曾 升，耿國華，鄒林波，周明全

(西北大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710127)

1 引 言

二維圖像重建三維模型一直是計算機(jī)視覺研究的熱點問題，主要包括基于運(yùn)動結(jié)構(gòu)的多圖建模算法(Structure From Motion,SFM)，和從單個視圖(Shaded Volume Rendering,SVR)直接建立三維模型。其中單幅圖像只能提供二維信息，立體建模中缺少一維信息，二維圖像的三維解釋是不適定的[1]，所以多數(shù)單圖重建三維模型需要大量的先驗知識，有不少深度學(xué)習(xí)重建的方法[2-6]。而二維草圖僅描述輪廓，能獲取的信息更少，但由于其易于表達(dá)用戶意圖，運(yùn)用二維草圖來記錄和表達(dá)視覺信息廣泛存在于藝術(shù)繪圖、工程設(shè)計人員CAD建模及三維模型檢索等領(lǐng)域，草圖是用戶構(gòu)思設(shè)計的直觀體現(xiàn)[7-9]。

三維地形的生成有經(jīng)典的分形布朗運(yùn)動模型方法[10]、實例紋理合成方法[11]、自適應(yīng)網(wǎng)格方法等[12]，從草圖重建三維地形的關(guān)鍵是在2D草圖輪廓與三維地形的在對應(yīng)視角下，在一致的輪廓約束下進(jìn)行地形重建，針對不同的重建問題已有不少研究成果。Rusnell[13]描述了一種基于加權(quán)圖中距離的地形合成方法，地形中要素的位置通過放置單個地形特征的生成器指定。Gain[14]的地形合成方法提供了一個草圖界面，創(chuàng)建或修改包含各種復(fù)雜地形的景觀的界面，但不僅需要用戶繪制輪廓、脊線，還需要繪制山體平面投影的邊界曲線。還有一些著重研究基于實例的紋理合成技術(shù)以顯著提高地形的真實感的方法[15-16]。Passos[17]的方法只需繪制山脈的輪廓線，但需要花費時間尋找匹配現(xiàn)實世界的數(shù)字高程(Digital Tertain Model,DEM)來創(chuàng)建逼真的地形。Ariyan[18]建立曲線網(wǎng)格從而在2D中繪制曲線的層次結(jié)構(gòu)，它可以通過指定曲線的基本輪廓來控制從山峰向外的山脊形狀。Ketabchi[19]基于草圖的工具來集成為常用的數(shù)據(jù)源，可以從DEM中創(chuàng)建廣泛的景觀，提高數(shù)字地球數(shù)據(jù)的質(zhì)量。Becher[20]使用基于三維曲線的基本體來有效地建模突出物，它提供了完整的空間地形的藝術(shù)自由，甚至可以構(gòu)造懸垂和洞穴。Talgorn[21]提出一種新的基于分形的GPU模型來解決實時約束地形生成問題。針對可見草圖生成三維地形的研究幾乎都關(guān)注在提高地形真實感，提升用戶自由度設(shè)計，加快建模速度等方面，但對輪廓重建的地形的實際空間位置是否合理并未考慮，完全是自由設(shè)計，然而反映用戶腦海中的地形草圖真實空間建模更符合地形設(shè)計的目的，本文致力于手繪地形草圖的真實空間重建。

