上都有一個(gè)畫好的角，請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手試試，怎樣折出角的平分線。

（老師在教室巡視，掌握學(xué)生及時(shí)情況）

老師：對(duì)折的本質(zhì)是什么？

學(xué)生4：軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)

老師：在生活當(dāng)中，工人師傅常常需要用到角平分線。他們會(huì)制作一個(gè)簡(jiǎn)易的角平分儀。（展示簡(jiǎn)易的角平分儀）我們來觀察這兩個(gè)模型：藍(lán)色這兩條線段是相等的，綠色的兩條線段也是相等的。那么我們?cè)趺从盟鼇懋嫿瞧椒志€呢？請(qǐng)大家看我操作。比如說我要作∠AOB的角平分線。首先使這個(gè)藍(lán)色的角的頂點(diǎn)與∠AOB的頂點(diǎn)重合。然后調(diào)整這兩條藍(lán)色的邊，使這兩條藍(lán)色的邊和∠AOB的兩條邊分別重合。接著連接這兩個(gè)點(diǎn)，所成的射線就是∠AOB的平分線。（展示PPT圖片）請(qǐng)同學(xué)們思考，這樣做的原理是什么呢？好，請(qǐng)這位同學(xué)起來說一下。

生5：ON=OM，CN=CM，OC是公共邊。所以這兩個(gè)三角形是全等的。

老師：利用邊邊邊構(gòu)造全等三角形，再由全等三角形的性質(zhì)可以得到哪兩個(gè)角的呢？

生6：∠NOC和∠MOC

老師：同學(xué)們，能否通過這個(gè)模型的啟發(fā)，思考出怎樣用尺規(guī)來作∠AOB平分線？

（老師巡視，對(duì)有困難的同學(xué)進(jìn)行指導(dǎo)）

老師：現(xiàn)在請(qǐng)會(huì)畫的同學(xué)來跟大家分享怎么用尺規(guī)作角平分線？

生7：以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧。接著分別以M、N為圓心，任意長(zhǎng)為半徑，畫弧，兩弧會(huì)交于一點(diǎn)C，連接OC。

老師：好，OC即為∠AOB的平分線，我們?cè)侔炎龇ㄕ故窘o大家看一下，那就有一個(gè)問題，為什么以M和N為圓心的時(shí)候，取半徑要取大于1/2的MN呢？

生8：如果取比MV的一半小的話，那么這兩段弧是沒有交點(diǎn)的。

老師：非常好！我們?cè)谇懊鎸W(xué)習(xí)角平分線就知道角平分線平分角的性質(zhì)，那么角平分線上點(diǎn)會(huì)有怎樣的性質(zhì)呢？（展示PPT）已知OC是∠AOB的角平分線，在OC上取一點(diǎn)P分別向OA和OB邊作垂線段，那么這兩條垂線段有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

生9：相等

老師：怎么證明這個(gè)結(jié)論呢？

生10：因?yàn)椤?=∠2，∠PDO=∠PEO，且OP等于OP公共邊，所以利用AAS證明三角形全等。由全等三角形的性質(zhì)就可以推出PD=PE。

老師：通過證明，我們就得到了角平分線的性質(zhì)定理。請(qǐng)同學(xué)們把這個(gè)定理在學(xué)案上勾畫起來，并且分析一下，在這個(gè)定理里面哪些是已知的條件。

（老師板書，學(xué)生勾劃）

老師：我請(qǐng)一個(gè)同學(xué)起來分析已知條件有哪些？

生11：第1個(gè)條件角平分線;第2個(gè)條件是角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離。

老師：就是過這個(gè)點(diǎn)作角兩邊的垂線段。結(jié)論是什么？

生11：這兩條垂線段相等

老師：很好！接著我們結(jié)合幾何圖形來寫出它的符號(hào)語言。

生12：∵? OP是∠AOB的平分線

∴ PD=PE

老師：那如果我把點(diǎn)D換一個(gè)位置，那么PD=PE嗎？

生12：哦，還要加上PD ⊥OA，PE ⊥OB。

老師：所以必須要強(qiáng)調(diào)，這兩條線段是垂線段，才會(huì)相等。（老師板書完成）這個(gè)定理里面的已知條件有幾個(gè)？

生13：2個(gè)

老師：你們理解到平分線的性質(zhì)來嗎？（展示3個(gè)練習(xí)）

老師：第1小題如圖，∵如圖，PE⊥OA，PF⊥OB（已知），∴PF=PE.

