陳森林，高正紅，朱新奇，龐超，杜一鳴，陳樹生

西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072

對先進(jìn)戰(zhàn)斗機(jī)而言，在大迎角范圍內(nèi)能夠進(jìn)行大幅度可控的快速機(jī)動是一項必備的能力。當(dāng)戰(zhàn)斗機(jī)進(jìn)行過失速機(jī)動時，繞飛機(jī)的流場會出現(xiàn)分離渦等復(fù)雜流動現(xiàn)象，此時作用在飛機(jī)上的氣動力(矩)將呈現(xiàn)明顯的非線性和非定常特性，即氣動力(矩)不僅取決于當(dāng)前時刻的運動狀態(tài)，還與運動的時間歷程有關(guān)[1]。對于這種情況，傳統(tǒng)的氣動導(dǎo)數(shù)模型已經(jīng)很難適用[2]，需要探索更加準(zhǔn)確高效的非線性非定常氣動力建模方法。

相關(guān)建模方法已經(jīng)有不少研究[3-5]，常見的包括階躍響應(yīng)模型[1]、Volterra級數(shù)模型[6-7]、狀態(tài)空間模型[8-9]、微分方程模型[10-12]等。隨著機(jī)器學(xué)習(xí)的蓬勃發(fā)展，近年來出現(xiàn)了將機(jī)器學(xué)習(xí)應(yīng)用到氣動力建模的嘗試，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[13]、模糊邏輯[14]、支持向量機(jī)[15-16]等，這類方法的優(yōu)點在于將系統(tǒng)視為黑箱，利用機(jī)器學(xué)習(xí)對復(fù)雜系統(tǒng)的描述能力預(yù)測輸出。其中，支持向量機(jī)(Support Vector Machine, SVM)是Vapnik[17]在1995年基于統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論提出的一種針對小樣本情況的機(jī)器學(xué)習(xí)方法，其最初應(yīng)用于模式識別，后來逐漸擴(kuò)展到系統(tǒng)辨識、智能控制等領(lǐng)域[18-19]。最小二乘支持向量機(jī)(Least Squares Support Vector Machine, LS-SVM)[20]是標(biāo)準(zhǔn)SVM的一種改進(jìn)方法，其將二次規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為線性方程組求解，降低了計算復(fù)雜度。

在現(xiàn)有的非定常氣動力建模過程中，大多是以模型在風(fēng)洞中的強(qiáng)迫振動試驗所得到的數(shù)據(jù)為初始樣本進(jìn)行，其流程如圖1所示。在某一減縮頻率下，當(dāng)試驗對象經(jīng)過多個周期的強(qiáng)迫振動之后，試驗對象和其周圍的流動以及產(chǎn)生的氣動力均呈現(xiàn)出穩(wěn)定的周期性變化特征，此時的運動是一個穩(wěn)定的動態(tài)過程，此過程的氣動力數(shù)據(jù)即是該減縮頻率下的穩(wěn)定滯環(huán)數(shù)據(jù)，采集該數(shù)據(jù)作為樣本。接下來，在另一減縮頻率下繼續(xù)進(jìn)行試驗。當(dāng)所有試驗完成之后，獲得多個減縮頻率下的穩(wěn)定滯環(huán)數(shù)據(jù)。最后，基于這些數(shù)據(jù)進(jìn)行建模。建模完成之后，模型被用來預(yù)測其他減縮頻率下的氣動力響應(yīng)。但是，這些方法針對的對象始終是穩(wěn)定的滯環(huán)，對于氣動力是如何達(dá)到穩(wěn)定滯環(huán)的，也就是氣動力的初始發(fā)展過程，即圖1中氣動力穩(wěn)定之前的階段沒有考慮。飛機(jī)的快速機(jī)動過程是一個動態(tài)的變化過程，可以認(rèn)為在這個過程中飛機(jī)不會持續(xù)運動到進(jìn)入穩(wěn)定滯環(huán)，而是處于初始的非穩(wěn)定階段。因此，初始非穩(wěn)定階段的氣動力預(yù)測相比穩(wěn)定段，更具有實際意義。這里以某機(jī)翼為例，由CFD計算的在不同減縮頻率k下做俯仰運動時的升力系數(shù)CL滯環(huán)，如圖2所示，初始迎角α為30°。圖中，實線表示穩(wěn)定滯環(huán)，虛線表示進(jìn)入穩(wěn)定滯環(huán)的初始非穩(wěn)定過程。可以發(fā)現(xiàn)，氣動力明顯存在一個進(jìn)入穩(wěn)定滯環(huán)的過程。所以，僅僅預(yù)測穩(wěn)定滯環(huán)是不夠的，更重要的是能夠預(yù)測初始非穩(wěn)定過程的氣動力。

