于宗英 劉江艷

利用一元二次方程或二次函數(shù)來(lái)解決生活中的利潤(rùn)問(wèn)題是中考極為常見(jiàn)的題型. 下面以一道中考題為例，對(duì)其進(jìn)行變式思考，向同學(xué)們介紹此類(lèi)問(wèn)題的常見(jiàn)解題思路.

原題在線(xiàn)

（2019·貴州·安順）安順市某商貿(mào)公司以每千克40元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種干果，計(jì)劃以每千克60元的價(jià)格銷(xiāo)售，為了讓顧客得到更大的實(shí)惠，現(xiàn)決定降價(jià)銷(xiāo)售，已知這種干果銷(xiāo)售量y（千克）與每千克降價(jià)x（元）（0 < x < 20）之間滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖1所示：

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

（2）商貿(mào)公司要想獲利2090元，則這種干果每千克應(yīng)降價(jià)多少元？

分析：（1）設(shè)一次函數(shù)解析式為y = kx + b，由圖象得出：當(dāng)x = 2時(shí)，y = 120;當(dāng)x = 4時(shí)，y = 140. 解方程組解可. （2）由題意得出方程（60 - 40 - x）（10x + 100） = 2090，解方程即可.

解：（1）設(shè)一次函數(shù)解析式為y = kx + b，

由圖象得：當(dāng)x = 2時(shí)，y = 120;當(dāng)x = 4時(shí)，y = 140.

∴2k + b = 120，

4k + b = 140， 解得k = 10，

b = 100，

∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y = 10x + 100.

（2）由題意得（60 - 40 - x）（10x + 100） = 2090，

整理得x2 - 10x + 9 = 0，

解得x1 = 1，x2 = 9，

∵讓顧客得到更大的實(shí)惠，

∴x = 9.

答：商貿(mào)公司要想獲利2090元，則這種干果每千克應(yīng)降價(jià)9元.

點(diǎn)評(píng)：本題中銷(xiāo)售量y（千克）與每千克降價(jià)x（元）成一次函數(shù)關(guān)系，在這種情況下，只要把每千克的利潤(rùn)用含x的代數(shù)式表示，銷(xiāo)售量也用含x的代數(shù)式表示，根據(jù)它們與總利潤(rùn)的關(guān)系即可完成解答. 這樣的設(shè)計(jì)分散了題目的難度，可以使更多的同學(xué)解答出來(lái). 本題常見(jiàn)的變式如下.

? 變式一：改變已知條件

例1 安順市某商貿(mào)公司以每千克40元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種干果，計(jì)劃以每千克60元的價(jià)格銷(xiāo)售，每天可以銷(xiāo)售100千克. 現(xiàn)決定降價(jià)銷(xiāo)售，已知這種干果每千克降價(jià)1元?jiǎng)t多銷(xiāo)售10千克. 商貿(mào)公司要想獲利2090元，則這種干果每千克應(yīng)降價(jià)多少元？

解析：解決本題的關(guān)鍵是利用公式：總利潤(rùn) = 每千克的利潤(rùn)×銷(xiāo)售量，

設(shè)每千克降價(jià)x元，可獲利2090元，

則每千克的利潤(rùn)為（60 - 40 - x）元，銷(xiāo)售量為（100 + 10x）千克.

列方程得（60 - 40 - x）（100 + 10x） = 2090，

整理得x2 - 10x + 9 = 0，

解得x1 = 1，x2 = 9.

答：這種干果每千克應(yīng)降價(jià)1元或9元.

? 變式二：改變所求結(jié)論

例2 安順市某商貿(mào)公司以每千克40元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種干果，計(jì)劃以每千克60元的價(jià)格銷(xiāo)售. 現(xiàn)決定降價(jià)銷(xiāo)售，已知這種干果銷(xiāo)售量y（千克）與每千克降價(jià)x（元）（0 < x < 20）之間滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖2所示：

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

（2）這種干果每千克降價(jià)多少元時(shí)，商貿(mào)公司所獲利潤(rùn)最大？

解析：（1）同上面例題解法;

（2）設(shè)每千克降價(jià)x元時(shí)，所獲利潤(rùn)最大，

可設(shè)最大利潤(rùn)為W，則有W = （60 - 40 - x）（10x + 100），

整理得W = -10x2 + 100x + 2000，

∵-10 < 0，∴當(dāng)x = 5時(shí)，W有最大值.

答：這種干果每千克降價(jià)5元時(shí)，商貿(mào)公司所獲利潤(rùn)最大.

總結(jié)：此類(lèi)問(wèn)題的變式還有很多，在此不再一一列舉，但不管問(wèn)題怎樣變化，只要抓住利潤(rùn)中的關(guān)系式，便可以使問(wèn)題得到解決.