林 兵，林宇辰，張西林

（1.江蘇師范大學(xué) 商學(xué)院，江蘇 徐州 221116；2.蘇州大學(xué)文正學(xué)院，江蘇 蘇州 215104）

1 引言

物流或后勤學(xué)（logistics）一般認(rèn)為是從軍事后勤發(fā)展而來，出現(xiàn)在二戰(zhàn)前后的美國[2]，隨著一些著名數(shù)學(xué)家與經(jīng)濟(jì)學(xué)家把最新的運(yùn)籌學(xué)工具，如線性規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、馬爾科夫決策分析等應(yīng)用于解決運(yùn)輸/資源分配、庫存控制、裝備/設(shè)備零部件維修更換等問題，極大地促進(jìn)了物流學(xué)科的發(fā)展。20世紀(jì)90年代，從生產(chǎn)運(yùn)作管理發(fā)展出一個(gè)新領(lǐng)域，即供應(yīng)鏈管理，相應(yīng)地，物料需求計(jì)劃系統(tǒng)（Materials Requirement Planning,MRP）也發(fā)展成包含供應(yīng)鏈管理的企業(yè)資源計(jì)劃系統(tǒng)（Enterprise Resource Planning,ERP），但核心仍然是庫存/生產(chǎn)計(jì)劃模塊，所以生產(chǎn)運(yùn)作管理是物流與供應(yīng)鏈管理的理論基礎(chǔ)。我們可以把物流與供應(yīng)鏈看作是生產(chǎn)運(yùn)作系統(tǒng)，從運(yùn)作管理角度研究如何提高物流與供應(yīng)鏈管理效率，比如物流配送中心的運(yùn)營效率。

運(yùn)作管理學(xué)科的理論基礎(chǔ)是一些基本原理，如Little’s Law、產(chǎn)能利用率定律（the Capacity Utilization Law）、風(fēng)險(xiǎn)共擔(dān)原理（Principle of Risk Pooling），等。這些原理是提高制造系統(tǒng)、服務(wù)系統(tǒng)、物流與供應(yīng)鏈系統(tǒng)運(yùn)營效率的準(zhǔn)則。本文將重點(diǎn)討論產(chǎn)能利用率定律，并以Zara物流配送中心為例具體說明該定律的應(yīng)用。

日常生活中，城市馬路交通是一個(gè)能說明產(chǎn)能利用排隊(duì)系統(tǒng)很好的例子。馬路可看作是服務(wù)器，車輛行走看作是對(duì)馬路的需求，車輛行走在馬路上看作是車輛被馬路服務(wù)，馬路產(chǎn)能就是服務(wù)車輛多少的能力。上、下班高峰期間，需求增大，而馬路產(chǎn)能有限，因而，馬路上車輛隊(duì)伍變長，每輛車等待時(shí)間也變長，這時(shí)馬路的產(chǎn)能利用率很大（即道路上車輛擁擠不堪），極端情況下，利用率可接近100%，即馬路上排滿了車輛。這時(shí)，只有當(dāng)所有車輛嚴(yán)格采取同一速度前進(jìn)，才不會(huì)發(fā)生追尾，但這在現(xiàn)實(shí)生活中根本不可能，因?yàn)楹茈y讓車輛協(xié)調(diào)一致，也不能保證不發(fā)生意外，也就是說，馬路上總是存在不確定與可變因素（variability）。關(guān)于variability的詳細(xì)討論可參考文獻(xiàn)[6]。

與馬路交通一樣，生產(chǎn)/服務(wù)系統(tǒng)、物流與供應(yīng)鏈系統(tǒng)也同樣存在大量variability，這使得我們不可能達(dá)到對(duì)產(chǎn)能的100%利用，這與人們平常認(rèn)知相左。運(yùn)作管理的一個(gè)主要任務(wù)就是應(yīng)對(duì)生產(chǎn)運(yùn)作系統(tǒng)中的variability，其中產(chǎn)能利用是應(yīng)對(duì)variability的重要手段。