圖1 基于風(fēng)洞試驗數(shù)據(jù)的氣動力建模方法示意圖

圖2 某機(jī)翼做俯仰運動時的升力系數(shù)滯環(huán)(Ma=0.4,Re=3.0×106)

傳統(tǒng)方法基于多個減縮頻率的穩(wěn)定滯環(huán)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，存在的另一個問題是，系統(tǒng)每次僅受到單個頻率的激勵，只能激發(fā)出系統(tǒng)的局部線性特性，而大迎角范圍內(nèi)的氣動力是非線性的。對于戰(zhàn)斗機(jī)的過失速機(jī)動飛行而言，真實的飛行過程以縱向俯仰為例，戰(zhàn)斗機(jī)在拉升的過程中快速進(jìn)入過失速機(jī)動，該過程幾乎不可能是標(biāo)準(zhǔn)的振動，更不可能用單一頻率的穩(wěn)定振動進(jìn)行模擬。為了能夠正確地模擬戰(zhàn)斗機(jī)動態(tài)進(jìn)入過失速機(jī)動過程以及產(chǎn)生的非定常氣動力(矩)，不僅需要能夠包含非穩(wěn)定動態(tài)特性影響，同時需要反映不同頻率的非線性耦合影響。

本文根據(jù)Morelli等[21-22]考慮多操縱面非線性耦合影響而提出的正交相位優(yōu)化多正弦激勵方法，并合理選擇輸入形式，設(shè)計了用于構(gòu)建大迎角俯仰動態(tài)過程的非線性激勵模型。以某機(jī)翼為例，通過CFD技術(shù)獲取了激勵模型下的氣動響應(yīng)，并以此為構(gòu)建大迎角非定常氣動力模型的樣本數(shù)據(jù)，利用LS-SVM方法建立了僅通過一次激勵，就能預(yù)測在幅值和頻率范圍內(nèi)任意運動的非線性非定常氣動力模型。算例結(jié)果表明，該模型不僅能夠正確地預(yù)測不同頻率下的穩(wěn)定滯環(huán)，同時能預(yù)測初始的非穩(wěn)定過程。

1 激勵模型

1.1 非穩(wěn)定動態(tài)過程和非線性系統(tǒng)辨識

首先借助振動理論討論一般線性系統(tǒng)在外部激勵下的響應(yīng)，分析非定常氣動力響應(yīng)的變化過程。以一個典型的二階振動器系統(tǒng)為例，其運動方程為

(1)

式中：y為位移；ζ為阻尼比；p為自然頻率；Y0p2cos(ωt)為外部輸入。

基于振動理論，位移響應(yīng)y包含兩部分，分別為自由振動y1和強(qiáng)迫振動y2，即

y=y1+y2

(2)

y1=e-ζpt(Asin(qt)+Bcos(qt))

(3)

y2=Ycos(ωt-φ)

(4)