由于地形草圖缺失一維信息，本身并不能提供完全的三維信息，重建真實空間三維地形有兩個明顯的問題，一是草圖中地形輪廓線真實深度無法確定，并且在第一人稱視角下的二維圖像中的同一條輪廓在三維空間中存在無數(shù)種走向可能；二是僅有輪廓信息，前后遮擋且并沒有更多細(xì)節(jié)。問題一中需要獲取圖像的深度信息，基本上分為基于雙目視覺和單目視覺的方法，趙祚喜等[22]提出一種基于直接線性變換的三維定位方法實現(xiàn)空間點的世界坐標(biāo)測量，李云雷等[23]針對有遮擋區(qū)域、深孔及凹槽的物體，提出立體定向靶標(biāo)的探針式多視場三維視覺測量系統(tǒng)，解決更精細(xì)重建的問題。于洋等[24]融合ROS SLAM的Gmapping算法，提出一種復(fù)合坐標(biāo)定位系統(tǒng)精準(zhǔn)計算室內(nèi)物體。而單目視覺方法由于不具備對極幾何的理論支持，目標(biāo)測距并不容易實現(xiàn)，韓延祥[25]利用小孔成像原理，建立成像點與目標(biāo)點映射關(guān)系，計算相機(jī)的外參和內(nèi)參，并計算特征點與光心的距離實現(xiàn)基于特征點的單目視覺測距方法。還有許多基于深度學(xué)習(xí)的估計深度圖方法[26-29]，需要大量深度圖數(shù)據(jù)集的支持。而用深度相機(jī)獲取深度則更注重研究減少位姿估計的誤差以提升三維重建的效果[30]。本文研究的草圖由于都是單一視圖，深度的獲取只適合于單目測距，然而草圖中的存在前后遮擋的多目標(biāo)地形輪廓，且輪廓線在三維空間中未必平行于草圖平面，無法直接獲取確定的絕對深度值，能夠確定只有相對深度的約束關(guān)系。對于前后遮擋且并沒有更多細(xì)節(jié)的問題，由于不存在確定性的信息，如何合理補(bǔ)全以完整三維模型的展示也是需要解決的問題。

本文立足于從第一人稱角度繪制具有前后遮擋輪廓的地形草圖，研究符合攝影幾何規(guī)律的三維真實空間地形自動建模。首先根據(jù)輪廓線的遮擋關(guān)系進(jìn)行約束條件設(shè)定，初始化狀態(tài)設(shè)定為多條草圖地形輪廓線平行于視點平面；然后根據(jù)小孔成像模型，建立前后遮擋輪廓線的相對深度約束關(guān)系，即并不是直接計算絕對深度，而是在初始化狀態(tài)下限定深度層之間的關(guān)系約束；再建立高度圖模型，將二維立面曲線轉(zhuǎn)變?yōu)镈EM數(shù)據(jù)的等高線圖，以周向分形插值填補(bǔ)高程數(shù)據(jù)完成骨架高度圖；對于地形不同走向但在二維平面上一致的的情況，以旋轉(zhuǎn)映射的方式完成非剛性的旋轉(zhuǎn)變形，再以曲面擬合完成數(shù)據(jù)的補(bǔ)全；最后加入柏林噪聲以增加草圖未提供的具體細(xì)節(jié)部分的隨機(jī)性，完成三維模型的多樣性展示。

2 手繪地形草圖的真實空間重建方法

本文研究符合攝影幾何規(guī)律的真實空間定位建模。在之前周蓬勃[31]的研究中，已搭建了B/S架構(gòu)的交互式平臺實現(xiàn)國畫中三維山水場景的快速建模，交互式繪制山體輪廓線、地平線、走向線，從而生成圓臺圖元并疊加生成三維曲面，以高斯濾波半徑控制曲面的光滑度。本文提出的方法在提取草圖輪廓線的基礎(chǔ)上生成地形曲面，符合近大遠(yuǎn)小的攝影幾何規(guī)律。這項研究的目的是直接從二維草圖生成三維模型，圖1是本文第一人稱視角下繪制2D地形草圖的三維真實空間重建框架圖。小孔成像模型建立的相對深度關(guān)系是保證重建三維地形模型具備真實空間位置的理論基礎(chǔ)，根據(jù)草圖有限信息進(jìn)行初始化設(shè)定是實現(xiàn)缺失一維信息情況下進(jìn)行三維空間計算的前提，多樣性變換部分的旋轉(zhuǎn)映射是解決輪廓線在三維空間中未必平行于視點平面的關(guān)鍵，柏林噪聲的加入是豐富草圖本身缺失細(xì)節(jié)信息而進(jìn)行的處理。

圖1 地形草圖的真實空間重建框架圖Fig.1 Real spatial reconstruction frame of silhouettes sketch

2.1 初始化設(shè)定

盡管二維草圖缺少一維信息，但仍能從地形草圖上獲取有價值的信息。草圖是線條輪廓，它決定了地形起伏特征，多條輪廓線的遮擋關(guān)系可以確定不同輪廓的深淺關(guān)系，被遮擋的部分可以確定線條延伸也不會超出前層的可見部分。地形草圖沒有更多的信息可以挖掘，為了使地形可計算，初始狀態(tài)先做以下設(shè)定：

