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        “共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)”的等邊三角形

        2020-09-10 07:22:44欒長(zhǎng)偉
        關(guān)鍵詞:繞點(diǎn)進(jìn)修學(xué)校逆時(shí)針

        欒長(zhǎng)偉

        旋轉(zhuǎn)變換是初中幾何的一種常見(jiàn)變換,下面以等邊三角形為背景,介紹如何利用旋轉(zhuǎn)變換破解幾何問(wèn)題.

        例 等邊三角形ABC中,∠BDC = 30°,A,D在BC同側(cè),求證AD ?= AB.

        分析:我們知道,等邊三角形三邊是相等的,所以大部分等邊三角形的問(wèn)題都可以利用旋轉(zhuǎn)變換來(lái)解決:首先選取等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心,再將有公共頂點(diǎn)的兩條邊分別放到兩個(gè)三角形中,最后按照順時(shí)針或者逆時(shí)針的方向旋轉(zhuǎn)60°.

        解法1:以B為旋轉(zhuǎn)中心,將BC放到△CBD中,繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°.

        如圖1,作∠ABE = ∠CBD,截取BE = BD,連接ED,EA,

        ∴△EBD是等邊三角形,∴△ABE ≌ △CBD,

        ∴∠BEA = ∠BDC = 30°,∴∠DEA = 30°,

        ∴△ABE ≌ △ADE,∴AB = AD.

        解法2:以B為旋轉(zhuǎn)中心,將BA放到△ABD中,繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°.

        如圖2,作∠CBE = ∠ABD,截取BE = BD,連接ED,EC,

        ∴△EBD是等邊三角形,

        ∴△ABD ≌ △CBE,∴CE = AD,

        ∵∠BDC = ∠EDC = 30°,∴△BDC ≌ △EDC,

        ∴BC = CE,∴BC = AD,∴AB = AD.

        解法3:以C為旋轉(zhuǎn)中心,將BC放到△CBD中,繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°.

        如圖3,作∠ACE = ∠BCD,截取CE = CD,連接ED,EA,

        ∴△CDE是等邊三角形,

        ∴△BCD ≌ △ACE,

        ∴∠BDC = ∠AEC = 30°,

        ∴∠CEA = ∠DEA = 30°,

        ∴△ACE ≌ △ADE,

        ∴AD = AC = AB.

        解法4:以C為旋轉(zhuǎn)中心,將CD放到△CAD中,繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°.

        如圖4,作∠BCE = ∠ACD,截取CE = CD,連接ED,EB,

        ∴△CDE是等邊三角形,

        ∴△ACD ≌ △BCE,∴BE = AD,

        ∵∠EDB = ∠CDB = 30°,∴△EDB ≌ △CDB,

        ∴BE = BC,∴BC = AD,∴AB = AD.

        解法5:以A為旋轉(zhuǎn)中心,將AB放到△ABD中,繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°.

        如圖5,作∠CAE = ∠BAD,截取AE = AD,連接ED,EC,設(shè)EC交BD于H,

        ∴△EAD是等邊三角形,

        ∴△ABD ≌ △ACE,

        ∴BD = CE,∠AEC = ∠ADB,

        可得∠EHD = ∠EAD = 60°,

        ∵∠BDC = 30°,∴∠HCD = 30°,

        ∴△BDC ≌ △ECD,∴DE = BC,

        ∴AB = AD.

        解法6:以A為旋轉(zhuǎn)中心,將AC放到△ACD中,繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°.

        如圖6,作∠BAE = ∠CAD,截取AE = AD,連接ED,EB,延長(zhǎng)BE,DC交于點(diǎn)H,

        ∴△EAD是等邊三角形,

        ∴△ABE ≌ △ACD,

        ∴BE = CD,∠ADC ≌ ∠AEB,

        ∴四邊形AEHD是對(duì)角互補(bǔ)四邊形,

        ∴∠BHD + ∠EAD = 180°,

        ∴∠BHD = 120°,

        ∵∠BDC = 30°,∴∠HBD = 30°,

        ∴△BDE ≌ △DBC,∴DE = BC,

        ∴AB = AD.

        解法7:利用直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半.

        如圖7,取BD中點(diǎn)N,連接AN,過(guò)點(diǎn)B作BM⊥DC交DC延長(zhǎng)線于M,

        ∵∠BDC = 30°,

        ∴BM = [12BD] = BN,∠MBD = 60°,

        又可得∠ABN = ∠CBM,

        ∴△ABN ≌ △CBM,

        ∴AN⊥BD,

        ∴AB = AD.

        綜上所述,由于等邊三角形三邊相等,且相等的邊有公共端點(diǎn),所以在解決等邊三角形問(wèn)題時(shí),我們通常“首選旋轉(zhuǎn)”,即以等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心,以60°為旋轉(zhuǎn)角,將相等的邊放到合適的三角形中順時(shí)針或逆時(shí)針進(jìn)行旋轉(zhuǎn),從而達(dá)到轉(zhuǎn)移線段或者轉(zhuǎn)移角的目的.

        (作者單位:大連市甘井子區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校)

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