對于一個穩(wěn)定系統(tǒng)，自由振動y1會隨時間的推移而逐漸衰減到零，最后僅剩下強(qiáng)迫振動y2。以某個振蕩器[23]為例，不考慮非線性環(huán)節(jié)時，在外部輸入為正弦的情況下，系統(tǒng)的自由振動響應(yīng)和強(qiáng)迫振動響應(yīng)如圖3所示?？梢姡到y(tǒng)響應(yīng)在開始的時候，存在一個由自由振動響應(yīng)和強(qiáng)迫振動響應(yīng)共同構(gòu)成的非穩(wěn)定段，這個過程是一個非穩(wěn)定動態(tài)過程。隨著時間的推移，自由振動衰減到零，只剩下強(qiáng)迫振動，此時的響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)定，這個過程是一個穩(wěn)定動態(tài)過程。傳統(tǒng)的非定常氣動力建模方法，僅采用了穩(wěn)定段的非定常氣動力數(shù)據(jù)，而忽略了初始的非穩(wěn)定過程。換言之，只有強(qiáng)迫振動數(shù)據(jù)被采集和使用，而自由振動數(shù)據(jù)被遺漏了，這將導(dǎo)致對系統(tǒng)響應(yīng)變化過程的信息缺失。因此，基于這些數(shù)據(jù)的模型只能預(yù)測最終的穩(wěn)定滯環(huán)，而不能預(yù)測進(jìn)入滯環(huán)的初始非穩(wěn)定過程。

圖3 某振蕩器[23]在正弦激勵下的強(qiáng)迫振動響應(yīng)和自由振動響應(yīng)

其次，大迎角區(qū)的氣動力會呈現(xiàn)明顯的非線性特征。對于非線性系統(tǒng)而言，單個頻率激勵只能激發(fā)出系統(tǒng)在該頻率下的局部特性，無法激發(fā)出系統(tǒng)中不同頻率耦合作用的影響。因此，如果僅分別使用不同頻率的穩(wěn)定滯環(huán)為樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行大迎角非定常氣動力建模，所獲得的模型只能夠反映不同頻率下穩(wěn)定的非定常氣動力的遲滯環(huán)特性，不能反映系統(tǒng)中頻率耦合的非線性影響。

因此，為了建立能夠正確計算過失速機(jī)動過程的非定常氣動力模型，首先需要構(gòu)建能夠激發(fā)非線性動態(tài)過程中頻率耦合作用的激勵模型，其既包含了非穩(wěn)定動態(tài)過程的影響，又適于非線性系統(tǒng)辨識。

1.2 激勵的選擇和設(shè)計

對于系統(tǒng)辨識和機(jī)器學(xué)習(xí)問題，激勵的選擇和設(shè)計至關(guān)重要，直接影響了模型的預(yù)測精度。從系統(tǒng)辨識的角度，選擇訓(xùn)練數(shù)據(jù)的關(guān)鍵是充分激發(fā)出系統(tǒng)特性。對于線性系統(tǒng)辨識，有多種輸入，例如掃頻[24]、3211[25]等可以采用。對于非線性系統(tǒng)辨識，缺乏通用的輸入信號。

根據(jù)Prazenica和Kurdila[26]的研究，在頻域表示線性系統(tǒng)特性的頻率響應(yīng)函數(shù)是一階的，可以表示為H1(jω)，其中ω是頻率，j是虛部。以掃頻激勵為例，其觸發(fā)到了不同頻率下的系統(tǒng)特性，因此適用于辨識一階頻率響應(yīng)函數(shù)H1(jω)，即適用于辨識線性系統(tǒng)。表示非線性系統(tǒng)特性的頻率響應(yīng)函數(shù)是高階的，包含了H1(jω)、H2(jω1,jω2)、H3(jω1,jω2,jω3)等。換言之，非線性系統(tǒng)的響應(yīng)不僅包含了單一頻率的影響，還包含了不同頻率的耦合影響，此時掃頻激勵不再適用。因此，激勵的選擇和設(shè)計必須能夠反映不同頻率的耦合作用。