(1)草圖是正面視點的單點透視圖，每條連續(xù)的輪廓線初始狀態(tài)為一個平行于草圖平面的深度層。由于這個平面是繪制的草圖，不考慮圖像畸變矯正。

(2)初始相對深度關(guān)系根據(jù)前后遮擋關(guān)系獲得，被遮擋部分延伸時不能超過前層。

(3)每個深度層的輪廓線從最高點到兩側(cè)地面部分單調(diào)變化的稱為一個地形單元，若單條連續(xù)輪廓線存在極小值，則拆分開處理。

(4)為了由二維擴(kuò)展到三維進(jìn)行計算，設(shè)定三維地形單元的垂直投影邊界曲線初始狀態(tài)為橢圓。

2.2 相對深度關(guān)系約束

小孔成像模型反映了真實世界三維空間到二維平面的映射關(guān)系，齊次坐標(biāo)是攝影幾何處理數(shù)據(jù)的有力工具，統(tǒng)一了常用圖形變換和運(yùn)算的處理方法，這種表示方法在深度成圖方面有許多優(yōu)點[32]。齊次坐標(biāo)[x,y,ω]提供尺度不變性并滿足仿射變換，其中ω=0對應(yīng)于無限遠(yuǎn)投影平面，對于二維到三維的反向求逆問題，小孔成像模型如圖2所示。

圖2 小孔成像模型Fig.2 Pinhole camera model

小孔成像模型揭示了三維物體在二維平面上的投影規(guī)律。圖2中S1和S2是真實三維空間的不同深度時的二維圖像，其中f為焦距，z為目標(biāo)距離，為了得到相對深度關(guān)系，不同深度層的二維圖像采用齊次坐標(biāo)表示，公式(1)由小孔成像原理導(dǎo)出。

(1)

可見當(dāng)同一張二維圖像在三維空間中的不同深度層時，其橫縱軸數(shù)據(jù)都是成比例縮放的。而且根據(jù)第4條初始狀態(tài)設(shè)定，垂直投影邊界曲線初始狀態(tài)為橢圓，當(dāng)存在多個深度層的地形單元進(jìn)行空間擴(kuò)展后恢復(fù)到三維真實尺寸時，不同深度層三維擴(kuò)展后在融合時不應(yīng)存在更深層覆蓋前層的三維空間，為了避免在三維橢圓擴(kuò)展中出現(xiàn)這種情況，必須建立適當(dāng)?shù)募s束條件，如公式(2)中的約束條件：

a1*ki-ai>bi*ki，(i=1...n),

(2)

其中：a1是為建模選定的基準(zhǔn)層的深度值，ai是每個深度層的值，bi橢圓模型的短半軸，ki是比例系數(shù)。根據(jù)該遞推約束公式，在給出基層深度a1和各層橢圓短半軸bi的基礎(chǔ)上，可以從基準(zhǔn)層依次遞推出各層的臨界深度值。在這個約束公式中，基準(zhǔn)層深度的選擇對于深度值的確定非常重要，將在第4.1節(jié)中進(jìn)一步討論。

3 關(guān)鍵算法

3.1 輪廓圖像的預(yù)處理

在初始值及相對深度關(guān)系的約束下，需要將每個深度層變換到真實的投影面，并遵循攝影幾何約束規(guī)則以不同的縮放系數(shù)放大不同深度層的草圖輪廓線如圖3所示，不同的縮放比例系數(shù)將提供不同的深度層縮放變化，選定最淺層為基準(zhǔn)面，比例系數(shù)設(shè)定為對基準(zhǔn)面的放大系數(shù)，不同的基準(zhǔn)面深度的預(yù)設(shè)值會產(chǎn)生不同的三維建模效果。

圖3 草圖輪廓線深度分層Fig.3 Depth stratification of silhouettes sketch

圖像在變換到相應(yīng)深度層時，相應(yīng)行的像素區(qū)域也將被放大。為了獲得相應(yīng)高度值，將圖像進(jìn)行填充、細(xì)化等處理，對于放大輪廓的像素值高度不單調(diào)變化的情況，每層圖像與雙向傾斜算子卷積以獲得平滑圖像數(shù)據(jù)后再提取高度值。

