范建兵

一、例題呈現(xiàn)

（2018年江蘇省蘇州市中考試卷第18題）如圖1，已知AB=8，P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、PB為邊在AB的同側(cè)作菱形APCD和菱形PBFE，點(diǎn)P、C、E在一條直線上，∠DAP=60°。M、N分別是對(duì)角線AC、BE的中點(diǎn)。當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M、N之間的距離最短為_(kāi)___（結(jié)果保留根號(hào)）

二、圖形識(shí)別

幾何問(wèn)題的解決常常需要把握兩個(gè)關(guān)鍵：一是識(shí)別幾何圖形，二是尋找分析思路。對(duì)于復(fù)雜的幾何圖形，同學(xué)們常常不知道從哪里入手，此時(shí)較好的解題策略就是圖形分解，即從原有的復(fù)雜圖形去尋找，并拆分出若干個(gè)基本圖形，呈現(xiàn)出我們學(xué)習(xí)過(guò)程中比較熟悉的教材經(jīng)典模型。在這道壓軸題的圖形中，除了等邊三角形、菱形、等腰三角形、線段中點(diǎn)等基礎(chǔ)圖形，可能還隱含了一些常用的組合圖形：圖2表示的是“等腰三角形+頂角外角平分線”模型;圖3表示的是“互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角的角平分線互相垂直”;圖4表示的是“平行線中一組同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直”;圖5表示的是“線段PQ是定點(diǎn)Q與直線AB上的動(dòng)點(diǎn)P之間的最小值”。這四個(gè)基本圖形都是幾何學(xué)習(xí)中常見(jiàn)的圖形，個(gè)個(gè)經(jīng)典但深藏于本題之中，只要我們善于觀察、思考、分析圖形，找出這些基本圖形，及時(shí)關(guān)聯(lián)思考，就一定會(huì)找到解決問(wèn)題的方法。

三、思路分析

在基本圖形識(shí)別清楚后，我們?cè)倩仡^分析例題，分析已知條件與所求問(wèn)題，由已知想所求，抽絲剝繭，并有針對(duì)性地進(jìn)行思考。

問(wèn)題1，題中要求點(diǎn)M、N之間的最短距離，我們可以從幾個(gè)角度進(jìn)行思考：

1點(diǎn)M和點(diǎn)N是動(dòng)點(diǎn)還是定點(diǎn)？（是動(dòng)點(diǎn)。）

2運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是什么樣的？（先尋找兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的特殊運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如起點(diǎn)、終點(diǎn)、過(guò)程中任一點(diǎn)等。）

3線段MN什么時(shí)候最短？（線段最短的依據(jù)有兩個(gè)：一是兩點(diǎn)之間線段最短，另一個(gè)是垂線段最短。本題中屬于哪一種情況呢？）

問(wèn)題2，菱形、等邊三角形有什么作用？

本題中如何運(yùn)用特殊圖形的性質(zhì)？題中還隱含了等腰三角形，還有30度的角，這些隱含條件能不能為解題發(fā)揮作用？?jī)蓚€(gè)動(dòng)點(diǎn)與這些特殊圖形有什么關(guān)聯(lián)？

問(wèn)題3，已知中只有一個(gè)數(shù)量關(guān)系，即AB=8，題中的線段哪些是定量？哪些可變？如何表示變量與所求線段MN的關(guān)系？

四、解法呈現(xiàn)

解法一：如圖6，連接DP、PF，盡管點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn)，但在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中一直有如下兩個(gè)結(jié)論：1點(diǎn)M恰好是線段DP的中點(diǎn)，點(diǎn)N恰好是線段PF的中點(diǎn);2∠MPN=90°。設(shè)AP=x，由直角三角形中30°角的性質(zhì)及

解法二：如圖7，連接DP、PF、DF，圖中存在兩個(gè)結(jié)論：1點(diǎn)M恰好是線段DP的中點(diǎn)，點(diǎn)N恰好是線段PF的中點(diǎn);2∠MPN=90°。設(shè)AP=x，由直角三角形中30°角的性質(zhì)及勾股定理可得，PB=8-x，DP=x，PF=3（8-x），所以DF=x2+[3（8-x）]2=4x2-48x+192=4（x-6）2+48，所以當(dāng)x=6時(shí)，DF取得最小值為43，由三角形中位線可得MN的最小值為23。

解法三：如圖8，設(shè)直線AC與直線BE交于點(diǎn)Q，由題意得，△AQB是直角三角形且∠QAB=30°，所以無(wú)論動(dòng)點(diǎn)P如何運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q及△AQB都唯一確定。由于矩形MPNQ對(duì)角線相等，即MN=PQ，因此求MN的最小值問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求PQ的最小值。如圖9，當(dāng)QP⊥AB時(shí)，PQ取得最小值23，因此MN的最小值為23。

五、變式鞏固

解題之后我們還需要有一定的反思及鞏固，以加強(qiáng)對(duì)這類題目的理解，可以反思：這類題還可以怎么做？這類題為什么可以這么做？這些方法中哪種方法更簡(jiǎn)便？等等。還可以反思題目的變式，將原題的條件或結(jié)論變一變、改一改，重新設(shè)計(jì)問(wèn)題，以考驗(yàn)我們對(duì)知識(shí)的理解掌握和融合變化的能力。比如這一題，從簡(jiǎn)化圖形這個(gè)角度，我們可以變出如下問(wèn)題。

變式1：如圖10，線段AB=8，點(diǎn)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、PB為邊，在AB同一側(cè)作等邊△APD和等邊△PBE，M、N分別是DP、BE的中點(diǎn)。當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí)，求MN的最小值。

變式2：如圖11，線段AB=8，點(diǎn)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，∠A=60°，PA=PC，PB=PE，點(diǎn)M、N分別是AC、BE的中點(diǎn)。當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí)，求MN的最小值。

變式3：如圖12，線段AB=8，點(diǎn)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、PB為直徑畫圓，D、E分別為兩圓上的點(diǎn)，且∠DAB=60°，AD∥EP，連接DE，求DE的最小值。

以上三個(gè)變式題與原題相比，形變但質(zhì)不變，內(nèi)涵不變，思路不變，方法不變，這樣的變化與思考更能體現(xiàn)學(xué)一題、會(huì)一類的解題效果。

（作者單位：江蘇省蘇州學(xué)府中學(xué)校）