劉迎圓，宮建國，徐 穎，戎程錦，王樂勤

（1.上海師范大學 信息與機電工程學院，上海 200234；2.華東理工大學 機械與動力工程學院，上海 200237；3.浙江大學 化工機械研究所，杭州 310027）

0 引言

空間導葉式離心泵通常采用高而細的塔狀結構，該結構可以節(jié)省空間，但容易發(fā)生振動[1]。當水力激振的頻率與泵某一部件的固有頻率相等或成比例時，會發(fā)生共振，嚴重影響結構的安全運行。研究表明，在流體介質(zhì)的作用下，流體機械葉輪固有頻率和振型均與在空氣中有所差別[2]。因此，為獲得流體介質(zhì)環(huán)境下的葉輪模態(tài)行為并服務于后續(xù)的葉輪動力學分析，有必要研究流固耦合作用下空間導葉式離心泵葉輪的濕模態(tài)特性。

在離心泵等流體機械的濕模態(tài)分析中，目前主要集中在水環(huán)境下葉輪固有頻率與附加質(zhì)量效應的研究。例如，肖若富等[3]基于附加質(zhì)量法從能量守恒的角度推導了水輪機轉輪在空氣和水環(huán)境下固有頻率的關系。Egusquiza和Rodriguez等[4-5]采用試驗和數(shù)值計算的方法，開展了水泵水輪機在靜水中和空氣中的固有頻率的對比分析，結果發(fā)現(xiàn)在水中獲得的振型與空氣中相同，但固有頻率會因水的附加質(zhì)量效應而降低。張新和陳宇杰等[6-7]考慮流體的可壓縮性研究了臥式軸流泵葉輪在水中和空氣中的模態(tài)特性，發(fā)現(xiàn)水介質(zhì)不僅會引起葉輪各階固有頻率的降低，還會導致各階振型振動幅值有所減小。施衛(wèi)東等[8]對特大型潛水軸流泵的軸系轉動部件進行了濕模態(tài)分析，分析了不同情況下葉輪軸系轉動部件模態(tài)行為的差異及其原因。尹庭赟和高海司等[9-10]分別對海水淡化增壓泵和蝸殼式混流泵開展流固耦合模態(tài)分析，分析了葉輪結構及其材料屬性對干濕模態(tài)固有頻率的影響，結果表明金屬材料的楊氏模量越大，葉輪各階固有頻率越大；且加厚后蓋板厚度對提高各階固有頻率作用明顯。綜上，現(xiàn)有葉輪機械的濕模態(tài)分析中，水體模型多采用在葉輪周圍包裹的水體模型（如圓柱形、方形水體），但這與實際流體域存在顯著差異；同時，現(xiàn)有文獻中尚未發(fā)現(xiàn)空間導葉式離心泵濕模態(tài)的研究工作。

基于此，本文以某空間導葉式離心泵為對象，考慮實際流體域的影響，開展流固耦合作用下空間導葉式離心泵葉輪的濕模態(tài)特性分析。主要包括考慮預應力的葉輪模態(tài)分析和靜水介質(zhì)下葉輪的濕模態(tài)分析：（1）首先通過求解Navier-Stoke方程（N-S方程）獲取空間導葉式離心泵的流體作用力，進而基于流固耦合算法，研究預應力對葉輪模態(tài)的影響；（2）基于聲-固耦合算法，開展水環(huán)境中葉輪濕模態(tài)特性研究，并分析流體介質(zhì)參數(shù)對葉輪固有頻率的影響，闡明不同介質(zhì)中葉輪模態(tài)差異的原因；（3）結合葉輪動靜干涉理論，分析葉輪的模態(tài)行為，預測葉輪的共振特性。

1 基本理論

葉輪結構的動力學方程為：

式中 Ms，Cs，Ks——結構系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；

F（st）——外界對結構的作用力，包括泵自身的重力、流體作用力和旋轉產(chǎn)生的離心力。

葉輪干模態(tài)分析屬于無阻尼模態(tài)分析，Cs=0，F(xiàn)（st）=0，動力學方程可簡化為：

本文考慮水環(huán)境下葉輪的濕模態(tài)分析，其結構阻尼較小，忽略其對固有頻率和振型的影響。同時，考慮液體對結構的耦合作用，假設液體介質(zhì)為無旋、無黏、均勻的可壓縮聲學流體，則N-S方程可簡化為流體的三維波動方程[6，11]：