3.2 橢圓DEM擴(kuò)展

DEM是地形數(shù)據(jù)經(jīng)典的表示方式，高度值可以以DEM的形式存儲，進(jìn)行擴(kuò)展補(bǔ)全后就能得到三維模型。根據(jù)2.1中的初始化設(shè)定，把整個地形拆分為多個兩側(cè)單調(diào)的地形單元計算，最后再把所有地形單元融合在一起形成整體三維模型。對于遮擋的輪廓線，以單側(cè)曲線擬合的方式補(bǔ)全，且需要滿足2.1中第二條約束，使補(bǔ)全的數(shù)據(jù)不能延伸超出前層范圍。

圖4 數(shù)據(jù)擬合補(bǔ)全Fig.4 Data fitting and comparison

由于無法獲取遮擋部分的任何信息，平緩和懸垂變化都是可能的。為了完成輪廓，本文使用了幾個可計算函數(shù)來擬合現(xiàn)有的數(shù)據(jù)。利用多項式擬合，從脊線的最高點到兩側(cè)得到輪廓數(shù)據(jù)。然后使用曲線擬合來完成數(shù)據(jù)。如圖4所示(彩圖見期刊電子版)，黑線是非遮蔽數(shù)據(jù)，然后利用不同的擬合函數(shù)將數(shù)據(jù)擬合并完成到地面。紅色為一階多項式擬合的預(yù)測結(jié)果，藍(lán)色為高斯擬合的預(yù)測結(jié)果，黃色為二階多項式擬合的預(yù)測結(jié)果。二階多項式擬合在末尾處下降較快，而高斯擬合在結(jié)尾處下降緩慢。定義前后遮擋輪廓線交點為遮擋點，擬合線與地面的交點為最終點，補(bǔ)全會存在超出或不超出前層遮擋的情況，當(dāng)滿足約束條件時，可以選擇幾種擬合方法之一補(bǔ)全數(shù)據(jù)。當(dāng)幾種擬合方式補(bǔ)全都超出約束時，補(bǔ)全數(shù)據(jù)沒有合理的依據(jù),直接利用遮擋點與完成點與之間的線性連接來保證補(bǔ)全數(shù)據(jù)的計算。

對于每個補(bǔ)全遮擋后的地形單元，建立橢圓模型進(jìn)行擴(kuò)展，以最高點為橢圓一側(cè)焦點，兩側(cè)進(jìn)行等高點的采樣，最高點若離左側(cè)近則為左焦點，離右側(cè)近則選擇為右焦點，參考采樣點也從相同側(cè)開始采樣并尋找對應(yīng)等高點，陡峭一側(cè)開始采樣能夠保證選取等高對應(yīng)點時不會由于采樣點間隔近而出現(xiàn)一對多的情況。焦點與長軸的左右點確定后據(jù)橢圓方程計算出等高線圖。如圖5(a)所示，橢圓擴(kuò)展計算后得到地形單元的DEM骨架圖，右側(cè)等高線間距明顯是由于地形單元右側(cè)地勢平緩造成的。

圖5 周向分形插值Fig.5 Circumferential Fractal Interpolation

3.3 周向分形插值

等高線的計算得到地形要素的離散單元骨架，而等高線之間高程值的填充方法決定地形的真實實現(xiàn)，這是一個插值問題。由于地形有自相似的特點，根據(jù)相似性的內(nèi)在規(guī)律，平滑插值不利于反映地形特征，因此本文采用分形插值方法[33]。等高線數(shù)據(jù)中，以焦點為起點沿梯度方向采集數(shù)據(jù)，計算單射線與等高線相交的數(shù)據(jù)點集，然后旋轉(zhuǎn)角度繼續(xù)采集。當(dāng)從旋轉(zhuǎn)角度采集數(shù)據(jù)時，它是由不同角度的射線與橢圓等高線相交得到的。當(dāng)射線方向接近y軸時，線性方程的斜率過大，x采樣次數(shù)過小。在x軸附近采樣時，線性方程的斜率太小，y采樣次數(shù)也太少。因此，為了最大限度采集數(shù)據(jù)，使用方程(3)來確保每條射線獲得足夠數(shù)量的集合。

(3)

其中：xi，yi為采集橫縱坐標(biāo)，θ為角度間隔，n為射線數(shù),如圖5(a)所示(彩圖見期刊電子版)，采樣的紅色區(qū)域和白色區(qū)域分界線為±π/4時獲取最多的采樣集合，根據(jù)橢圓形狀區(qū)域大小調(diào)整角度間隔，形狀越大、采樣間隔角度越小時得到更密集的骨架數(shù)據(jù)。

