雷添淇

初中數(shù)學(xué)教材大多通過實(shí)際例子引入，比較形象化，同學(xué)們易于理解和掌握. 但高中數(shù)學(xué)教材概念、定理抽象，知識(shí)難度加大，能力要求更高，因此許多同學(xué)升入高中后感到非常不適應(yīng). 為此，本刊特開設(shè)“初高銜接”欄目.本欄目通過復(fù)習(xí)高中階段必備的初中知識(shí)，并預(yù)學(xué)部分高中知識(shí)，讓同學(xué)們提前熟悉和掌握高中的學(xué)習(xí)方法，順利應(yīng)對(duì)高中課程.

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系在初中是選學(xué)內(nèi)容，中考不作考查.但掌握了這一知識(shí)點(diǎn)，再來解答初中一元二次方程部分試題，會(huì)使得解題更簡捷、更高效.而且，該部分內(nèi)容在解決高中數(shù)學(xué)的二次方程零點(diǎn)問題、函數(shù)問題、二次不等式問題，以及圓錐曲線問題等知識(shí)時(shí)至關(guān)重要. 下面就本部分內(nèi)容以及涉及的典型問題進(jìn)行解析.

一、知識(shí)要點(diǎn)

1. 若一元二次方程[ax2+bx+c=0（a≠0）]有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，分別為[x1]，[x2]，則[x1+x2=-ba]，[x1?x2=ca]. 上述結(jié)論即為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，又稱韋達(dá)定理.

2. 韋達(dá)定理的逆定理：若兩個(gè)實(shí)數(shù)[x1]，[x2]滿足[x1+x2=-ba]，[x1?x2=ca]，則[x1]，[x2]必為方程[ax2+bx+c=0（a≠0）]的兩根.

二、主要運(yùn)用

1. 已知方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及未知系數(shù);

2. 不解方程，求已知一元二次方程兩根的對(duì)稱式及可轉(zhuǎn)化或可構(gòu)造對(duì)稱式的值;

3. 已知方程的兩根，求作這個(gè)一元二次方程;

4. 已知兩數(shù)的和與積，求這兩個(gè)數(shù);

5. 根的分布問題.

三、例題解析

例1 已知[x1=-2]是關(guān)于[x]的一元二次方程：[m2x+x2+3mx+12x+5=0]的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則該方程的另一實(shí)數(shù)根[x2=] .

分析：根據(jù)題設(shè)，首先將已知方程整理成關(guān)于[x]的一元二次方程，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.

解：整理得[x2+m2+3m+12x+5=0]，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系有[x1x2=5]，所以[x2=-52].

點(diǎn)評(píng)：本題的一般方法是將[x1=-2]代入方程，整理得到關(guān)于[m]的方程，求出[m]的值，然后再求出[x2]，但這樣解題過程較為煩瑣，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系則可以簡捷、準(zhǔn)確地求出[x2].

例2 若[x1]，[x2]是方程[x2+2x-17=0]的兩個(gè)根，試求下列各式的值：

（1）（[x1-5]）（[x2-5]）; （2）[x1-x2]; （3）[1x21+1x22].

分析：本題若直接用求根公式求出方程的兩根，再代入求值，將會(huì)出現(xiàn)復(fù)雜的計(jì)算，可以對(duì)原代數(shù)式進(jìn)行變形，將其轉(zhuǎn)換成用兩根之和與兩根之積來表達(dá)，然后利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.

解：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系有[x1+x2=-2]，[x1x2=-17].

（1）[（x1-5）（x2-5）=x1x2-5（x1+x2）+25=-17-5×（-2）+25=18];

（2）[x1-x2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=（-2）2-4×（-17）=62];

（3）[1x21+1x22=x21+x22x21x22=（x1+x2）2-2x1x2（x1x2）2=（-2）2-2×（-17）（-17）2=38289].

點(diǎn)評(píng)：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：[x21+x22=（x1+x2）2-2x1x2]，[1x1+1x2=x1+x2x1x2]，[（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2]，[x1x22+x21x2=x1x2（x1+x2）]，[x31+x32=（x1+x2）3-3x1x2（x1+x2）]，等等.

例3 已知關(guān)于[x]的一元二次方程[8x2+（m+1）x+m-7=0]有兩個(gè)負(fù)數(shù)根，求實(shí)數(shù)[m]的取值范圍.

分析：一元二次方程有兩個(gè)負(fù)數(shù)根[x1]，[x2]的等價(jià)條件是[Δ≥0x1+x2<0x1?x2>0]，由此利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系建立關(guān)于[m]的不等式組，進(jìn)行求解.

解：設(shè)[x1]，[x2]是原方程的兩個(gè)負(fù)數(shù)根，由題意得[Δ≥0x1+x2<0x1?x2>0]，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系有[x1+x2=-m+18]，[x1?x2=m-78]. 所以 [（m+1）2-32（m-7）≥0-m+18<0m-78>0] 解得[m>7].

點(diǎn)評(píng)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解決簡單的根的分布問題的有力武器，同學(xué)們還可探究兩根同為正、兩根異號(hào)、兩根都大于1等情況的等價(jià)條件.

[作者單位：世界創(chuàng)新（遼寧）教育科技中心]