趙依，張洪波，湯國建

國防科技大學 空天科學學院，長沙 410073

捷聯星光/慣性制導是一種在捷聯式慣性制導基礎上輔以星光修正的復合制導方法，它利用恒星矢量提供的空間方位基準，來校準數學平臺坐標系(導航坐標系)與發(fā)射慣性坐標系之間的誤差角，從而修正落點偏差[1-3]。在捷聯星光/慣性制導系統中，慣性組件和星敏感器均固聯安裝在運載體上，相比于平臺式復合制導系統，其結構簡單，對星敏感器的尺寸、質量限制不嚴格，成本相對較低；測星方式相對靈活，對被測星體方位和測星次數沒有嚴格的限制，便于優(yōu)化設計以提高星光制導系統的精度。

星敏感器作為高精度天文敏感器，測量精度可達角秒級[4-5]。然而對捷聯星光/慣性復合制導系統而言，星敏感器固聯安裝在彈體上，由于發(fā)射過程中的振動、沖擊等因素，測星時其安裝誤差可能達到角分級，嚴重影響測量恒星方位時的準確性[6]，因此需要對其安裝誤差進行標定與修正。當前地面標定星敏感器安裝誤差的方法主要有2種：一種是基于光學傳遞原理進行標定，過程復雜、使用設備較多、造價昂貴[7-8]；另一種是根據慣導轉位信息進行標定，標定精度依賴于慣導的轉位精度[9-13]，2種方法都很難在線實施。Pittelkau通過分解系統過程噪聲的協方差矩陣，提出了一種對姿態(tài)敏感器安裝誤差進行標定的Kalman濾波算法[14]。Yang等利用線性卡爾曼濾波器對失準角、星敏感器安裝誤差進行了標定，同時對觀測矩陣的秩進行了分析，得出了觀測的導航星數目以及調姿次數應均大于2的結論[15]。Ning等提出了一種基于機動性和可觀測性分析的星敏感器安裝誤差快速標定方法[16]。王欣等利用慣導以及星敏感器的輸出構造觀測量，通過濾波實現對安裝誤差的標定[17]。然而以上算法都是利用卡爾曼濾波估計安裝誤差，雖然估計精度較高，但需要長時間的測量，且在誤差值較大時需要一定的收斂時間[10]，不適用于導彈的星光/慣性制導方案。

針對上述問題，提出了一種在線辨識并修正星敏感器安裝誤差的方法。建立觀測量與平臺失準角、星敏感器安裝誤差的關系方程，在導彈到達關機點后進行3次轉彈測星得到6個觀測量，然后利用最小二乘法估計出失準角以及星敏感器安裝誤差，并在此基礎上對最佳修正系數方法進行改進，通過數值仿真實驗驗證了方法的有效性。

1 捷聯星光工具誤差模型

1.1 坐標系定義

為了便于描述導彈的運動狀態(tài)以及建立星敏感器觀測量與平臺失準角、星敏安裝誤差之間的關系，首先對坐標系進行了定義。

1) 發(fā)射慣性坐標系(OIXIYIZI)：坐標系的原點位于理論發(fā)射點OI，XI軸在發(fā)射點水平面內指向瞄準方向，YI軸垂直于發(fā)射點水平面，沿當地理論鉛垂線的反方向上方，ZI軸與XI、YI軸構成右手坐標系。該坐標系是制導計算的主要坐標系，所以也稱為制導坐標系。

2) 數學平臺坐標系(OPXPYPZP)：坐標原點OP為實際的發(fā)射點，數學平臺是陀螺儀測量姿態(tài)角解算的虛擬平臺。

3) 彈體坐標系(OBXBYBZB)：原點OB為導彈的質心，XB軸沿導彈的縱軸指向彈體的頭部方向，YB軸在彈體的縱平面內與XB軸垂直且指向上方，ZB軸與XB、YB軸構成右手正交坐標系。