利用角度變化進(jìn)行周向分形插值計算到密集的DEM骨架圖后，單射線分形插值按式(4)進(jìn)行：

(4)

其中：x0是起始點，xN是結(jié)束點，xni,yni是插值數(shù)值，an,en,cn,fn是插值系數(shù)，dn是縱向壓縮比。圖5(b)是單條射線采集點的分形插值結(jié)果，圖5(c)旋轉(zhuǎn)角度后多條采集點的分形插值的結(jié)果，壓縮比取0.1，迭代2次，壓縮比取值過大會造成插值數(shù)據(jù)變化過大的情況，插值后數(shù)據(jù)量很大，計算微分篩選變化率大的數(shù)值進(jìn)行匹配選擇。最后，采用雙三次插值法對DEM密集骨架數(shù)據(jù)進(jìn)行插值。

3.4 旋轉(zhuǎn)映射

通過上述方法得到的地形單元是與草圖平面平行的三維模型，而僅從草圖線無法判斷實際脊線的走向。為了能夠計算得到多種不同情況的真實空間的，需要一個類似旋轉(zhuǎn)的操作，但它與普通的旋轉(zhuǎn)計算有本質(zhì)的不同,在旋轉(zhuǎn)過程中，由于需要保持在草圖平面的一致性且符合攝影幾何的規(guī)律，是非剛性的形變操作，所以以映射規(guī)則來進(jìn)行形變達(dá)到目的。如圖6(a)所示，O為視點，AB線為平行視圖平面的方向，從O的角度來看，ARB和PRQ，MRN，PRN，MRQ，PRR2Q等都是與三維模型脊線投影相同的草圖輪廓線。定義R為旋轉(zhuǎn)點，R2為拐點，在真實三維空間中若形如R2的拐點加多，則會有更多空間位置的組合，即會存在無數(shù)種可能的組合，要得到它們都需要從初始的ARB變形獲得。對于不存在諸如拐點R2的旋轉(zhuǎn)情況，可直接通過旋轉(zhuǎn)映射計算得到，AFB需要如圖6(b)所示的映射，旋轉(zhuǎn)成圖后會發(fā)生變形，得到不同情況下的三維山體模型。對于存在拐點的情況需要分段旋轉(zhuǎn)映射，從而完成三維空間模型的復(fù)原。

圖6 旋轉(zhuǎn)映射Fig.6 Rotation Mapping

旋轉(zhuǎn)映射的復(fù)原步驟如下：

Step 1 在平行于草圖平面的地形單元長軸AB上從左至右選取旋轉(zhuǎn)點R，拐點Ri，i=2,3..N。N為選取的拐點個數(shù)。

Step 2 確定旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)方向可以是順時針方向或逆時針方向。并設(shè)定旋轉(zhuǎn)角度在轉(zhuǎn)向較深的一側(cè)為正，較淺一側(cè)為負(fù)。

Step 3 地形單元的DEM數(shù)據(jù)根據(jù)旋轉(zhuǎn)點進(jìn)行旋轉(zhuǎn)映射計算按照公式(5)計算：

(5)

式中：k為深度變化的比例系數(shù)，φ是旋轉(zhuǎn)角度，x和y是原始位置，x′和y′是映射后位置，dis為距旋轉(zhuǎn)點的距離。

Step 4 拐點Ri為新的旋轉(zhuǎn)點，對新旋轉(zhuǎn)點的右側(cè)數(shù)據(jù)重復(fù)Step3的旋轉(zhuǎn)映射公式進(jìn)行計算。

Step 5 對映射造成的DEM數(shù)據(jù)空洞的部分采用雙三次插值補(bǔ)全。

3.5 柏林噪聲

草圖并不具備具體的細(xì)節(jié)數(shù)據(jù)，柏林噪音能夠很好的模擬自然特效[34]，隨機(jī)地形的生成常使用柏林噪聲制作，把它與DEM數(shù)據(jù)疊加可以豐富地形細(xì)節(jié)。使用3D柏林噪聲，分形疊加可以使用不同頻率和振幅進(jìn)行疊加計算從而得到更加真實的地形效果[35]。