應(yīng)對(duì)variability，運(yùn)作管理主要有兩類方法，一類是主動(dòng)降低法，例如日本豐田汽車的準(zhǔn)時(shí)化（Justin-Time,JIT）制就注重平滑生產(chǎn)（production smoothing）和標(biāo)準(zhǔn)化工作流程，從而可大大降低variability；另一種是緩沖法，即采用庫存、產(chǎn)能和時(shí)間來緩沖variability，其中庫存方法為大家所熟知。產(chǎn)能緩沖法也被豐田汽車所采用，如豐田改傳統(tǒng)的3班每班8小時(shí)工作制為2班（8+4）小時(shí)工作制，兩班制中，每班中的8小時(shí)用于生產(chǎn)，剩下的4小時(shí)用于機(jī)器維護(hù)，而當(dāng)生產(chǎn)需求較大時(shí)也可用來安排生產(chǎn)，這4小時(shí)就是產(chǎn)能緩沖。又如平日上班正常30分鐘可到單位，某日因需參加單位一個(gè)重要會(huì)議，我們一般會(huì)提前15分鐘出發(fā)，以防交通堵塞或其他意外，這15分鐘就是時(shí)間緩沖。庫存、產(chǎn)能和時(shí)間這三種緩沖可綜合運(yùn)用以應(yīng)對(duì)variability。

2 產(chǎn)能與利用率

據(jù)Hopp and Spearman[6]的定義，產(chǎn)能是最大通過率（throughput）。而通過率是指單位時(shí)間的通過量，如每天顧客量、每月銷貨成本、每年畢業(yè)學(xué)生數(shù)等。而系統(tǒng)利用率=需求速率/生產(chǎn)速率，這里生產(chǎn)速率就是系統(tǒng)產(chǎn)能。一個(gè)運(yùn)作系統(tǒng)由許多流程（process）組成，而系統(tǒng)產(chǎn)能是由眾多流程產(chǎn)能確定，其中瓶頸決定了整個(gè)系統(tǒng)的產(chǎn)能，而瓶頸是系統(tǒng)中利用率最高的流程。因此，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)瓶頸也就等于找到了系統(tǒng)產(chǎn)能。

下面以排隊(duì)系統(tǒng)（隨機(jī)系統(tǒng)可反映variability）為例來分析產(chǎn)能及產(chǎn)能利用率。在使用排隊(duì)系統(tǒng)對(duì)運(yùn)作系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的文獻(xiàn)中，一般把生產(chǎn)/服務(wù)率（μ）當(dāng)作產(chǎn)能，需求到達(dá)率記作λ，而排隊(duì)系統(tǒng)利用率ρ=λ/μ。為保證排隊(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性，要求λ嚴(yán)格小于 μ，即利用率ρ小于1。類似地，運(yùn)作系統(tǒng)的需求率也要嚴(yán)格小于系統(tǒng)產(chǎn)能。

3 利用率定律

按Hopp and Spearman[6]的定義，利用率定律是指：在制品庫存（Work-in-Process,簡寫為WIP）和流程時(shí)間（Cycle Time，簡寫為CT）將隨利用率的增長呈現(xiàn)出極度非線性增長。

為了更清楚地說明利用率定律，下面用M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)來描述一個(gè)生產(chǎn)運(yùn)作系統(tǒng)。此時(shí)在制品庫存WIP就是系統(tǒng)隊(duì)伍長度L，相應(yīng)的公式[5]為：

通過變換可得：

由式（2）可知，WIP或L是利用率ρ的函數(shù)，對(duì)ρ分別求一、二階導(dǎo)數(shù)，得：

由上，一階導(dǎo)數(shù)大于0意味著WIP隨利用率升高而增加，且當(dāng)利用率趨于100%時(shí)WIP將趨于無限大；二階導(dǎo)數(shù)大于0意味著WIP隨利用率升高而加速增長，且當(dāng)利用率趨于100%時(shí)增長速率也趨于無限大。在制品庫存與利用率的非線性關(guān)系如圖1所示。

圖1 在制品庫存與利用率的非線性關(guān)系（生產(chǎn)率/產(chǎn)能為10的M/M/1模型）

同樣，流程時(shí)間（Cycle Time，CT）對(duì)應(yīng)于M/M/1中的系統(tǒng)逗留時(shí)間為W：

由式（3）可得：

在式（4）中，把 μ固定，讓?duì)阎浑Sλ變動(dòng)，并對(duì)ρ求一、二階導(dǎo)數(shù)，得：

所以，如同上面關(guān)于在制品庫存討論的結(jié)果一樣，流程時(shí)間也是隨利用率的增長呈現(xiàn)出極度非線性增長。也可對(duì)式（3）做如此變換，

