成海濤

一、射影幾何產(chǎn)生的歷史背景

1566年，科曼迪諾（F，Commandino，1509年-1575年）把阿波羅尼奧斯fApollonius）的《圓錐曲線論》的前四卷譯成拉丁文，引起了數(shù)學(xué)家們對(duì)幾何的關(guān)注，在短短幾十年的時(shí)間里，人們便突破了傳統(tǒng)幾何的局限，創(chuàng)立了一門嶄新的學(xué)科——射影幾何。

射影幾何起源于透視法，而當(dāng)時(shí)透視法主要應(yīng)用于繪畫，為了能在畫布上畫出大自然的真實(shí)樣子，人們就需要解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：如何把三維的現(xiàn)實(shí)世界反映到二維的畫布上，意大利的建筑師、數(shù)學(xué)家阿爾貝蒂（L，B，Alberti，1404年-1472年）認(rèn)真考慮了這一問(wèn)題，他在1435年寫成的《論繪畫》（1511年出版）一書中作了具體的闡述：在眼睛和景物之間插進(jìn)一張直立的玻璃板，設(shè)光線從眼睛出發(fā)射到景物的每一個(gè)點(diǎn)上，這些線叫投影線，設(shè)想每根線與玻璃板交于一點(diǎn)，這些點(diǎn)的集合叫做截景，顯然，截景給眼睛的印象和景物本身一樣，所以要畫出一個(gè)逼真的畫作，就要在玻璃板（實(shí)際是畫布）上獲得一個(gè)真正的截景。

例如，人眼在O處觀察水平面上的矩形ABCD（圖1）時(shí)，從O到矩形各點(diǎn)的連線形成一個(gè)投影棱錐，其中OA、OB、OC、OD是四根典型的投影線，若在人眼和矩形間插入一個(gè)平面，并連結(jié)四條線與平面的交點(diǎn)A’、B’、C’、D’，則四邊形A’B’C’D’為矩形ABCD的截景，由于截景對(duì)人眼產(chǎn)生的視覺(jué)印象和原矩形一樣，它們必然有相同之處，但從直觀上看，截景和原形既不全等又不相似，也不會(huì)有相同的面積，截景甚至并非是矩形，那么，截景與原形究竟有什么共性呢？這正是阿爾貝蒂苦苦思索，卻未找到答案的問(wèn)題。

阿爾貝蒂還考慮到：如果在眼睛和景物之間插進(jìn)兩張玻璃板，它們上面的截景將是不同的;如果從兩個(gè)不同位置來(lái)觀察景物，截景也將是不同的，但所有截景都反映同一景物，它們之間必然存在某種關(guān)系，于是他進(jìn)一步提出問(wèn)題：同一景物的任意兩個(gè)截景間有什么數(shù)學(xué)關(guān)系？或者說(shuō)有什么共同的特點(diǎn)？他留給后人的這些問(wèn)題成為射影幾何研究的出發(fā)點(diǎn)。

二、射影幾何的發(fā)展

1.德扎格創(chuàng)立了射影幾何

射影幾何的創(chuàng)始人是法國(guó)的建筑師德扎格（G，De-sargues，1591年-1661年），1639年，他發(fā)表了一本重要著作《試論圓錐與平面相交結(jié)果》，這部書推動(dòng)了19世紀(jì)射影幾何的蓬勃發(fā)展，被公認(rèn)為是這一學(xué)科的經(jīng)典著作，這本書在發(fā)表之初，沒(méi)有受到數(shù)學(xué)家們的重視，德扎格把書印了50份，分送給他的朋友，但不久這些書便全部散失了，直到1845年，沙勒（M，Chasles，1793年1880年）才偶然發(fā)現(xiàn)了一個(gè)手抄本，波德（N，G，Pou-dral將其復(fù)制，使德扎格有關(guān)射影幾何的成果重新出現(xiàn)在公眾的視野當(dāng)中，1950年，這部書的原版本終于在巴黎被發(fā)現(xiàn)，并得以復(fù)制發(fā)行。

為什么德扎格的書在當(dāng)時(shí)被忽略呢？主要有兩個(gè)原因，一是它被差不多同時(shí)出現(xiàn)的解析幾何掩蓋了它的光芒，笛卡兒的解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，可以迅速得到數(shù)量的結(jié)果，而射影幾何主要是研究幾何的定性，由于當(dāng)時(shí)的技術(shù)發(fā)展更需要解析幾何這樣的有力工具，所以解析幾何更受歡迎，第二個(gè)原因是，德扎格的寫作形式比較古怪，他引進(jìn)了70個(gè)新術(shù)語(yǔ)，其中很多是從植物學(xué)中借用的，例如，他用棕（Palm）、干、樹(shù)來(lái)表示三種不同性質(zhì)的直線，這類語(yǔ)句極不易理解，除了笛卡兒、帕斯卡、費(fèi)馬等幾位大數(shù)學(xué)家外，很少有人欣賞他的著作。

