廣東省東莞實驗中學(523120) 姚清 段偉

在數(shù)學學科核心素養(yǎng)觀的指導下,2019年的高考數(shù)學試題一改往年穩(wěn)定保守的風格,結構煥然一新,形式獨特新穎,其中全國III 第22 題以“云”形展示,圖象簡潔優(yōu)美,考點清晰明朗,但是很多考生卻感覺云霧迷蒙,不知所云.這反映出過度訓練的教學模式的弊端.本文通過對問題的解答與分析,探究素養(yǎng)導向下高考題目的特點,挖掘題目蘊含的數(shù)學核心素養(yǎng),發(fā)展科學思維,反思數(shù)學教學.

1 原題呈現(xiàn)

2019年全國高考數(shù)學III 卷第22 題:如圖,在極坐標系Ox中,弧所在圓的圓心分別是曲線M1是弧,曲線M2是弧,曲線M3是弧.

(1)分別寫出M1,M2,M3的極坐標方程;

(2)曲線M由M1,M2,M3構成,若點P在M上,且,求P的極坐標.

例題圖

圖1

2 解法分析

本文只討論第(1)問:

方法1求出圓的直角坐標方程,再利用互化公式化為極坐標方程;

方法2如圖1所示,在直角坐標系下圓E的方程為:(x?1)2+y2=1,先利用圓E和圓F關于直線y=x對稱,圓E和圓G關于直線y軸對稱,求出圓F和圓G的直角坐標方程,再利用互化公式化為極坐標方程;

方法3如圖2所示,在極坐標系中利用正弦定理建立方程,尋找滿足點的等量關系:

在Rt?AOP中,|OP|=|OA|cos ∠AOP,即ρ=2 cosθ,

在?BOP中,由正弦定理,得即ρ=2 sinθ,

在Rt?DOP中,|OP|=|OD|cos ∠DOP,即ρ=?2 cosθ;

醫(yī)藥B2C平臺顧客忠誠度模型，包括顧客、商品、平臺網(wǎng)站三個方面的因素會對醫(yī)藥B2C平臺顧客忠誠度產(chǎn)生正向的影響。如圖1所示。

圖2

圖3

方法4如圖3所示,在極坐標系中利用余弦定理建立方程,尋找滿足點P(ρ,θ)的等量關系:

在?OPE中,|OE|2+|OP|2?2|OE||OP|cos ∠POE=|PE|2,即ρ=2 cosθ;

在?OPF中,|OF|2+|OP|2?2|OF||OP|cos ∠POF=|PF|2,即ρ=2 sinθ;

在?OPG中,|OG|2+|OP|2?2|OG||OP|cos ∠POG=|PG|2,即ρ=?2 cosθ;

方法5如圖4所示,圓E的極坐標方程為ρ=2 cosθ.在極坐標系中,圓F可以由圓E逆時針旋轉得到,對于圓F上任意一點Q(ρ,θ)順時針旋轉的對應點必在圓E上,即化簡,得ρ=2 sinθ;

圖4

圖5

如圖5所示,在極坐標系中,圓G可以由圓E逆時針旋轉π得到,對于圓G上任意一點R(ρ,θ)順時針旋轉π的對應點P(ρ,θ?π)必在圓E上,即ρ=2 cos(θ?π),化簡,得ρ=?2 cosθ.

方法6如圖6所示,圓E的極坐標方程為ρ=2 cosθ.在極坐標系中,圓F和圓E關于直線對稱,對于圓F上任意一點Q(ρ,θ)關于直線的對稱點必在圓E上,即化簡,得ρ=2 sinθ;

圖6

圖7

如圖7所示,在極坐標系中,圓G和圓E關于直線對稱,對于圓G上任意一點R(ρ,θ)關于直線的對稱點P(ρ,π?θ)必在圓E上,即ρ=2 cos(π?θ),化簡,得ρ=?2 cosθ.