式中 c——流體聲速；

p——流體壓力；

k——流體壓縮模量；

ρf——流體密度。

在流固耦合交界面，流體與結構之間的相互作用為：

式中 n——交界面處的法向量；

?p——沿著法線向量的壓力梯度；

將式（3）離散化，得流體的動力學方程：

式中 Mf——流體質(zhì)量矩陣；

Kf——流體的剛度矩陣；

P——流體聲學壓力；

R——流體和結構耦合矩陣；

Ff——作用在流體上的外力。

考慮聲學流體介質(zhì)的作用，結構的動力學方程可表示為：

式中 Fp（t）——耦合面上聲壓在結構上的面力向量；

F0——作用在結構上的流體載荷。

對流體（聲）-結構耦合系統(tǒng)來說，聯(lián)立式（5）和式（6）即可得到結構聲場耦合的方程：

式中 Mfs——等效耦合質(zhì)量矩陣；

Kfs——等效耦合剛度矩陣。

2 數(shù)值模型的建立

2.1 葉輪幾何模型

空間導葉式離心泵的幾何模型如圖1所示，主要包括喇叭入口、葉輪、空間導葉和出口管路4個部分。泵的比轉速為158，其主要運行與結構參數(shù)包括：葉輪出口直徑D2=720 mm，葉輪葉片數(shù)Z=6，導葉葉片數(shù)M=7，設計流量Q=2 860 m3/h，設計揚程H=55 m，轉速n=990 r/min。水泵葉輪材料采用具有耐腐蝕性的不銹鋼0Cr18Ni9（S30408），其密度為 7930 kg/m3，彈性模量為 2.04×1011Pa，泊松比為0.3。

圖1 空間導葉式離心泵幾何示意

2.2 考慮預應力的流固耦合模型

采用Block Lancos方法對空間導葉式離心泵進行模態(tài)分析。離心泵結構域中，葉輪與軸作為整體考慮，主要約束為葉輪中心軸軸承支撐處的圓柱約束。葉輪軸系結構的主要約束與載荷如圖2所示，葉輪預應力包括葉輪自身的重力、旋轉產(chǎn)生的離心力和水體作用于葉片和輪轂、蓋板等部分的壓力。葉輪自身重力與旋轉時的離心力可通過施加重力加速度和旋轉速度設定。水體作用于葉輪上的壓力則是基于單向流固耦合的方法，首先通過CFX軟件采用有限體積法對流體流動控制方程進行離散求解，獲取流體作用力后通過流固耦合面施加到葉輪軸系結構上。

圖2 有預應力葉輪與軸結構的約束設置

流體預應力計算時，采用六面體網(wǎng)格對泵的水力模型進行離散如圖3所示，葉輪與導葉的單元數(shù)分別為4 192 440和5 053 356，全流道總網(wǎng)格單元超過107。另外，為了保證足夠的求解精度，葉輪和導葉的無量綱y+值分別為90與50。采用RNG k-ε湍流模型進行控制方程的封閉求解，主要邊界條件為質(zhì)量進口、壓力出口，近壁面采用標準壁面函數(shù)處理。

圖3 流體預應力計算的葉輪與導葉流體域網(wǎng)格

2.3 基于聲固耦合算法的葉輪濕模態(tài)模型

基于聲固耦合算法，考慮流體的可壓縮性，對空間導葉式離心泵開展無預應力的濕模態(tài)分析。離心泵的結構域和水體域網(wǎng)格如圖4所示，結構和流體單元分別采用高階單元SOLID186和FLUID221，結構和水體的網(wǎng)格單元數(shù)分別為107 096和191 459，節(jié)點數(shù)分別為180 757和282 042。

圖4 葉輪結構與水體部分的網(wǎng)格

水體模型通過Workbench中的Acoustic body設置為聲學流體，并將葉輪葉片及其前后蓋板內(nèi)表面設置為流固耦合面。同時，為了模擬葉輪在水域的運轉狀態(tài)，水域進口設置為自由液面，出口設置為帶壓面，壓力為537.922 kPa（揚程55 m）。