生14：錯(cuò)，因?yàn)闆]有強(qiáng)調(diào)OP是∠AOB的平分線

老師：第2題∵ 如圖，OP平分∠AOB（已知）∴ PF = PE .

生15：錯(cuò)，因?yàn)閺?qiáng)調(diào)它們是垂線段，所以不能得到它們相等。

老師：第3題?！逴P平分∠AOB，PE⊥OA，PE=3cm（已知）∴點(diǎn)P到OB的距離等于3cm

生16：錯(cuò)

老師：為什么錯(cuò)？錯(cuò)在哪里？

生16：哦，對(duì)的。

老師：圖中有沒有點(diǎn)P到AB的距離？

生16：沒有

老師：沒有，又想用角平分線的性質(zhì)怎么辦？

生17：添加角平分線

老師：非常好！接下來我們來看怎么應(yīng)用角平分線的性質(zhì)。

（學(xué)生思考，老師示范板書）

老師：好，先回答，DE與DC的關(guān)系

生18：相等，

老師：好，理由。

學(xué)生18：因?yàn)锽D平分角ABC，且DE垂直BA，DC垂直于BC，所以CD就等于CE。

老師：如果我把這道題改一下，把DE去掉。請(qǐng)思考這個(gè)題又該怎樣做？（老師板書）

生18：因?yàn)锳C=8，AD=5。所以DC=3.過D點(diǎn)作AB邊的高DE

老師：為什么想到這樣添加輔助線？

生18：因?yàn)橐阎瞧椒?，要用角平分線的性質(zhì)，就應(yīng)該添加這條垂線段。

生19：因?yàn)榍笕切蔚拿娣e，也需要作AB邊的高。

老師：由角平分線性質(zhì)可以得到DE=DC，因?yàn)镈C=3，所以DE=3，AB=10，所以面積是？

生19：15

老師：做對(duì)的舉手。

（及時(shí)了解學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況）

老師：通過這個(gè)題，我們發(fā)現(xiàn)遇到角平分線，要用角平分線的性質(zhì)，就應(yīng)該想到構(gòu)造垂線段。那么接下來請(qǐng)同學(xué)們把變式2完成。

（學(xué)生獨(dú)立完成，老師巡視，個(gè)別輔導(dǎo)，并用平板展示學(xué)生完成的情況）

老師：好了，請(qǐng)同學(xué)們停下來，我們來看一下這位同學(xué)完成的情況。我們看第1排，他想到了作垂線段，書寫可以改進(jìn)一下：過點(diǎn)P作PT垂直于BC于點(diǎn)T。因?yàn)镃P平分∠DCB，然后是PT垂直AC，PD垂直于CD。角平分線的性質(zhì)能得到兩組線段相等嗎？

學(xué)生20：能

老師：那你說一下怎么得到？

學(xué)生20：好像不對(duì)！TC和CD不是角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離

老師：觀察得非常仔細(xì)！

老師：那么它們相等嗎？

學(xué)生：相等

老師：不能用角平分線的性質(zhì)，那用什么來證明呢？

學(xué)生：全等

老師：繼續(xù)，那后面這兩條線段相等。這已經(jīng)告訴了垂線段PA垂直于BA，PT垂直于BC。所以PT=PA。然后等量代換，所以PA=PD，而AD=8，所以PA=PD=4。接著PT，是等于它們的，所以也等于4。這個(gè)書寫的過程大家下去再去整理一下。通過這兩個(gè)練習(xí)，我們又獲得添加輔助線的新方法是？

學(xué)生：遇到角平分線，添加垂線段

老師：很棒！請(qǐng)記錄在你們的學(xué)習(xí)單上。反過來，如果在一個(gè)角的內(nèi)部取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P向OA、OB邊作垂線段，并且這兩條垂線段相等，那么，這樣的點(diǎn)p有多少個(gè)？它們有怎樣的一個(gè)共同點(diǎn)呢？