3 試題分析

該題目在極坐標系下求解“云”的方程,圖形美觀,形式新穎,注重科學思維的考查,著力考查的數(shù)學核心素養(yǎng)為直觀想象,邏輯推理和數(shù)學運算.

相對于能力立意下的高考題目,該題目素養(yǎng)導向明顯.從題目結構看,“云”形圖案由三段圓弧構成,必須建立文字、符號及圖形的良好關系,才能準確把握圓弧所在圓的相對位置關系,而且需要將圓形補充完整,才能便于發(fā)掘三角形的邊角關系從而建立方程,這體現(xiàn)試題條件并不良好,需要較強的閱讀素養(yǎng).“云”形圖案簡潔美觀,是數(shù)學和美育的完美結合,讓學生體會到了數(shù)學的溫度,凸顯了命題形式的人文性.三個圓的方程的求解既可以單獨完成,也可以通過彼此之間的旋轉變換或者翻折變換得到,這體現(xiàn)了考查內(nèi)容的新穎性和解決方法的多樣性.

從問題解決過程來看,可以通過直觀想象直接得到曲線的方程,但是必須應用數(shù)據(jù)推導才是嚴謹?shù)耐评?這體現(xiàn)科學思維的客觀性;對于連接點A,B,C,D,必須通過驗證來說明滿足曲線與方程關系的完備性,這體現(xiàn)了科學思維的精確性;問題的解決方法多樣,思路開闊,多種方法之間既可以建立聯(lián)系,也是彼此驗證,體現(xiàn)了科學思維的可檢驗性;通過對解法的反思和優(yōu)化可以歸納出一般圓的極坐標方程求法,這體現(xiàn)了科學思維的普適性.

4 反思教學

4.1 挖掘教材

善于挖掘教材內(nèi)容是素養(yǎng)提升的出發(fā)點.

“科學思維是對客觀的事物本質(zhì)的屬性以及潛在的規(guī)律和相互之間的關系的一種認知方式,這種方式必須建立在實際的事實之上去構建相應的模型……”.教材本身就是科學思維最好的體現(xiàn).教材主線突出,結構優(yōu)化,更重要的是教材凸顯教學內(nèi)容的邏輯性和思想性,是“雙基”的最優(yōu)載體,是落實“四基”的有力工具.核心素養(yǎng)指導下的數(shù)學教學不但注重知識的覆蓋和獲得,而且強調(diào)知識的遷移,高考題目也在繼續(xù)加強在知識點交匯處命題的趨勢,但是在實際的教學中,很難通過一節(jié)課或者一個知識點就把數(shù)學的本質(zhì)表述清楚,所以必須挖掘教材,建立知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系,這樣學生得到的才不會是碎片化的知識,才能全面的,聯(lián)系的認知和思考問題.以構成“云”形圖案的三個圓為例,教材分別在例題和課后練習中都進行了展示,教師在平常的教學中不但要將這些問題吃準講透,還應該挖掘和建立相關問題之間的內(nèi)在聯(lián)系.以直角坐標和極坐標之間的關系而言,不僅僅只是幾個互化公式而已,公式背后是以三角為紐帶而建立的邏輯關系,如圖8、圖9所示,抓住這一點就能引導學生學習聯(lián)系的看待數(shù)學的問題.所以,挖掘教材,用好教材是一舉多得的教學措施.

圖8

特別的,

圖9

4.2 反思過程

勤于反思教學過程是素養(yǎng)提升的生長點.

具有對自己的教學狀態(tài)進行審視的意識和習慣,善于總結經(jīng)驗,能夠根據(jù)不同的情境和實際,選擇或者調(diào)整教學策略和方法,是素養(yǎng)導向下的教師必須面對和提高的.引導學生反思解題過程是否合理,是否有足夠的概念,定理,方法支持;反思思路是否嚴謹,有無疏漏;反思方法是否可以更加優(yōu)化,能否普遍適用.通過反思對教學進一步的深化,整理和提高的過程既有助于學生思維品質(zhì)的培養(yǎng),也有助于學生養(yǎng)成良好的學習習慣.