這里采用Morelli等[21-22]設(shè)計的用于飛機(jī)多操縱面耦合激勵的輸入——正交相位優(yōu)化多正弦，作為訓(xùn)練輸入。為了對飛機(jī)多個操縱面同時進(jìn)行激勵，以實現(xiàn)飛機(jī)多通道氣動導(dǎo)數(shù)的同時辨識，Morelli等需要使得不同操縱面的激勵在時域和頻域上都互相正交，以實現(xiàn)互不干擾。這種輸入通過在不同通道將多個互相正交的正弦信號疊加，然后利用優(yōu)化方法調(diào)節(jié)相位以避免不同分量相加使得幅值過大，導(dǎo)致系統(tǒng)受到激勵后偏離參考點過遠(yuǎn)，最終使得不同通道之間的激勵互相正交，同一通道中不同分量之間也互相正交，并覆蓋感興趣的頻段。借鑒這種思路，這里將多通道合并到一個通道，同時仍然保持正交性，構(gòu)造了一種能體現(xiàn)不同頻率耦合作用的輸入，用于非線性系統(tǒng)辨識。本文作者[27]成功將這種輸入應(yīng)用到Volterra級數(shù)高階核的辨識，實現(xiàn)了翼型在跨聲速下小迎角范圍內(nèi)的非線性非定常氣動力建模。

正交相位優(yōu)化多正弦輸入的表達(dá)式為

(5)

式中：u為輸入；Ai為幅值；T為輸入時長；φi為相位；M為選擇的正弦總數(shù)。

根據(jù)Schroeder[28]的研究，激勵信號要盡可能充分的激勵系統(tǒng)，需要激勵信號的能量盡可能大，衡量信號能量的是均方根(Root Mean Square, RMS)，表示為

(6)

式中：N為輸入的離散點數(shù)。同時，還要使得系統(tǒng)響應(yīng)不偏離參考點過遠(yuǎn)，保證這一點需要激勵的幅值差值盡可能小，即max(u)-min(u)盡可能小。綜合考慮這兩個因素，Schroeder提出，可以利用相對峰值因子(Relative Peak Factor, RPF)最小來確定輸入相位，其定義為

(7)

該輸入設(shè)計的具體過程如下：

步驟1根據(jù)研究對象的實際情況確定輸入的時長T和頻帶[fmin,fmax]，一般要求fmin≥2/T，由此可以得到頻率精度Δf=1/T和M=fix[(fmax-fmin)/Δf]+1，其中fix(·)表示向下取整。

步驟3隨機(jī)給定各個分量的相位初值φi∈(-π,π]，然后運用優(yōu)化方法調(diào)節(jié)相位，使得各分量相加后的輸入的相對峰值因子最小，最后得到需要的相位分量φi。

步驟4根據(jù)前3步確定的參數(shù)構(gòu)成的輸入作小幅相位偏移，使得輸入從零開始，到零終止，便于對系統(tǒng)施加激勵，最終得到需要的輸入。

圖4 正交相位優(yōu)化多正弦輸入

1.3 訓(xùn)練所用輸入形式的選擇

在訓(xùn)練之前，必須根據(jù)實際問題的物理背景選擇合理的輸入形式。因為非定常氣動力不僅依賴于當(dāng)前的運動狀態(tài)，還依賴于之前的運動過程，所以輸入形式的選擇必須反映這一點。在已有的利用機(jī)器學(xué)習(xí)進(jìn)行氣動力建模的研究中，減縮頻率或者人為定義的等效減縮頻率常常作為輸入?yún)?shù)之一。例如，Ignatyev[29]、Wang[15]和史志偉[30]等，所用訓(xùn)練數(shù)據(jù)均來自于不同減縮頻率下的強(qiáng)迫振動試驗。然而，如前所述，真實的飛行過程幾乎不可能是標(biāo)準(zhǔn)的振動，因而不存在固定頻率。建立一個不依賴于頻率且具有通用性的氣動力模型是本文研究的問題之一。

這里選擇的輸入形式為

x=[α(τ),α(τ-1),…,α(τ-m)]T

(8)