4) 理想星敏感器坐標系(OS′XS′YS′ZS′)：該坐標系與星敏感器固聯，原點OS′為星敏感器設備像平面中心，XS′軸與星敏感器主光軸一致，YS′軸與ZS′軸相互垂直且平行于像平面，與彈體縱平面平行，如圖1所示。

圖1 理想星敏感器坐標系

5) 實際星敏感器坐標系(OSXSYSZS)：星敏感器固聯在彈體上，但由于存在星敏安裝誤差，使實際的星敏感器坐標系與理想星敏感器坐標系之間發(fā)生偏離。

1.2 工具誤差模型

捷聯星光/慣性復合制導基于估計的平臺失準角對導彈主動段慣性制導誤差進行綜合補償和修正。平臺失準角表征的是慣性基準偏差，即數學平臺系與理想發(fā)射慣性坐標系之間的誤差角。它可由初始定向誤差、初始對準誤差、慣導工具誤差等工具誤差模型得到[18]。

1) 初始對準(定向)誤差模型

在不考慮其他誤差影響情況下，理想的數學平臺坐標系與發(fā)射慣性坐標系是平行的，因此初始對準(定向)誤差模型可以表示為

(1)

αd=Ndε0

(2)

2) 陀螺誤差模型

在陀螺的誤差模型中，耦合項相較零次項和一次項影響較小，因此陀螺的誤差模型可以表示為

(3)

將式(3)作積分并進行坐標轉換，可得到由陀螺漂移引起的誤差角[18]

αg=NgDg

(4)

式中：Ng為陀螺的誤差系數矩陣；Dg為陀螺的零次項、一次項系數。

3) 加速度計誤差模型

(5)

由于加速度計不參與數學平臺的構建，因此由捷聯星光工具誤差引起的誤差角可以表示為

α=αd+αg=NαK

(6)

2 星光觀測方程

如圖2所示，星光方向單位矢量SI在發(fā)射慣性系中可表示為

圖2 星光矢量在慣性系中的表示

(7)

式中：es、σs分別為星體的高低角和方位角，可以根據恒星星表中所選恒星的赤經、赤緯以及發(fā)射坐標系的信息求得。

星敏感器的光軸XS與星光矢量的夾角很小，其方向余弦近似為1；YS、ZS軸為輸出軸。若星敏感器的輸出為ξ、η，則星光矢量在星敏感器坐標系中可表示為

SS=[1 -ξ-η]T

(8)

圖3 彈體坐標系與理想星敏感器坐標系的關系

(9)

式中：M3[φ0]、M2[-ψ0]為繞ZB、YB軸的旋轉矩陣，表達式分別為

根據坐標系間的轉換關系有

(10)

(11)

綜合式(10)和式(11)可得

(12)

式中:E為單位陣。將各矩陣的表達式代入式(12) 中，可以得到星光觀測方程為

(13)

式中:αx、αy、αz為3個方向失準角，

其中：c(·)為cos(·)的簡寫，s(·)為sin(·)的簡寫；φb、ψb為測星時的姿態(tài)角。

(14)

3 平臺失準角與星敏安裝誤差的在線辨識

記星敏感器的安裝誤差為[Δφ0Δψ0]，則彈體坐標系到實際星敏感器體坐標系的轉換矩陣可表示為

(15)

此時星敏感器體系中測量的星光矢量為

(16)

將式(16)與式(11)相減，可得到含有星敏感器安裝誤差的星光觀測方程

(17)

CS為由星敏安裝誤差引起的誤差矩陣：

將式(17)展開，并忽略二階以上小量，經整理可得星光觀測量與失準角以及星敏感器安裝誤差之間的關系為

(18)

其中：

式(18)中有5個未知量，因此必須獲得6個獨立的觀測量才能求解。考慮到導彈測星時間較短，觀測不同導航星時需要機動調姿，因此選擇3顆 垂直的導航星進行測量，每顆導航星測10次，然后對10次測量結果取平均值。測量3顆導航星時的觀測方程為

(19)

(20)

基于最小二乘原理，可得失準角和星敏感器安裝誤差的最佳估計值為

(21)