德扎格數(shù)學(xué)思想的出色之處，首先在于他引進(jìn)了無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)線，阿爾貝蒂曾指出，畫面上的平行線應(yīng)交于一點(diǎn)，除非它們平行于玻璃板（如圖1）例如，圖1中的B’C’和A’D’便相交于某點(diǎn)O’，這一點(diǎn)不和BC或AD上任何普通的點(diǎn)對(duì)應(yīng)，所以叫沒(méi)影點(diǎn)，而除O’外的直線B’C’或A’D’上的任何點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著B(niǎo)C或AD上某個(gè)確定的點(diǎn)，為了使B’c’與BC上的點(diǎn)以及A’D’與AD上的點(diǎn)有完全的對(duì)應(yīng)關(guān)系，德扎格在AD及BC上引入一個(gè)新的點(diǎn)，叫做無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，把它看作兩平行線的公共點(diǎn)，所有平行于BC的直線都交于這一點(diǎn)，方向不同于BC的另外一組平行線，則有另外一個(gè)公共的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，由于平行線組的數(shù)目是無(wú)窮的，德扎格實(shí)際是在平面上引入了無(wú)窮多的新點(diǎn)，他假定所有這些點(diǎn)都在同一直線上，而這條直線則對(duì)應(yīng)于截景上的水平線或沒(méi)影線（即圖1中的OO’），以這種新規(guī)定為前提，我們就可以斷言“平面上任意兩直線必交于一點(diǎn)”了，因?yàn)椴黄叫芯€交于普通點(diǎn)而平行線交于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。

在引入了無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)線后，德扎格研究了這樣的問(wèn)題：設(shè)有點(diǎn)O（圖2）及三角形ABC，則OB、OC、OA可看作三條投影線，ABC的一個(gè)截景為A'B'C’，其中A與A’對(duì)應(yīng)，B與B'對(duì)應(yīng)，C與C’對(duì)應(yīng)，顯然，AA’、BB’和CC'交于一點(diǎn)O，設(shè)AB與A’B’交于Q，AC與A'C'交于P，BC和B'C'交于R，德扎格證明了：Q、P、R必在一條直線上，這就是著名的德扎格定理：若兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線共點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)邊交點(diǎn)共線，不管兩個(gè)三角形是否在同一平面，定理都是成立的，其逆定理也同樣成立，德扎格在書中對(duì)二維和三維空間中的正、逆定理都作了證明。

在深入研究投影性質(zhì)的基礎(chǔ)上，德扎格終于回答了阿爾貝蒂之前就提出的問(wèn)題：同一實(shí)物的兩個(gè)截景間有什么數(shù)學(xué)關(guān)系？這實(shí)質(zhì)是—個(gè)投影下的不變性問(wèn)題。

德扎格把他的射影幾何思想用于圓錐曲線，并得到了許多新的結(jié)果：直線可以看作具有無(wú)限長(zhǎng)半徑的圓的一部分;焦點(diǎn)相合的橢圓可退化為圓;焦點(diǎn)之一在無(wú)窮遠(yuǎn)的橢圓是一拋物線;等等，他不再把圓錐曲線看作圓錐與平面的交線，而是將其理解為圓的截景，圓不僅可以變換為橢圓，而且可以變換為開(kāi)口的拋物線或雙曲線，該曲線仍看作封閉的，只不過(guò)是一個(gè)點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)而已德扎格力圖用投射、截景等射影幾何概念統(tǒng)一處理各種圓錐曲線，從而為圓錐曲線的研究開(kāi)辟了廣闊的前景，德扎格便將投影法推廣到一般圓錐曲線，因?yàn)閳A的截景可以是任意的圓錐曲線，而對(duì)合關(guān)系在投影后是不變的，從而揭示了圓錐曲線的一個(gè)重要性質(zhì)。

2.帕斯卡有關(guān)射影幾何的研究成果

帕斯卡（B，Pascal，1623年-1662年）是德扎格的學(xué)生，也是一位了不起的數(shù)學(xué)天才，他在微積分、概率、代數(shù)、射影幾何等方面都作出了引人注目的貢獻(xiàn)。

14歲時(shí)，帕斯卡參加了巴黎數(shù)學(xué)家的每周聚會(huì)，在德扎格的影響下，逐漸對(duì)德扎格的射影幾何思想產(chǎn)生了興趣，他嘗試用射影法研究二次曲線，并在1639年寫下了一本約八頁(yè)的小冊(cè)子《略論圓錐曲線》，笛卡兒看過(guò)以后，給予了高度的評(píng)價(jià)，遺憾的是這本書不久便失傳了，直到1779年才被重新發(fā)現(xiàn)。

