練婷婷, 李 剛

(1. 鹽城工學院數理學院, 江蘇 鹽城 224003; 2. 揚州大學數學科學學院, 江蘇 揚州 225002)

本文主要討論如下分數階微分系統(tǒng)控制下時間優(yōu)化可行解的存在性:

(1)

其中1<α<2,x(·)取值于Banach空間X, Dα是α階Caputo分數階導數,A:D(A)?X→X是X上預解{Sα(t)}t≥0的無窮小生成元, 控制函數u(·)取值于可分自反Banach空間Y,B:Y→X為有界線性算子,Uad是滿足一定條件的可容許控制集．

1 預備知識

利用拉普拉斯變換, 類似于文獻[5]的證明,可得系統(tǒng)(1)的適度解如下:

2 主要結果

假設: (H1)A生成的預解{Sα(t)}t>0是緊的, 且按照一致算子拓撲連續(xù), 記M=supt∈J‖Sα(t)‖; (H2)f:J×X→X連續(xù), 且對所有的(t,x)∈J×X存在常數N1>0, 使得‖f(t,x)‖≤N1; (H3)B:Y→X是線性有界算子, 記‖B‖=MB．定義可容許控制集Uad={u∈Lp(J,Y):u(t)∈U(t),a,t∈J}, 其中p>1/α; 集值映射U:J→Pf(Y)(Y中非空閉凸子集的全體)滿足條件: (H4)映射U是圖像可測的, 且對幾乎處處的t∈J, 存在m∈Lp(J,R+)(p>1/α)使得‖U(t)‖=sup{‖μ‖:μ∈U(t)}≤m(t)．根據文獻[6], 若此條件滿足, 則Uad≠?, 且易見Uad為Lp(J,Y)中的有界閉凸集．進一步, 對任意u∈Uad, 有 ‖u‖Lp(J)≤‖m‖Lp(J), 且Bu∈Lp(J,X)(p>1/α)．

引理3若以上條件均滿足, 則控制系統(tǒng)(1)在區(qū)間[0,b]上至少有一個適度解．

證明 利用預解{Sα(t)}t>0及相關算子{Cα(t)}t≥0與{Pα(t)}t≥0的緊性和一致算子拓撲連續(xù)性, 結合Schauder不動點定理, 類似于文獻[4]中引理3.5的證明可得結論成立．

引導基金是由政府設立并按照市場化方式運作的政策性基金，不以營利為目的，通過財政性資金投入，引導社會資本支持科技型企業(yè)發(fā)展，促進科技成果轉化和產業(yè)化，全面提升科技型中小企業(yè)的創(chuàng)新能力。引導基金的資金來源包括市級財政專項資金，引導基金資金存放銀行或者購買國債所得收益，引導基金投資退出返回的本金及收益，個人、企業(yè)或者社會機構無償捐贈的資金等。

定理4若假設條件均滿足, 則問題(P)至少存在一個時間優(yōu)化可行解．

證明 根據引理3, 對任意的u∈Uad, 系統(tǒng)(1)至少存在一個適度解xu∈B(0,R)使得(xu,u)∈Ad,證明過程分為兩步:

(2)

(3)

(4)

(5)

ii) 根據第一步, 對任意的u∈U0, 問題(P)存在優(yōu)化時間tu, 令t*=infu∈U0tu,下面將證明存在u*∈U0以及x*∈SW(u*)使得x*(t*)∈W．若集合U0中含有有限個元素, 則結論顯然成立; 若否, 則存在非增的時間極小化序列{tun}n≥1使得

limn→∞tun=t*,

(6)

(7)

(8)

本文通過構造兩次時間極小化序列的方法彌補了控制系統(tǒng)適度解存在但不唯一這一不足之處, 進一步減弱了對非線性函數的Lipschitz連續(xù)性假設條件．本文的結論改進和推廣了文獻[3-5,7-10]等相關結果．