利用估計出的星敏感器安裝誤差角即可對星敏感器觀測量進行修正。

4 捷聯星光/慣性復合制導修正方法

3次獨立地測星，能夠獲得6個測量數據，參考平臺星光-慣性復合制導原理[19]，可以采用最佳修正系數法估計導彈的落點偏差，并在末修段加以修正。但對捷聯復合制導方案而言，測量數據中含有較大的星敏感器安裝誤差，需要消除其影響，為此提出一種改進的最佳修正系數法。方法的主要思想是對失準角矩陣和誤差系數作擴維處理，在不降低制導精度的前提下，避免了估計出星敏安裝誤差角后校正觀測量的在線計算量。

基于星光測量信息的落點偏差估計方程可以表示為[18]

(22)

式中:ΔLs為縱向落點偏差；ΔHs為橫向落點偏差。記uL、uH是與縱程、橫程對應的修正系數，則式(22)可表示為

(23)

將式(6)代入到式(18)中，則星敏感器的觀測量可以表示為

(24)

(25)

式中:Nβ1、Nβ2、Nβ3分別為3個測星時刻擴維后的矩陣。此時，式(25)可以簡寫為

(26)

純慣性制導條件下的落點偏差可表示為

(27)

綜合式(26)、式(27)可得星光修正后復合制導的落點偏差為

(28)

(29)

5 仿真分析

通過數值仿真驗證上述模型與算法的正確性。仿真中，假定發(fā)射點的大地經度λ0=30°、地理緯度B0=0°、射向A0=90°，發(fā)射點高程為0 m，標準彈道射程4 000 km，星敏感器的安裝角為[φ0,ψ0]=[20°，20°]?？紤]初始對準誤差、陀螺漂移誤差、加速度計誤差、星敏感器安裝與測量誤差的影響。加速度計、星敏感器安裝與測量誤差的取值如表1所示，對于捷聯星光/慣性復合制導系統而言，星敏感器捷聯安裝在彈體上，由于發(fā)射過程中的振動、沖擊等因素，測星時其安裝誤差可能達到角分級，因此本文星敏安裝誤差取為180″(3σ)；初始對準、陀螺漂移誤差的取值如表2所示，分別代表了初始對準精度、陀螺精度高-高、低-高、高-低、低-低4種狀態(tài)。

表1 加速度計、星敏感器安裝誤差系數

表2 初始對準誤差、陀螺漂移誤差系數

5.1 在線辨識

在星敏感器實際測量中，由于光程差等因素的影響會引入視軸漂移誤差、偏置誤差、噪聲等效角誤差等隨機因素[20]。由于本文研究制導精度，因此在仿真分析中將上述誤差因素綜合為測量誤差。首先針對仿真條件I，分析測量誤差對估計結果的影響，然后針對仿真條件Ⅰ～Ⅳ，分析不同誤差系數對辨識結果的影響。在仿真中，采用蒙特卡洛模擬抽樣方法，對表1、表2中誤差項抽樣2 000次，模擬產生3次測星的失準角和星敏感器測量量，并利用最小二乘方法估計平臺失準角及星敏感器安裝誤差。得到的結果如圖4～圖9、表3、表4所示。圖及表格中所示為失準角和安裝誤差的估計殘差：對安裝誤差而言，是用估計值減去真值；對失準角而言，是用估計值減去3次測星時失準角真值的平均值。

表3 平臺失準角估計殘差的統計特征量

表4 星敏安裝誤差估計殘差的統計特征量

從圖4～圖6中可以看出本文所提的方法可以有效地估計出平臺失準角。從表中可以看出，當不考慮星敏感器測量誤差時，3個方向平臺失準角的估計殘差均小于1″，當考慮測量誤差時，估計殘差均變大，y方向失準角的估計殘差達到6.66″；同時可以看出y方向失準角的估計殘差要比x、z方向大，當陀螺精度較高時，平臺失準角的估計精度較高，當陀螺精度較差時，失準角αy、αz的估計精度明顯下降。

圖4 不考慮星敏測量誤差時平臺失準角的估計殘差(仿真條件I)