在式（5）中，把λ固定，讓?duì)阎浑S μ變動(dòng)，并對(duì)ρ求一、二階導(dǎo)數(shù)，得：

同樣，流程時(shí)間還是隨利用率的增長呈現(xiàn)出極度非線性增長。綜上分析，我們得到了前述利用率定律的結(jié)論。

4 拓展后的利用率定律

由圖1中WIP和ρ的非線性關(guān)系（即利用率定律），顯而易見使用率越小越好，這意味著WIP會(huì)很少。要使使用率越來越小，對(duì)給定需求率λ來說，意味著需不斷增大產(chǎn)能 μ，導(dǎo)致最優(yōu)產(chǎn)能是無限大（利用率趨于0而WIP為0），這不符合實(shí)際情況。所以即使我們預(yù)測或估計(jì)出需求率，利用率定律也不能幫助確定最佳產(chǎn)能。那到底遺漏了什么呢？

做管理決策往往需考慮各種管理目標(biāo)及相應(yīng)成本?，F(xiàn)實(shí)生活中，生產(chǎn)資源是有限的，而管理決策就是在權(quán)衡（trade-off）各種目標(biāo)及相應(yīng)成本。而前面利用率定律忽略了成本問題。因此，只有同時(shí)考慮該生產(chǎn)運(yùn)作系統(tǒng)的兩個(gè)主要成本，即在制品庫存持有費(fèi)用和產(chǎn)能運(yùn)營費(fèi)用，才會(huì)形成權(quán)衡，即：增加產(chǎn)能會(huì)增加運(yùn)營費(fèi)用，但同時(shí)會(huì)減少在制品庫存，從而降低庫存費(fèi)用；另一方向，減少產(chǎn)能降低運(yùn)營費(fèi)用，但會(huì)增加在制品庫存，導(dǎo)致庫存費(fèi)用上升。

繼續(xù)考慮前面的M/M/1生產(chǎn)運(yùn)作系統(tǒng)，令單位時(shí)間、單位在制品庫存持有費(fèi)用為Ch，單位時(shí)間、單位產(chǎn)能的運(yùn)營費(fèi)用為Co。已知需求率λ，我們來確定最優(yōu)生產(chǎn)率（產(chǎn)能）μ，當(dāng)然，由條件知是在 μ大于λ的范圍尋找。為簡化分析，設(shè)庫存持有費(fèi)用和運(yùn)營費(fèi)用都是線性的，有：

式（6）中第一項(xiàng)是單位時(shí)間內(nèi)在制品庫存持有費(fèi)用，第二項(xiàng)是單位時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)產(chǎn)能運(yùn)營成本，目標(biāo)是將單位時(shí)間內(nèi)平均總費(fèi)用C最小化。對(duì)μ分別求一、二階導(dǎo)數(shù)，得：

上面一階導(dǎo)數(shù)無法判斷正負(fù)，二階導(dǎo)數(shù)很明顯大于0，因?yàn)闂l件要求 μ大于λ。二階導(dǎo)數(shù)為正，意味著式（6）存在唯一最小值。令一階導(dǎo)數(shù)為0，得到最優(yōu)產(chǎn)能：

由以上分析可知，對(duì)任意給定需求率λ，最優(yōu)生產(chǎn)率（產(chǎn)能）μ是確定的，而任何理性的決策者都會(huì)選擇 μ*，這也意味著對(duì)每一需求率λ，都有最優(yōu)產(chǎn)能使用率ρ*=λ/μ*。下面將ρ*看作λ的函數(shù)作進(jìn)一步分析，得到：

很明顯由式（9）可知，最優(yōu)使用率ρ*隨λ增加而增大，結(jié)果如圖2所示。這一結(jié)論對(duì)我們?cè)O(shè)計(jì)運(yùn)作系統(tǒng)的產(chǎn)能很有啟發(fā)。

圖2 采用最優(yōu)產(chǎn)能情況下的需求率（λ）與利用率（ρ）關(guān)系

再對(duì)式（9）做變換，可得：

對(duì)于在制品庫存，有：

再對(duì)λ求二階導(dǎo)數(shù)，可得：

我們看到，在制品庫存會(huì)隨λ增加而增加，但增加速率會(huì)不斷減小。再把式（10）代入式（11），得：

對(duì)比式（2）可知，式（12）中的WIP仍隨最優(yōu)使用率ρ*非線性增長，符合利用率定律。同樣也可把選擇μ*后的系統(tǒng)逗留時(shí)間（W）或流程時(shí)間（CT）看作λ的函數(shù)，得：