運(yùn)用[36]中的方法進(jìn)行噪聲的計算，通過調(diào)整noise3(x/quality,y/quality,z)中z值及quality在多次疊加中的倍頻值及迭代次數(shù)，得到不同的噪聲數(shù)據(jù)，我們此處只是添加柏林噪聲豐富細(xì)節(jié)，疊加到原DEM數(shù)據(jù)時進(jìn)行小系數(shù)的加權(quán)運(yùn)算以達(dá)到豐富地形細(xì)節(jié)的效果，在疊加后仍存在地形起伏劇烈的情況用高斯濾波進(jìn)行平滑。

4 實驗驗證

符合輪廓線草圖投影的三維地形模型存在無數(shù)種，按照本文方法可以恢復(fù)各種情況的真實三維空間模型，算法用Matlab實現(xiàn)，三維模型用WebGL進(jìn)行渲染。實驗中以圖3中的草圖為例，從相對深度關(guān)系基準(zhǔn)層深度選取對空間位置影響，符合一致投影的三維空間恢復(fù)的旋轉(zhuǎn)映射算法實驗，及多層單元山體融合生成最終三維模型結(jié)果對比三方面驗證第一人稱視角地形輪廓草圖的真實空間重建方法的有效性。

4.1 基準(zhǔn)層深度取值影響

二維草圖各深度層間只有相對深度關(guān)系的約束(公式(1))和各層間間隔的約束(公式(2))，基準(zhǔn)深度層和各層間距離的設(shè)定影響到三維模型的空間位置。3.2描述的DEM拓展用的是橢圓模型，層間隔大于各地形單元的短半軸基本都能滿足條件，為分析基準(zhǔn)深度層取值的影響，層間間隔遞推計算取剛好滿足約束的深度值，圖3中的草圖選取離視點最近的層為基準(zhǔn)層，各層在橢圓拓展計算的短半軸分別為39，75，117，96，設(shè)定基準(zhǔn)深度為200，500，1 000，2 000進(jìn)行4組相對深度遞推計算。

從表1的4組相對深度值計算可見，基準(zhǔn)層的深度值設(shè)定越大，比例值的增長率越低，深度層間的間隔越緊湊，當(dāng)基準(zhǔn)深度200變化到500時，可以看到深度層間隔在3到5層的間隔值變化很大，而在基準(zhǔn)深度1 000變化到2 000時，只有4到5層的深度值有較小變化。說明基準(zhǔn)深度層設(shè)定在大于1 000后，若按約束臨界值取值時，間隔變化趨于平緩，各地形單元之間也更為緊湊。雖然大的間隔同樣可以保證三維地形的生成，但更緊湊的空間布局更符合用戶手繪草圖的期望。

表1 相對深度計算

4.2 地形單元的旋轉(zhuǎn)映射

本文提出的旋轉(zhuǎn)映射算法實驗中以單獨地形單元進(jìn)行5種典型情況的旋轉(zhuǎn)映射進(jìn)行分析，如圖5所示，這6幅地形單元的俯視圖具有同一視角下輪廓的真實空間形狀。

在圖5(a)中的俯視圖是經(jīng)過橢圓DEM擴(kuò)展，周向分形插值后得到的平行于草圖平面的初始地形單元，圖5(b)是以左焦點為旋轉(zhuǎn)點正方向45°旋轉(zhuǎn)獲得的，圖5(c)是以左焦點為旋轉(zhuǎn)點的反方向45°旋轉(zhuǎn)獲得的，圖5(d)是左焦點為旋轉(zhuǎn)點，左正右負(fù)旋轉(zhuǎn)45°得到的，圖5(e)是左焦點為旋轉(zhuǎn)點，左負(fù)右正旋轉(zhuǎn)45°映射得到的，圖5(e)存在2個旋轉(zhuǎn)點的情況，從左到右以負(fù)-正負(fù)的方向旋轉(zhuǎn)得到的?？梢钥吹?，從初始狀態(tài)旋轉(zhuǎn)映射到不同空間形狀后，俯視角度看，已經(jīng)由橢圓變形為不同形狀，是滿足攝影幾何的非剛性形變，實現(xiàn)了不同情況的三維模型在二維草圖輪廓線一致的需求，完成了二維到三維的逆過程。