式中：α為迎角；m為當(dāng)前時刻的氣動力對之前運動過程的依賴長度。此處沒有引入減縮頻率，因為在激勵信號的設(shè)計中已經(jīng)通過頻帶的選擇考慮了頻率的影響。

2 最小二乘支持向量機(jī)

2.1 基本理論

給定訓(xùn)練樣本集(xi,yi)，i=1,2,…,n，xi∈Rd，yi∈R，SVM回歸的基本思想是將樣本所在的輸入空間Rd通過非線性映射φ映射到特征空間φ(x)，然后在該空間構(gòu)造回歸函數(shù)y=f(x)wTφ(x)+b，其中w為加權(quán)系數(shù)，b為偏差。參數(shù)(w,b)通過結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化原則確定，即求解如下優(yōu)化問題：

(9)

用Lagrangian方法求解式(9)的等式約束優(yōu)化問題，得

(10)

式中：λi為Lagrangian乘子。最優(yōu)解為

(11)

對應(yīng)條件為

(12)

(13)

cξi=λi

(14)

yi=wTφ(xi)+b+ξi

(15)

將式(12)和式(14)代入式(15)，消去w和ξi，得

(16)

式中：〈· 〉為內(nèi)積。定義核函數(shù)K(xi,xl)=〈φ(xi),φ(xl)〉，將式(13)和式(16)合并，得方程組的矩陣形式為

(17)

式中：Kil=K(xi,xl)；λ=[λ1,λ2,…,λn]T；y=[y1,y2,…,yn]T；1n為n個1的列向量。

為了求解式(17)以得到參數(shù)(λ,b)，常用方法是利用核函數(shù)矩陣K的對稱正定性質(zhì)對方程組做變換，然后利用Cholesky分解求解，具體方法可見文獻(xiàn)[31]。已知(λ,b)，即得到了所需的LS-SVM模型：

(18)

2.2 模型參數(shù)的確定

SVM通過引入核函數(shù)避免了在高維特征空間直接計算內(nèi)積，極大簡化了計算。根據(jù)泛函的有關(guān)理論，任意滿足Mercer條件的對稱函數(shù)都能作為核函數(shù)，最常采用的是高斯核函數(shù)：

(19)

核函數(shù)選定后，模型參數(shù)的確定主要是核參數(shù)σ和正則化參數(shù)c的確定。某組參數(shù)(σ,c)所對應(yīng)的泛化誤差常采用留一交叉驗證法(Leave-One-Out Cross-Validation)計算，即給定一組(σ,c)之后，每次將訓(xùn)練樣本中的一個樣本作為測試集，剩下的作為訓(xùn)練集，計算預(yù)測誤差，如此重復(fù)，直到每個樣本都作為過測試集，最后將所有預(yù)測誤差的平均值作為該組參數(shù)下的泛化誤差。如何找到使得泛化誤差最小的參數(shù)(σ,c)，可采用MATLAB優(yōu)化工具箱中的fmincon函數(shù)，其利用共軛梯度方法進(jìn)行搜索[31]。

2.3 訓(xùn)練方法

輸入信號選擇以后，接下來利用CFD計算氣動力。然后根據(jù)選擇的輸入形式構(gòu)造輸入向量xi，輸出分別為升力系數(shù)、阻力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)。最后對LS-SVM進(jìn)行訓(xùn)練。具體步驟如下：

步驟1按照1.2節(jié)構(gòu)造輸入，然后由CFD計算氣動力響應(yīng)。

步驟2根據(jù)1.3節(jié)構(gòu)造輸入向量xi，輸出yi為氣動力響應(yīng)，i=1,2,…,n。

步驟3給定模型參數(shù)的初值，包括式(9)中的c和式(19)中的σ。

步驟4利用MATLAB的fmincon函數(shù)，以留一交叉驗證法計算的平均預(yù)測誤差為優(yōu)化目標(biāo)，尋找最優(yōu)的模型參數(shù)(σ,c)。