由式（13）可知，流程時(shí)間CT隨λ增加而減少，這一結(jié)果與人們直覺相反，需求率增大，意味著等待和服務(wù)時(shí)間也會(huì)變長。原因是隨λ增加，μ*也相應(yīng)地增加了，從而使流程時(shí)間減少。繼續(xù)把式（10）代入式（13），可得：

由式（14）可知，流程時(shí)間CT隨ρ*增加而減少，而不是非線性增長，不再符合利用率定律。總結(jié)：拓展后的產(chǎn)能利用率定律應(yīng)包括沒有考慮成本的一般利用率定律和考慮成本的拓展定律兩種情況；一般利用率定律結(jié)論如前所述，而拓展定律告訴我們，當(dāng)同時(shí)考慮產(chǎn)能運(yùn)營費(fèi)用和庫存持有費(fèi)用后，可找到兩種費(fèi)用的最佳權(quán)衡，即最優(yōu)產(chǎn)能/生產(chǎn)率 μ*，而任何一個(gè)理性決策者都會(huì)選擇最優(yōu)產(chǎn)能；最優(yōu)產(chǎn)能μ*和最優(yōu)使用率ρ*都會(huì)隨λ增加而增加，在制品庫存WIP也會(huì)隨λ增加而增加，但增加速率會(huì)減??；物料系統(tǒng)逗留時(shí)間或流程時(shí)間CT會(huì)隨λ增加而減少；WIP仍隨ρ*非線性增長，符合利用率定律，但CT隨ρ*增加而減少，不再符合利用率定律。

以上結(jié)論對(duì)物流管理有很大的啟示。首先，我們對(duì)利用率定律的拓展分析符合物流戰(zhàn)略設(shè)計(jì)的一些基本思想，如采用系統(tǒng)總成本思想（total cost concept）、成本均衡分析（trade-off analysis）及合并運(yùn)輸（shipment consolidation）策略等[1]。拓展分析從運(yùn)作系統(tǒng)總體考慮在制品庫存費(fèi)用和產(chǎn)能運(yùn)營費(fèi)用，由于這兩種費(fèi)用在管理目標(biāo)上相沖突，所以通過權(quán)衡，對(duì)任意需求率，理論上都可找到最佳產(chǎn)能/生產(chǎn)率。進(jìn)一步分析也顯示，合并（增加）需求率，如合并運(yùn)輸需求，可提升系統(tǒng)的利用率，縮短物料在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間，而在制品庫存只是減速增加（不會(huì)出現(xiàn)一般利用率定律所描述的加速增加）。

在具體如何使用利用率定律方面，我們認(rèn)為，拓展的結(jié)論可以從理論上指導(dǎo)我們?cè)O(shè)計(jì)運(yùn)作系統(tǒng)的產(chǎn)能/生產(chǎn)率，而原有的一般定律是在確定產(chǎn)能后，根據(jù)具體情況再對(duì)需求率及利用率進(jìn)行適當(dāng)調(diào)節(jié)。下面我們以物流配送中心的產(chǎn)能設(shè)計(jì)及運(yùn)營管理來說明利用率定律的應(yīng)用。

5 產(chǎn)能利用率定律在Zara全球物流配送中心的應(yīng)用

物流是供應(yīng)鏈的一部分，常常會(huì)在供應(yīng)鏈中扮演重要角色，例如Zara全球物流配送中心就是其供應(yīng)鏈的核心樞紐。世界著名快時(shí)尚服裝品牌Zara是西班牙Inditex集團(tuán)下屬的旗艦品牌，憑借著“快速、時(shí)尚、平價(jià)”的快時(shí)尚理念，從西班牙拉科魯尼亞當(dāng)?shù)氐囊患倚〉赇伆l(fā)展成為當(dāng)今世界著名時(shí)尚服裝品牌。Zara的成功受到了學(xué)術(shù)界與業(yè)界的廣泛關(guān)注，眾多學(xué)者把Zara編成了教學(xué)案例，新聞媒體也對(duì)其廣泛報(bào)道。Zara商業(yè)模式的成功除了依靠快速反應(yīng)（Quick Response,QR）和準(zhǔn)時(shí)化（Just-in-Time,JIT）生產(chǎn)，還在于它的雙供應(yīng)鏈布局，即Zara的歐洲供應(yīng)鏈用于生產(chǎn)時(shí)尚服裝而亞洲供應(yīng)鏈用于生產(chǎn)基本款服裝。這種根據(jù)產(chǎn)品特性“量身定制”的雙供應(yīng)鏈既需相互獨(dú)立又存在相互關(guān)聯(lián)[3]，而Zara雙供應(yīng)鏈的一個(gè)重要連接點(diǎn)就是其全球物流配送中心。