圖5 平臺失準角的估計殘差(仿真條件I)

圖6 平臺失準角的估計殘差(仿真條件Ⅲ)

圖7 不考慮星敏測量誤差時星敏安裝誤差的估計殘差(仿真條件I)

圖8 星敏安裝誤差的估計殘差(仿真條件I)

圖9 星敏安裝誤差的估計殘差(仿真條件Ⅲ)

由結果可以看出，利用本文所提方法可以有效地估計出星敏感器安裝誤差。星敏感器測量誤差對估計結果影響較大，當不考慮測量誤差時，Δφ0、Δψ0的估計殘差較小；當考慮測量誤差時，估計殘差均變大，其中Δφ0的估計殘差達到4.69″，Δψ0的估計殘差達到6.43″。同時可以看出陀螺對估計結果的影響較大，當陀螺精度較高時，星敏安裝誤差的估計精度較高；當陀螺精度較差時，估計精度出現明顯下降。結合平臺失準角的估計結果，出現這種現象是由于調姿測星過程中激勵了陀螺的漂移誤差，造成失準角及星敏觀測量變化較大引起的，這種情況下應該采取措施補償，或同時在線估計陀螺誤差系數。

5.2 捷聯星光/慣性復合制導

采用文中所述的最佳修正系數法對慣性制導誤差進行修正，首先以仿真條件I為例，對考慮星敏安裝誤差和不考慮星敏安裝誤差的捷聯星光/慣性復合制導進行仿真驗證，得到的結果如圖10、圖11所示。

圖10、圖11分別反映了考慮星敏安裝誤差、不考慮星敏安裝誤差情況下的純慣導與復合制導精度。從圖中可以看出，在不考慮星敏安裝誤差的情況下，復合制導的精度比純慣導的精度還要差，此時星光制導不能對純慣導起到修正作用。但是當考慮星敏安裝誤差時，星光制導可以對純慣導進行有效修正。通過計算可以得出，仿真條件I中純慣導的圓概率偏差(Circular Error Probable, CEP)為115.75 m，考慮、不考慮星敏安裝誤差時復合制導的CEP分別為74.30、267.48 m，從而說明了在星光/慣性復合制導中考慮星敏安裝誤差的必要性。

圖10 純慣導與復合制導精度(考慮星敏安裝誤差)

圖11 純慣導與復合制導精度(不考慮星敏安裝誤差)

然后針對仿真條件Ⅱ～Ⅳ，進行捷聯星光/慣性復合制導的仿真驗證，得到的結果如圖12～圖14所示。在此基礎上，結合仿真條件I進一步對制導精度和CEP進行了統計分析，得到的結果如表5、表6所示。

表5 制導精度特征統計量

表6 CEP特征統計量

圖12 純慣導與復合制導精度(仿真條件Ⅱ)

圖13 純慣導與復合制導精度(仿真條件Ⅲ)

圖14 純慣導與復合制導精度(仿真條件Ⅳ)

從圖10～圖14中可以看出，仿真條件I的純慣導精度要高于其他3種仿真條件，同時也可以看出，在考慮星敏安裝誤差的情況下星光制導都會在純慣導的基礎上使得復合制導的落點精度有進一步地提高。

表5、表6分別反映了制導精度和CEP的特征統計量，從表中可以看出，當初始對準(定向)誤差或陀螺漂移誤差變大時，純慣導和復合制導的精度都會變差；同時可以看出當陀螺精度相同時，復合制導精度相差不大，這說明在慣導精度相同的條件下，復合制導能夠有效地修正初始定向(對準)誤差的影響，這對導彈的陸基快速發(fā)射、水下發(fā)射具有非常大的意義。

6 結 論

推導的模型能夠在不進行濾波估計的條件下，根據星敏感器的觀測量在線辨識出失準角以及星敏安裝誤差，并提出了改進的最佳修正系數法，有效地修正了主動段的慣性制導誤差以及星敏安裝誤差的影響。進而為彈道導彈的陸基快速發(fā)射以及水下發(fā)射提供了技術支持，具有很強的工程應用價值。