步驟5回到步驟3和步驟4，可重復(fù)多次，避免(σ,c)的局部最優(yōu)，最終選擇使得平均預(yù)測誤差最小的模型參數(shù)(σ,c)。

步驟6求解式(17)，得到參數(shù)(λ,b)，即完成了模型的訓(xùn)練。在已知測試數(shù)據(jù)后，由式(18)即可計算模型的預(yù)測結(jié)果。

3 訓(xùn) 練

以某機(jī)翼在亞聲速下大迎角范圍內(nèi)做俯仰運動為例，驗證LS-SVM模型預(yù)測非線性非定常氣動力的能力和所采用設(shè)計輸入的有效性。訓(xùn)練所用數(shù)據(jù)由CFD計算得到，與所用模型無關(guān)。計算條件為Ma=0.4，Re=3.0×106，采用剛性動網(wǎng)格。機(jī)翼外形參數(shù)如圖5所示，剖面翼型為NACA-64A204，網(wǎng)格圖如圖6所示。

圖5 機(jī)翼外形圖

圖6 機(jī)翼網(wǎng)格生成圖

本文所用CFD求解器是NASA的Langley研究中心開發(fā)的開源計算工具CFL3D[32]，其采用有限體積法和Spalart-Allmaras湍流模型求解雷諾平均Navier-Stokes (RANS)方程。CFL3D已經(jīng)在航空領(lǐng)域通過多個算例得到了廣泛驗證[33-35]。由CFL3D計算的機(jī)翼在當(dāng)前狀態(tài)下的定常氣動力如圖7所示。

圖7 機(jī)翼在Ma=0.4、Re=3.0×106下的定常氣動力系數(shù)

以設(shè)計的輸入由CFD進(jìn)行非定常計算，得到氣動力數(shù)據(jù)，然后進(jìn)行訓(xùn)練。訓(xùn)練完成后，以訓(xùn)練數(shù)據(jù)作為測試樣本檢驗訓(xùn)練效果，圖8和圖9分別為以不同基準(zhǔn)迎角做俯仰運動下，升力系數(shù)、阻力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)的LS-SVM預(yù)測結(jié)果和CFD計算結(jié)果。Case 1的基準(zhǔn)迎角為0°，幅值為80°；Case 2的基準(zhǔn)迎角為30°，幅值為30°。關(guān)于式(8)中時間依賴長度m的選擇，需要嘗試不同的時間長度，然后根據(jù)訓(xùn)練誤差進(jìn)行選擇，這里Case 1取m=10，Case 2取m=30。由圖8和圖9可見預(yù)測結(jié)果和CFD結(jié)果非常吻合，驗證了LS-SVM對訓(xùn)練數(shù)據(jù)的學(xué)習(xí)能力。

圖8 Case 1：初始迎角α0=0°時LS-SVM預(yù)測結(jié)果與訓(xùn)練數(shù)據(jù)對比(前10 s)

圖9 Case 2：初始迎角α0=30°時LS-SVM預(yù)測結(jié)果與訓(xùn)練數(shù)據(jù)對比(前10 s)

4 非定常氣動力驗證

模型訓(xùn)練完成后，需要驗證其在其他輸入下的預(yù)測準(zhǔn)確性，也即驗證其推廣能力。這里分別對機(jī)翼在不同基準(zhǔn)狀態(tài)下俯仰做正弦和掃頻運動時的氣動力進(jìn)行計算驗證。

4.1 Case 1

Case 1的基準(zhǔn)迎角為0°，幅值為80°，機(jī)翼做俯仰運動時迎角變化為

(20)

