蔡支梅

求二次函數(shù)的解析式是中考的常見考查內(nèi)容。二次函數(shù)的解析式有三種基本形式，分別為一般式、頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式。根據(jù)二次函數(shù)圖像上“點(diǎn)”的信息及其特征，選用合適的形式，運(yùn)用待定系數(shù)法建立“方程（組）”模型，通過求解方程（組）確定“字母”的值，就達(dá)到了求解二次函數(shù)解析式的目的。若從問題中獲取三個點(diǎn)的坐標(biāo)信息，常?？紤]選用一般式;若獲取的信息中含有“頂點(diǎn)”的坐標(biāo)信息，常常選用頂點(diǎn)式;若“點(diǎn)”的坐標(biāo)信息中含有兩個（x，0）的坐標(biāo)形式，則考慮選用交點(diǎn)式。以上介紹的是一些解決常規(guī)問題的方式，在中考中，有時會出現(xiàn)非常規(guī)的“字母”求值問題，比如需要確定兩個“字母”的值，卻只提供了一個“點(diǎn)”的坐標(biāo)信息，那如何確定二次函數(shù)的解析式呢？

已知拋物線y=ax2+bx+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-1，4），則a=，b=。

【思路解析】此題考查用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式中字母的值，呈現(xiàn)的函數(shù)解析式形式為一般式，待確定的系數(shù)為字母a、b，已知條件為c=5，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4）。一般情況下，要求a、b的值，需要利用兩個點(diǎn)的坐標(biāo)建立關(guān)于a、b的兩個方程，聯(lián)立成方程組求解即可。而本題只給了一個點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)常規(guī)思路是無法完成字母求值的。但我們發(fā)現(xiàn)所給點(diǎn)的坐標(biāo)信息是特殊點(diǎn)（頂點(diǎn)），此時需要思考通過頂點(diǎn)能獲取哪些隱含的信息。

因為二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a=?0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2a，4a），此時b可獲得一些重要的信息，比如-2a=4ac-b2-1，4a=4等。由此我們可以得到以下幾種解法。

一、運(yùn)用“頂點(diǎn)坐標(biāo)公式”建立方程組

運(yùn)用二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，建立關(guān)于a、b的方程組，通過求解方程組確定字母a、b的值。

解法1：根據(jù)題意，得

二、運(yùn)用“頂點(diǎn)式+一般式”建立方程

見到頂點(diǎn)，先使用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）+k進(jìn)行表達(dá)，再整理成二次函數(shù)的一般形式，對原題給出的一般式進(jìn)行觀察，兩者進(jìn)行比較，建立關(guān)于a、b的方程并求解。

解法2：因為二次函數(shù)的頂點(diǎn)是（-1，4），設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a·（x+1）2+4，

整理，得y=ax2+2ax+a+4，因為y=ax2+bx+5，

所以a+4=5，b=2a，

所以a=1，b=2。

三、運(yùn)用“代入法+對稱軸”建立方程組

把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，得到一個關(guān)于a、b的方程，此時還需要一個關(guān)于a、b的方程，怎么辦？我們可以通過頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)信息建構(gòu)a、b的數(shù)量關(guān)系，即

解法3：把頂點(diǎn)（-1，4）代入原表達(dá)式，得a-b+5=4，

聯(lián)立兩個方程，得

【解后反思】通過此問題的幾種解法，我們發(fā)現(xiàn)用待定系數(shù)法解決二次函數(shù)的系數(shù)（字母的值）問題時，既要學(xué)會根據(jù)問題中獲取的“點(diǎn)”的信息，熟練使用二次函數(shù)的一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式等常規(guī)形式建立“方程（組）模型”確定表達(dá)式，也要善于挖掘問題中的隱含信息，比如對稱軸、最值等方面的信息，靈活運(yùn)用待定系數(shù)法去解決“字母”值的問題。

（作者單位：江蘇省蘇州市相城經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)漕湖學(xué)校）