3 結果與分析

3.1 葉輪預應力求解

流體載荷采用穩(wěn)態(tài)計算，計算得到的離心泵揚程與效率如圖5所示?？梢钥闯?，離心泵的揚程與效率的計算值均與試驗值較為接近，這說明文中的數(shù)值模型較為準確。

圖5 泵外特性曲線

基于上述模型，計算葉輪表面的流體作用力后，通過Workbench流固耦合程序施加到葉輪流固耦合界面上，可得到預應力下葉輪的等效應力和葉輪變形如圖6所示。可以看出，葉輪的等效應力最大值集中在葉片與輪轂相接的根部，葉輪與軸的連接處、葉輪前后蓋板等效應力均較小。與未變形結構相比，葉輪表現(xiàn)為相對于軸的彎曲變形，并由葉輪進口處向葉輪出口擴展。綜合考慮葉輪軸系等效應力和變形的情況可知，如果需要增強系統(tǒng)的結構剛度，應該從葉片與前后蓋板連接處和軸的剛度入手。

圖6 預應力作用下葉輪的等效應力與變形分布（990 r/min，黑色邊框為未變形結構）

3.2 預應力作用下的葉輪模態(tài)分析

有無預應力作用下葉輪的前6階固有頻率見表1?？梢钥闯觯袩o預應力作用下葉輪不同階次的固有頻率有所差別，但是相差不大。同時，采用增大泵轉速的方法使預應力增大，研究預應力的進一步影響。結果發(fā)現(xiàn)，當預應力增大到原來值的6倍后，考慮預應力下的固有頻率仍未有較大變化，變化率均在1.8%以內(nèi)（見表1）。這說明，葉輪結構在預應力的作用下并未出現(xiàn)明顯的應力剛化，同時流場作用力以及慣性力對葉輪固有頻率的影響并不明顯。

表1 有無預應力作用的葉輪固有頻率對比 Hz

預應力作用下葉輪的前6階振型如圖7所示。圖中采用節(jié)徑ND（Nodal diameter）的數(shù)目i和節(jié)圓NC（Nodal circle）的數(shù)目j表示葉輪的振型（i，j），如圖7中1階模態(tài)（0，1）代表該葉輪振型中包含0個位移為0的線和1個位移為0的圓?？梢钥闯觯诠舱耦l率作用下，空間導葉式離心泵葉輪的振型主要有3類，分別為：彎曲振動模態(tài)、旋轉振動模態(tài)和軸向振動模態(tài)。

圖7 有預應力作用下葉輪的前6階振型（黑色邊框為未變形結構）

3.3 葉輪濕模態(tài)分析

固有頻率下降率（FRR）是用來描述液體介質(zhì)對葉輪結構固有頻率下降的影響[12-18]，如下式所示：

式中 fa——葉輪的固有頻率（干模態(tài)）；

fw——葉輪的固有頻率（濕模態(tài)）。

同時，本文采用無量綱量附加質(zhì)量系數(shù)l描述水體的附加質(zhì)量見下式:

式中 Ma——附加質(zhì)量矩陣。

葉輪在水環(huán)境下的前6階固有頻率及其下降率和附加質(zhì)量系數(shù)見表2?？梢钥闯?，水環(huán)境下葉輪各階次的固有頻率均大幅降低，除第三階固有頻率下降率為33.81%外，其他階次下的葉輪結構固有頻率下降率達約60%～65%左右。相應地，水體附加質(zhì)量系數(shù)除第三階次為1.28外，其它均在5.21～7.26范圍內(nèi)。這說明，相對于干模態(tài)而言，水體的附加質(zhì)量效應較大，而水體剛度與結構剛度相比可以忽略，故水環(huán)境下葉輪的固有頻率下降。

表2 水環(huán)境下葉輪的固有頻率及下降率

葉輪濕模態(tài)下的前6階振型如圖8所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，在濕模態(tài)共振頻率作用下，離心泵葉輪的振型主要有兩類：彎曲振動模態(tài)和旋轉振動模態(tài)。與干模態(tài)葉輪振型相比如圖7所示，濕模態(tài)下的葉輪振動幅值有明顯較小的趨勢，這說明水體的附加質(zhì)量和附加阻尼對葉輪的振動產(chǎn)生了抑制作用。