帕斯卡的書中最著名的結(jié)果是下述定理：若一個(gè)六邊形內(nèi)接于一圓錐曲線，則每?jī)蓷l對(duì)邊相交而得的三點(diǎn)在同一直線上，如圖3.P、Q及R在同一直線上，若六邊形的對(duì)邊兩兩平行，則P、Q、R在無(wú)窮遠(yuǎn)線上，該定理被后人稱為帕斯卡定理，在射影幾何里是十分重要的。

帕斯卡首先證明了該定理對(duì)圓成立，然后用投影法研究一般的圓錐曲線，若從上圖平面外的一點(diǎn)作它的投射錐并取一截景，則截景必含一圓錐曲線及內(nèi)接六邊形，六邊形的對(duì)邊仍將交于一條直線上的三點(diǎn)，這條直線與PQR相對(duì)應(yīng)，該定理確定了圓錐曲線上六個(gè)點(diǎn)的射影相關(guān)性，如果已知六個(gè)點(diǎn)中的五個(gè)，就能確定一條圓錐曲線，這個(gè)定理是射影幾何中內(nèi)容最豐富的定理之一，由它出發(fā)可以導(dǎo)出大量推論，例如：（1）如果一個(gè)三角形內(nèi)接于一圓錐曲線，則其頂點(diǎn)上的切線與對(duì)邊交于三個(gè)共線點(diǎn)，（2）若五邊形ABCDE內(nèi)接于一圓錐曲線，則AB、DE;BC、EA;CD與A點(diǎn)上的切線交于三個(gè)共線點(diǎn)，（3）內(nèi)接于一圓錐曲線的四邊形的兩對(duì)對(duì)邊，連同對(duì)著的頂點(diǎn)的兩對(duì)切線，交于四個(gè)共線點(diǎn)，

帕斯卡定理的逆定理：若一個(gè)六邊形的三對(duì)對(duì)邊的三個(gè)交點(diǎn)共線，則六邊形頂點(diǎn)在一圓錐曲線上，也是成立的，但帕斯卡沒(méi)有考慮過(guò)。

三、射影幾何中的新思想

伴隨著射影幾何的誕生，一些新的數(shù)學(xué)思想出現(xiàn)了，開(kāi)普勒（J，Kepler）在1604年出版的《天文學(xué)的光學(xué)部分》中提出：將橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)固定而讓另一個(gè)焦點(diǎn)在它們的連線上移動(dòng)，若動(dòng)點(diǎn)移向無(wú)窮遠(yuǎn)，橢圓成為拋物線;若這個(gè)動(dòng)焦點(diǎn)又出現(xiàn)在定焦點(diǎn)的另一方，拋物線就變成雙曲線;當(dāng)兩焦點(diǎn)合而為一，橢圓變成圓，而雙曲線的兩焦點(diǎn)合在一起時(shí)，雙曲線便退化為兩直線，德扎格則采用更為有效的方法——投射取截法來(lái)實(shí)現(xiàn)二次曲線的連續(xù)變化，只要改變截景平面的位置，就可使圓的截景從圓連續(xù)變?yōu)闄E圓、拋物線以及雙曲線，因此，對(duì)于圓成立的許多性質(zhì)，都可通過(guò)取截景的方法來(lái)證明它們對(duì)其他二次曲線也成立，這就為后來(lái)數(shù)學(xué)家的研究提供了一種相當(dāng)一般的簡(jiǎn)便方法。

從射影幾何中產(chǎn)生的另一個(gè)新思想是變換和不變性，從某點(diǎn)向一圖形作投影線，然后取截景，這就是把原圖形變成了新的圖形，而原圖形中值得研究的性質(zhì)是變換后保持不變的一些性質(zhì)，這種變換思想不僅導(dǎo)致了另一門新學(xué)科——仿射幾何的誕生，而且當(dāng)人們用變換與不變性的觀點(diǎn)來(lái)重新研究歐氏幾何時(shí)，發(fā)現(xiàn)了三種幾何的本質(zhì)聯(lián)系及從屬關(guān)系，實(shí)際上，射影幾何包含了仿射幾何，而仿射幾何包含了歐氏幾何。

雖然射影幾何方面的工作最初是為了給畫家提供方便，但它的意義遠(yuǎn)不止于此，在當(dāng)時(shí)，它由于解析幾何的發(fā)展而略顯失色，甚至一度被人們遺忘，但到19世紀(jì)被人們重新發(fā)現(xiàn)時(shí)，德扎格和帕斯卡等人的杰出思想終于大放異彩，射影幾何作為一個(gè)著重研究圖形位置和相交方面性質(zhì)的學(xué)科，終于成熟了。