前3種正弦運動對應(yīng)的減縮頻率k分別為0.01、0.03、0.06，第4種為掃頻運動，對應(yīng)的減縮頻率從0線性增加到0.08。

由LS-SVM計算的測試運動的氣動力響應(yīng)和CFD驗證結(jié)果對比如圖10所示。3種正弦運動的氣動力滯環(huán)包括初始非穩(wěn)定動態(tài)過程，都和CFD結(jié)果一致。圖中虛線加粗部分是進(jìn)入滯環(huán)的非穩(wěn)定動態(tài)過程，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)減縮頻率為0.01和 0.03時，氣動力的非穩(wěn)定段與穩(wěn)定段幾乎重合，差異不明顯；當(dāng)減縮頻率增加到0.06時，氣動力的非穩(wěn)定段與穩(wěn)定段出現(xiàn)了差異。通過對比可以看到，不僅穩(wěn)定滯環(huán)部分得到了準(zhǔn)確預(yù)測，進(jìn)入穩(wěn)定滯環(huán)的初始非穩(wěn)定過程也得到了準(zhǔn)確預(yù)測。

圖10 初始迎角α0=0°時LS-SVM預(yù)測結(jié)果與CFD結(jié)果

除了3種正弦運動，掃頻運動的預(yù)測結(jié)果與CFD結(jié)果也吻合很好，表明通過采用文中的訓(xùn)練數(shù)據(jù)設(shè)計方法和輸入形式，避免了以減縮頻率為參數(shù)，不僅能預(yù)測正弦運動，理論上能預(yù)測范圍內(nèi)的任意運動，使得模型更具有普適性。

4.2 Case 2

Case 2的基準(zhǔn)迎角為30°，幅值為30°，機(jī)翼做俯仰運動時迎角變化為

(21)

前3種正弦運動的減縮頻率分別為0.01、0.03 和0.06，第4種為掃頻運動，對應(yīng)的減縮頻率從0線性增加到0.08。

由LS-SVM計算的測試運動的氣動力響應(yīng)和CFD驗證結(jié)果對比如圖11所示。3種正弦運動中的氣動力滯環(huán)隨著減縮頻率的增大，非穩(wěn)定動態(tài)過程表現(xiàn)逐漸明顯。包括非穩(wěn)定動態(tài)過程在內(nèi)的整個滯環(huán)，都實現(xiàn)了準(zhǔn)確預(yù)測，即使升力系數(shù)、阻力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)隨減縮頻率的變化呈現(xiàn)不同的特征，預(yù)測結(jié)果與CFD結(jié)果都非常吻合。

圖11 初始迎角α0=30°時LS-SVM預(yù)測結(jié)果與CFD結(jié)果

與Case 1類似，掃頻運動的預(yù)測結(jié)果與CFD結(jié)果也吻合很好，再次表明通過采用文中的訓(xùn)練數(shù)據(jù)設(shè)計方法和輸入的形式選擇，不僅能預(yù)測正弦運動，理論上能預(yù)測幅值和頻率范圍內(nèi)的任意運動，使得模型更具有普適性。

Case 2相比Case 1，基準(zhǔn)迎角發(fā)生了變化，氣動力的初始非穩(wěn)定過程表現(xiàn)得更為明顯，也就是說，在Case 2狀態(tài)下，氣動力的初始段和穩(wěn)定滯環(huán)存在明顯差異。根據(jù)前面的分析，飛機(jī)的真實機(jī)動過程始終處于初始段，不會到達(dá)穩(wěn)定滯環(huán)。因此可以認(rèn)為，在當(dāng)前狀態(tài)下，僅依靠穩(wěn)定滯環(huán)來預(yù)測飛機(jī)機(jī)動過程中的非定常氣動力將存在很大誤差。