以方法3 為例,三個方程的求解過程都需要借助圓的內(nèi)接三角形,但是顯然在直角三角形中的邊角關系更加簡單.一般的,對于過極點的任意圓,都可以利用

圖10

圖11

其內(nèi)接直角三角形求解極坐標方程,如圖10所示,如果圓心極坐標為M(ρ0,θ0),半徑為r,那么圓的極坐標方程為ρ=2rcos(θ?θ0).方法4 通過余弦定理建立方程,緊扣圓的定義,所以即便圓不過極點,方程依然可以建立,而且方法更具有一般性,如圖11所示,如果圓心極坐標為M(ρ0,θ0),半徑為r,圓的極坐標方程為通過對方法5 和方法6 的比較,既可以讓學生體會用變換方法化繁為簡,化難為易,這是一種用“聯(lián)系的觀點”來看待問題的方式;也可以讓學生體會雖然同一圖形在不同變換下結果一致,但是圖形上的同一個點在旋轉變換和翻折變換下的結果卻是不同的,這種關系不可謂不奇妙,這實際上是集合中元素無序性的充分體現(xiàn),可以抓住機會就曲線、方程、集合的關系再次進行梳理和辨析,如圖12所示.

圖12

4.3 提煉思想

精于提煉思想方法是素養(yǎng)提升的落腳點.

數(shù)學基于具象的知識,也依賴于概念的表達,交流,發(fā)展,但是數(shù)學真正的營養(yǎng)是數(shù)學結論背后的思想.抓住了數(shù)學的思想就是抓住了數(shù)學的本質(zhì),提煉數(shù)學思想的過程也是促進智慧生成,能力提高的過程.所以在教學活動中,要注重抓住機遇及時總結和提煉思想方法.數(shù)學的基本思想相對宏觀,反映數(shù)學的本質(zhì),常見表現(xiàn)形式為抽象、推理和模型;數(shù)學方法相對具體,并具有程序性、步驟性、路徑性和可操作性,比如歸納法、類比法、枚舉法等等.通過對數(shù)學方法的介紹,滲透,總結,學生才能在潛移默化間具備數(shù)學的思想、能力、精神,也才能夠在解決實際問題時抓住重點,清晰思辨,準確推理.

以上題為例,極坐標系下方程的求解可以借鑒直角坐標的方法步驟,引導學生通過回顧f(x,y)=0 與曲線的關系來理解f(ρ,θ)=0 和曲線的關系,這實際上是類比思想的體現(xiàn).通過三個特殊圓的方程的求解與比較,可以尋找統(tǒng)一的方法,以便求解一般圓的方程,這是歸納思想的體現(xiàn).以圓E的方程為載體,通過旋轉變換或翻折變換來求解另外兩個圓的方程,這是化歸思想的體現(xiàn).

“從特殊到特殊”,“從特殊到一般”所得到的結論是或然的,但是或然性的結論是數(shù)學創(chuàng)新的根本,也可以說只有類比和歸納才有“預測”和“探究”的創(chuàng)新功能.通過類比思想和歸納思想的提煉,不但可以讓學生體會知識形成和發(fā)展的過程,而且有助于學生創(chuàng)新能力的提高.素養(yǎng)導向下的新高考既注重科學思維的考查,也注重探究能力的考查,這實際上是凸顯新高考對數(shù)學基本思想考查的更高要求.

總之,核心素養(yǎng)導向下的中學數(shù)學教育對教師有更高的要求,我們在教學中必須更加注重知識的形成、發(fā)展和聯(lián)系,更加注重方法的總結和思想的提煉,更加注重形成科學的方法和科學的態(tài)度,才能應對新時代人才培養(yǎng)的教育需求.