圖7 地形單元旋轉(zhuǎn)映射Fig.7 Terrain unit rotation mapping unit

4.3 地形單元融合

把各地形單元對齊并進(jìn)行融合，得到由二維草圖生成的最終三維地形模型。在融合過程中，把不同深度擴(kuò)展后的地形單元放在同一空間中?？臻g區(qū)域的深度取為最深和最淺地形單元本身空間深度加上它們計算深度值之間的插值，寬度取最深層地形單元的寬度值。為了保證融合在同一空間不同深度層的地形單元在草圖投影平面原樣對齊，各地形單元的DEM拼接時，兩側(cè)增加的空間寬度值為各層根據(jù)公式(1)都放大到最深層后和原寬度的差求出來的。對于出現(xiàn)地形高程重合的部分，大的高程值覆蓋小的值為最終高程，由于各地形單元的深度值都是在公式(2)的約束下計算的，保證了重合部分不會出現(xiàn)深層地形完全覆蓋前層地形從而不符合草圖原有遮擋的情況。

圖6顯示了其他3種第一人稱視角下草圖重建地形的結(jié)果及本文重建的結(jié)果，圖6(a)的方法需要用戶交互的繪制地形的輪廓線，山脊線和地面投影區(qū)域來生成地形；圖6(b)僅僅需要繪制地形的輪廓線，通過輪廓線和真實世界的DEM數(shù)據(jù)進(jìn)行匹配來獲得地形數(shù)據(jù)從而實現(xiàn)地形構(gòu)建；圖6(c)的交互式方法更注重用戶繪制的形狀與走向控制；圖6(d)是本文方法，直接從僅有的輪廓線自動計算生成地形；圖6(e)是第二層與第五層地形單元進(jìn)行旋轉(zhuǎn)映射后進(jìn)行融合的結(jié)果，在燈光渲染的效果下，可以從紅色標(biāo)記框的位置與圖6(d)比較出不同，可見它們的真實空間位置是不同的，才會有不一樣的陰影效果。圖6(e)是加入了柏林噪聲后的地形效果，可見隨機(jī)效果是比較明顯的，但仍能夠保證地形輪廓基本與原草圖一致，加權(quán)添加柏林噪聲豐富地形細(xì)節(jié)的方案是可行的。圖6(g)～6(i)是給出的幾組重建示例，草圖繪制山體形狀嶙峋，重接結(jié)果也會體現(xiàn)其特征。與其他幾種草圖重建方法相比，本文僅僅需要繪制地形的輪廓線，并不需要額外的山脊線，投影區(qū)域等，而且現(xiàn)有的方法中都沒有從研究真實空間位置的角度去重建地形。僅僅需要設(shè)定不同的關(guān)鍵參數(shù)就能自動計算得到地形的三維模型，更加符合二維草圖逆復(fù)原三維地形空間的需求。

圖8 草圖重建地形結(jié)果Fig.8 3D terrain modeling results from sketch

5 結(jié) 論

本文針對第一人稱視角下二維地形草圖重建三維真實空間的問題，提出了完整的重建方法，介紹了僅有少量信息的草圖重建三維地形的方法框架和基礎(chǔ)假設(shè)。然后給出了圖像處理步驟，橢圓DEM擴(kuò)展完成草圖圖像數(shù)據(jù)到高程數(shù)據(jù)的變換。其次，提出的周向分形插值與旋轉(zhuǎn)映射完成草圖投影線一致，符合真實空間攝影幾何約束的三維數(shù)據(jù)計算。最后，加權(quán)添加分形疊加的柏林噪聲實現(xiàn)地形細(xì)節(jié)展示的效果。本文提出了一種單幅二維地形草圖重建三維模型的新方法，建立了相對深度約束，解決了二維圖像第一人稱視角下的多層遮擋地形建模問題。實驗結(jié)果表明：存在多個遮擋的地形草圖，基準(zhǔn)深度層設(shè)定若取值為約束臨界值時，值給定越大，生成的三維地形越趨于緊湊，給定1 000可作為常規(guī)基準(zhǔn)深度值的初值設(shè)置；旋轉(zhuǎn)映射能夠在給定旋轉(zhuǎn)點后，實現(xiàn)任意符合同一投影草圖輪廓的三維地形空間重建；多層遮擋的地形草圖重建的三維模型能夠?qū)崿F(xiàn)原草圖的多種真實空間位置布局，并能滿足地形特征的展示。