Zara供應(yīng)鏈有兩個(gè)主要物流配送中心，分別位于西班牙本土的Arteixo和Zaragoza，它們定期接收制作好的成衣，每周兩次向世界各地上千家Zara門店進(jìn)行直接配送。在Zaragoza物流中心建成之前，Zara所有物料與成衣產(chǎn)品都經(jīng)過位于總部拉科魯尼亞附近的Arteixo物流配送中心[4]。Zara全球物流配送中心（如圖3所示）會(huì)接收從歐洲和亞洲供應(yīng)商運(yùn)來的布料或外包生產(chǎn)的成衣，其中未染色布料還會(huì)在自有工廠根據(jù)需求先染色再裁剪，裁剪料將會(huì)運(yùn)送到位于總部附近的400多家協(xié)作商進(jìn)行縫制工作，縫制好的成衣再運(yùn)回物流中心。一般來講，成衣在物流中心逗留8小時(shí)后就被配送出去，歐洲門店一般24小時(shí)收到訂貨，遠(yuǎn)東和北美一般要2-3天。門店如有未售出的衣服，可退還物流中心，等待再次配送到其他門店。

圖3 Zara全球物流配送中心

由圖3可見，Zara全球物流配送中心在其供應(yīng)鏈中起著核心紐帶作用。Arteixo物流中心有5層樓，5萬平方米，配備了最先進(jìn)的物流自動(dòng)化系統(tǒng)及1 200名員工。在2001年6月雖然該中心僅使用了50%的物流產(chǎn)能，但Zara仍要花費(fèi)1億歐元在Zaragoza建造另一家物流中心[4]。其原因在我們了解了產(chǎn)能利用率定律后就顯而易見了。如圖1所示，產(chǎn)能是單位時(shí)間處理10個(gè)，產(chǎn)能利用率50%意味著需求率是5個(gè)，而在制品庫存是5/(10-5)=1個(gè)，流程時(shí)間是1/(10-5)=0.2個(gè)單位時(shí)間。所以Zara保有大量空閑產(chǎn)能正是為了能以最低庫存量進(jìn)行快速配送，實(shí)現(xiàn)其JIT和快速反應(yīng)運(yùn)作模式。

另外，Zara讓所有物流匯集到物流配送中心，體現(xiàn)了拓展后的利用率定律。匯集物流需求相應(yīng)地增大了需求率，最優(yōu)利用率也會(huì)隨之溫和增加（如圖2所示），這意味著物流中心產(chǎn)能會(huì)盡可能得到利用；另一方面，匯集物流需求只是讓在制品庫存緩速增加，即需求率線性增長，而在制品庫存只是以相應(yīng)的根號(hào)速率增長；最后增加需求率卻帶來物料在物流中心的流程時(shí)間縮短，這應(yīng)該是物流管理者最期望的結(jié)果。

6 結(jié)論

利用排隊(duì)論的M/M/1模型對(duì)運(yùn)作管理的基本原理產(chǎn)能利用率定律進(jìn)行了分析，并在考慮成本的情況下拓展了原有定律。拓展后的利用率定律應(yīng)包括不考慮成本的一般情況和考慮成本后的拓展情況。對(duì)原有定律進(jìn)行拓展是基于物流系統(tǒng)總成本思想與成本均衡分析，以及體現(xiàn)規(guī)模經(jīng)濟(jì)效應(yīng)的物流合并運(yùn)輸策略。同時(shí)我們也看到Zara全球物流配送中心在設(shè)計(jì)及運(yùn)營上很好地體現(xiàn)了產(chǎn)能利用率定律。

如何在現(xiàn)實(shí)運(yùn)作管理中使用該定律，我們給出的建議是，首先利用拓展定律幫助確定合適的系統(tǒng)產(chǎn)能；產(chǎn)能一旦決定后，做大的調(diào)整往往會(huì)很困難，這時(shí)需根據(jù)不同行業(yè)不同企業(yè)具體情況，依據(jù)一般定律對(duì)需求率進(jìn)行調(diào)節(jié)，調(diào)整到自己認(rèn)為合適的利用率。