邢剛 袁守成

摘要：在產(chǎn)品壽命服從指數(shù)分布無(wú)替換定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)的場(chǎng)合下，基于Edgeworth和Cornish-Fisher展開(kāi)方法，得到了兩獨(dú)立總體平均壽命比率的精確漸近分布函數(shù)及置信區(qū)間。經(jīng)分析，所得的置信區(qū)間不僅適用于大樣本情況，而且對(duì)小樣本的估計(jì)效果尤為良好。

摘要：指數(shù)分布;Edgeworth展開(kāi);平均壽命比率

產(chǎn)品質(zhì)量是企業(yè)發(fā)展的關(guān)鍵因素之一，而產(chǎn)品壽命又是產(chǎn)品質(zhì)量的一個(gè)重要評(píng)價(jià)指標(biāo)。在企業(yè)生產(chǎn)的創(chuàng)新升級(jí)中，人們往往需要通過(guò)檢驗(yàn)產(chǎn)品的壽命是否發(fā)生改變來(lái)判斷生產(chǎn)改造的效果，并且要求檢驗(yàn)的結(jié)果越精確越好。因此，兩總體的產(chǎn)品平均壽命比率在產(chǎn)品的質(zhì)量分析中是一個(gè)重要的研究課題。指數(shù)分布是產(chǎn)品壽命可靠性分析中一種常見(jiàn)的分布，設(shè)產(chǎn)品壽命服從參數(shù)為的指數(shù)分布，其密度函數(shù)為：

其中 0，記作。易知產(chǎn)品的平均壽命為參數(shù)，故兩獨(dú)立總體的平均壽命比率為它們的參數(shù)之比。

關(guān)于產(chǎn)品平均壽命比率的研究已取得一些成果，文獻(xiàn)參考文獻(xiàn)：

[1]給出了兩獨(dú)立總體平均壽命比率樞軸量的漸近分布，但該方法對(duì)小樣本的估計(jì)效果不顯著。文獻(xiàn)[2]利用廣義變量的方法給出了雙參數(shù)指數(shù)分布平均壽命比率的置信區(qū)間，但該方法所得結(jié)論不具有一般性。在文獻(xiàn)[3]中，作者利用Edgeworth展開(kāi)方法得到了雙參數(shù)指數(shù)分布平均壽命比率樞軸量的漸近分布和置信區(qū)間，但給出的結(jié)論僅是二階展開(kāi)，在小樣本情況下效果不是很令人滿意。

本文基于無(wú)替換定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)，利用Edgeworth和Cornish-Fisher展開(kāi)方法，在文獻(xiàn)[3]的研究基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論了服從指數(shù)分布的兩總體平均壽命比率，并分別給出了平均壽命比率樞軸量漸近分布及其置信區(qū)間的一般形式。由于在Edgeworth展開(kāi)中保留了更多的分布信息，所以明顯地提高了區(qū)間估計(jì)的效果，對(duì)于小樣本的情況效果更加顯著。

;?定義1 設(shè)是一組來(lái)自總體X容量為n的樣本，且，.記的相合無(wú)偏估計(jì)量. 若S_n漸近服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則稱(chēng)：

為分布函數(shù)的Edgeworth展開(kāi)，其中和分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)和密度函數(shù)。而為依賴(lài)于變量的累積量的函數(shù)。

由文獻(xiàn)[7]可知，多項(xiàng)式的最高次冪為.易見(jiàn)，若為偶數(shù)時(shí)，則為奇數(shù)次冪多項(xiàng)式;若為奇數(shù)時(shí)，則為偶數(shù)次冪多項(xiàng)式。當(dāng)時(shí)，有

其中為標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量的累積量，且

定義2 設(shè)的分布函數(shù)滿足Edgeworth展開(kāi)，用表示的 分位點(diǎn)，即，Z_a表示的分位點(diǎn)，則稱(chēng)：

（5）

為分位點(diǎn)的Cornish-Fisher展開(kāi)，其中是可以用表示關(guān)于 的多項(xiàng)式函數(shù)。

引理1 設(shè)為來(lái)自指數(shù)分布，樣本容量為n 的無(wú)替換定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)前r個(gè)樣本，試驗(yàn)總時(shí)間.產(chǎn)品的平均壽命，的最大似然估計(jì)量，且.

引理2 設(shè)和是分別來(lái)自兩獨(dú)立總體和，樣本容量為n的前r個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量，若兩總體的平均壽命比率為，則R的無(wú)偏估計(jì)量為.

定理1 在無(wú)替換定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)中，如果和是來(lái)自兩獨(dú)立總體和，樣本容量為n的前 r個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量，那么的分布函數(shù)的Edgeworth展開(kāi)式為：

證明：由引理1可知，故可寫(xiě)為2r個(gè)獨(dú)立同分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的平方和，即.

若記，則利用中心極限定理可得

由引理2，.

由引理1易知，當(dāng) ，故可寫(xiě)為

，從而.

又因?yàn)椋?

根據(jù)定義1，分布函數(shù)的Edgeworth展開(kāi)式為：

令，由（2）、（3）、（4）可得. 經(jīng)整理，

定理2;指數(shù)分布平均壽命比率R的置信水平為的置信區(qū)間為

（6）

其中：

，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的a分位數(shù).

證：由定義2可知，的分位點(diǎn)的Cornish-Fisher展開(kāi)式為

可得

因?yàn)?，所以指?shù)分布平均壽命比率R置信水平為的置信區(qū)間為

本文利用Edgeworth展開(kāi)方法，給出在定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)中基于指數(shù)分布的兩總體平均壽命比率 樞軸量的分布函數(shù)，同時(shí)利用Cornish-Fisher展開(kāi)方法得到了 置信區(qū)間的一般形式。該形式精確到展開(kāi)式的三階項(xiàng)，包含更多分布信息。相比較文獻(xiàn)[8]列出的簡(jiǎn)單形式和文獻(xiàn)[3]提供的二階展開(kāi)式，我們給出的置信區(qū)間更加精確，區(qū)間長(zhǎng)度也更小，不僅適應(yīng)于大樣本數(shù)據(jù)，小樣本的情況也同樣令人滿意。

參考文獻(xiàn)：

[1]史建紅，林紅梅.兩個(gè)獨(dú)立服從雙參數(shù)指數(shù)分布產(chǎn)品平均壽命比率的統(tǒng)計(jì)推斷（英文）[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2013，29（01）：87—96.

[2]李建波，張日權(quán).雙參數(shù)指數(shù)分布參數(shù)比率統(tǒng)計(jì)推斷的研究[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2010， 26（01）： 81—88.

[3]袁守成.雙參數(shù)指數(shù)分布平均壽命比率的區(qū)間估計(jì)[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2017（11）： 14—16.

[4]仲雪榮，傅玨生.統(tǒng)計(jì)量 分布的Edgeworth展開(kāi)式[J].蘇州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2010，26（02）：23—26.

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[7]Hall P.The Bootstrap and Edgeworth Expansion[M].New York：Springer，1992.

[8]李建波，張日權(quán).單參數(shù)指數(shù)分布參數(shù)比率統(tǒng)計(jì)推斷的研究[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2011， 34（05）：769-777.