學(xué)生：有無數(shù)個(gè)，在角平分線上

老師：我們用一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來探索。

（利用幾何畫板展示動(dòng)畫效果）

學(xué)生：只要始終保證這兩條垂線段PE和PD相等，這樣的點(diǎn)P有無數(shù)個(gè)，而且他們都在這個(gè)∠AOB的平分線上。

老師：能否用更簡(jiǎn)潔的語言來描述這一現(xiàn)象

學(xué)生：到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上

老師：怎么來證明這個(gè)結(jié)論呢？

學(xué)生：利用HL可以證得這兩個(gè)直角三角形全等的，所以由全等三角形的性質(zhì)可得∠1=∠2，所以O(shè)P就是∠AOB的平分線。

老師：通過大家的努力，我們得到了角平分線的判定，請(qǐng)大家在學(xué)案上勾畫，并分析有哪些已知條件。

學(xué)生：這里面一個(gè)是距離，一個(gè)是距離相等

老師：那么這兩個(gè)條件能推出什么結(jié)論呢？

學(xué)生：能推出它是角平分線

老師：那我們用符號(hào)語言怎么來表述這個(gè)結(jié)論呢？

學(xué)生：∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB 且PD=PE

∴OP是∠AOB的平分線

老師：判定的本質(zhì)是證明角等，性質(zhì)的本質(zhì)是證明線段等。但它們的已知條件中有一個(gè)共同條件？

學(xué)生：垂線段。

老師：我們來看到這個(gè)手拉手模型（展示PPT）：可以得到一個(gè)基本的結(jié)論？

學(xué)生;三角形ABC全等于三角形DBE。

老師：如果我們把OB連接，那請(qǐng)問OB平分角AOE嗎？

學(xué)生：平分

老師：那我們?cè)趺慈プC明它呢？

學(xué)生：過點(diǎn)B作AC邊的垂線段BG。然后再過點(diǎn)B作DE邊的垂線段BP。而因?yàn)槿切蜛BC全等于三角形DBE。所以由全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等。然后呢，他們又是垂線段。然后因?yàn)镺B=OB所以用HL可以證三角形全等。

老師：很好，用全等的性質(zhì)證明到角等。誰能把這個(gè)方法再優(yōu)化一下？

學(xué)生：BG垂直于OA，BP垂直于OB。且BG=BP。所以說OB平分角AOE。

老師：非常好！這個(gè)其實(shí)就是可以直接利用角平分線的判定，由垂線段相等就可以推出角等的。這樣做就繞開了全等的思路，顯得更簡(jiǎn)潔！這個(gè)題有告訴我們添加輔助線的方法？

生：遇到角平分線的問題，添加垂線段。

老師：請(qǐng)同學(xué)們做好筆記。我們?cè)谇懊鎸W(xué)習(xí)三角形的時(shí)候就知道三角形的角平分線會(huì)交于一點(diǎn)。為什么呢？現(xiàn)在我們就可以利用這節(jié)課所學(xué)的知識(shí)來解答它。

（分組討論，老師巡視，個(gè)別指導(dǎo)）

老師：我請(qǐng)一個(gè)同學(xué)來說說怎么解決這個(gè)問題。好，你來。

學(xué)生：證明點(diǎn)F在角A的平分線上，由兩點(diǎn)確定一條直線，我們應(yīng)該想到連接AF，本質(zhì)就是證明AF平分角BAC。這樣就容易聯(lián)想到我們這節(jié)課學(xué)習(xí)的角平分線判定。轉(zhuǎn)化為證明垂線段相等。然后繼續(xù)添加輔助線過點(diǎn)F作FG垂直AB。FH垂直于BC，F(xiàn)P垂直于AC。

（學(xué)生說，老師板書）

學(xué)生：因?yàn)锽D平分角ABC，然后FG垂直于BA，F(xiàn)H垂直于BC，所以FG=FP，

老師：這個(gè)用到的是什么結(jié)論？

學(xué)生：角平分線的性質(zhì)，

老師：繼續(xù)，

學(xué)生：又因?yàn)镃E平分角ACB，F(xiàn)G垂直于BC，F(xiàn)P垂直于AC，F(xiàn)P=FG。所以FH=FG然后又因?yàn)镕H垂直AB，F(xiàn)P垂直于AC。所以可以推出AF平分角BAC。

老師：很棒！現(xiàn)在，我們更有底氣地說三角形的三條角平分線是交于一點(diǎn)！而這一點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，而這個(gè)內(nèi)心到三角形三條邊的距離是相等的。

師生合作：

收獲：這一節(jié)課我們學(xué)到的內(nèi)容有哪些？這些內(nèi)容都用到了以前的什么知識(shí)推導(dǎo)？角平分線的性質(zhì)及判定的本質(zhì)是什么？添加輔助線的方法是什么？

體會(huì)：數(shù)學(xué)來源于生活，集體的力量是無窮的……

老師：今天的作業(yè)，第1個(gè)是完善你們的學(xué)案，然后留下了這個(gè)思考題下去獨(dú)立思考，第2個(gè)是完成優(yōu)化的106和108頁。

今天的課就到這里，下課。

（作者單位：四川省成都市金蘋果錦城第一中學(xué)）