4.3 以強(qiáng)迫振動為訓(xùn)練輸入時的預(yù)測

現(xiàn)在將1.1節(jié)討論的強(qiáng)迫振動作為訓(xùn)練輸入，其他不變，選用式(21)中的第2個正弦運動為算例，驗證氣動力的預(yù)測效果。由CFD計算的升力系數(shù)的前3個周期響應(yīng)如圖12所示?？梢钥吹?，氣動力很快趨于周期性變化。因此，可以認(rèn)為后兩個周期的氣動力響應(yīng)是穩(wěn)定的。分別將后兩個周期的穩(wěn)定振動數(shù)據(jù)和包含初始非穩(wěn)定段在內(nèi)的全部3個周期的振動數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，然后預(yù)測同樣正弦運動下的升力系數(shù)響應(yīng)。預(yù)測結(jié)果的時間響應(yīng)曲線(前0.6 s)和滯環(huán)曲線如圖13所示。標(biāo)注“穩(wěn)定輸入”的曲線為采用后兩個周期的穩(wěn)定數(shù)據(jù)為訓(xùn)練數(shù)據(jù)所得到的預(yù)測結(jié)果，標(biāo)注“全部輸入”的曲線為采用全部3個周期的數(shù)據(jù)為訓(xùn)練數(shù)據(jù)所得到的預(yù)測結(jié)果。

圖12 初始迎角α0=30°時由CFD計算的升力系數(shù)訓(xùn)練輸入(減縮頻率k=0.03)

圖13 初始迎角α0=30°時不同訓(xùn)練輸入下LS-SVM預(yù)測結(jié)果與CFD結(jié)果(減縮頻率k=0.03)

通過和CFD結(jié)果對比可以發(fā)現(xiàn)，采用穩(wěn)定振動數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練，可以準(zhǔn)確預(yù)測穩(wěn)定滯環(huán)，但進(jìn)入穩(wěn)定滯環(huán)的初始非穩(wěn)定過程無法實現(xiàn)預(yù)測。采用包含初始變化過程的振動數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練之后，可以實現(xiàn)氣動力整個發(fā)展過程的準(zhǔn)確預(yù)測。這個例子再次表明，采用強(qiáng)迫振動輸入只能預(yù)測到穩(wěn)定滯環(huán)，只有當(dāng)包含初始的自由振動之后，進(jìn)入滯環(huán)的非穩(wěn)定過程才能得到預(yù)測。因此，基于強(qiáng)迫振動試驗數(shù)據(jù)的建模方法難以用于飛機(jī)快速機(jī)動過程中非定常氣動力的預(yù)測。

5 結(jié) 論

1) 基于振動理論分析發(fā)現(xiàn)，非定常氣動力的動態(tài)響應(yīng)過程存在非穩(wěn)定和穩(wěn)定兩個階段，傳統(tǒng)非定常氣動力建模方法的關(guān)注點在穩(wěn)定階段，即氣動力滯環(huán)的建模預(yù)測，而飛機(jī)的真實機(jī)動過程常處于進(jìn)入滯環(huán)的非穩(wěn)定階段。

2) 采用最小二乘支持向量機(jī)進(jìn)行大迎角非定常氣動力建模，通過對某機(jī)翼在大迎角范圍內(nèi)做俯仰運動時升力系數(shù)、阻力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)包含初始非穩(wěn)定過程在內(nèi)的全過程準(zhǔn)確預(yù)測，驗證了所用方法對非穩(wěn)定動態(tài)過程非定常氣動力的預(yù)測能力。

3) 通過選擇和設(shè)計合理的訓(xùn)練輸入以激勵系統(tǒng)的非線性特征，代替了常見的以多個強(qiáng)迫振動試驗數(shù)據(jù)為輸入，簡化了訓(xùn)練過程，避免了以滯環(huán)預(yù)測滯環(huán)。在輸入的形式選擇上考慮到氣動力對運動過程的依賴，舍棄了常見的以減縮頻率為參數(shù)，建立了不依賴于頻率的能反映任意運動過程的具有普遍意義的氣動力模型。

4) 開始運動的基準(zhǔn)狀態(tài)對氣動力的非穩(wěn)定動態(tài)過程存在明顯影響。在某些情況下，初始非穩(wěn)定過程會和穩(wěn)定滯環(huán)重合，即差異表現(xiàn)不明顯，但在其他情況下，初始非穩(wěn)定過程會和穩(wěn)定滯環(huán)存在顯著區(qū)別。