為了進一步分析流體特性對葉輪濕模態(tài)的影響，本文對不同流體特性參數(shù)下葉輪模態(tài)開展相應的分析。流體密度與聲速對葉輪濕模態(tài)下固有頻率的影響如圖9所示?？梢钥闯?，流體環(huán)境下，葉輪固有頻率主要取決于流體介質(zhì)聲速，而受流體介質(zhì)密度的影響較??；同時流體介質(zhì)的聲速越小，葉輪濕模態(tài)下的固有頻率越小。這是由于在濕模態(tài)分析中，流體介質(zhì)被假設為聲學流體，流體的附加質(zhì)量與其聲速的大小密切相關。流體介質(zhì)的聲速減小，流體的附加質(zhì)量增大，葉輪的固有頻率減小?？紤]到氣液兩相介質(zhì)的相互摻混會改變流體流動的結構特征，使流體聲速大幅降低，故高參數(shù)化（高轉速、高水頭等）流體機械的濕模態(tài)分析，應當考慮空化氣液兩相流動等因素的影響。

圖8 葉輪水環(huán)境下的濕模態(tài)前6階振型（黑色邊框為原模型位置）

圖9 不同介質(zhì)參數(shù)環(huán)境下葉輪的固有頻率

3.4 動靜干涉原理及葉輪共振特性分析

葉輪與導葉的動靜干涉是流體機械葉輪以及靜止部件的主要振源[16-17]。在動靜干涉作用下，葉輪的激振頻率與導葉等靜止部件的激振頻率分別為：

式中 fr——葉輪的激振頻率；

Zg——導葉數(shù)；

fs——導葉等靜止部件的激振頻率；

Zr——葉輪葉片數(shù)。

而激振力的振型由葉輪葉片數(shù)和導葉數(shù)決定[18]。本文模型泵的激勵力與振型見表3。一般來說，k值較小的振型容易被激勵出來，因此表3中給出了|k|＜10的振型，其中k=-1和k=-2更加容易被激勵出。

式中 k——振型中的節(jié)徑數(shù)目。

表3 激振力頻率及振型（|k|＜10）

由表3可以看出，葉輪最小的激振力頻率為115.5 Hz，其與結構干模態(tài)和有預應力的一階固有頻率非常接近，此時容易誘發(fā)葉輪共振。但考慮到水體作用下葉輪濕模態(tài)固有頻率有所降低，激振力頻率與固有頻率不再相近，進而抑制了葉輪共振模態(tài)的激發(fā)。

4 結論

（1）預應力對葉輪的固有頻率影響不大，表明葉輪結構在流體作用力、旋轉離心力和自身重力的作用下并未出現(xiàn)明顯的應力剛化。

（2）水環(huán)境下，葉輪各階固有頻率均大幅降低，葉輪振型的振動幅值有所減小。這是由于水體會在葉輪的運動下產(chǎn)生協(xié)同振動，引起水體的附加質(zhì)量效應和阻尼作用，振動能量向外輻射，造成固有頻率和振動幅值的下降。

（3）葉輪固有頻率主要取決于介質(zhì)的聲速，而受介質(zhì)密度的影響較小。同時，介質(zhì)的聲速越大，葉輪濕模態(tài)下的固有頻率越小。這是由于在濕模態(tài)分析中，流體被假設為聲學流體，流體的附加質(zhì)量與介質(zhì)聲速密切相關?？紤]到氣液兩相介質(zhì)的相互摻混會降低流體聲速，故高參數(shù)化（高轉速、高水頭等）流體機械的濕模態(tài)分析應該空化兩相流動等因素的影響。

（4）離心泵動靜干涉的激振力頻率分析發(fā)現(xiàn)，葉輪的最小激振力頻率與結構干模態(tài)、含預應力條件下的一階固有頻率非常接近，容易誘發(fā)葉輪共振。但考慮到水體作用下葉輪濕模態(tài)固有頻率有所降低，激振力頻率與固有頻率不再相近，進而抑制了葉輪共振模態(tài)的激發(fā)。