浙江省杭州市杭州外國語學校(310023) 顧彩梅

中考復習階段,教師都將組織大量的習題教學來復習、鞏固、延伸所學的知識.以習題為核心的復習課,教師很容易為題量所固化,把復習課簡單的理解為一系列題型和方法的展示.教師忙于講解、學生疲于應對的教學模式,使得學生在課堂中的主體地位缺失,學生思維品質(zhì)得不到發(fā)展,教學效果欠佳.古語:“山不在高有仙則名;水不在深,有龍則靈.”筆者不禁思考,如何做到“題不在多,有法則靈”呢?本文以九年級中考第一輪復習階段“特殊三角形”部分內(nèi)容作為教學嘗試,教師組織、引導學生始終圍繞一道經(jīng)典例題展開教學,借助多樣化的解題策略幫助學生全面、深刻、延續(xù)性地復習了該部分內(nèi)容,收到了較好的教學效果.現(xiàn)將該節(jié)課學生呈現(xiàn)的主要解題策略和所對應的復習要點以及筆者的教學反思呈現(xiàn)如下.

1 試題呈現(xiàn)

如圖1所示,在?ABC中,∠BAC=90?,AB=AC,現(xiàn)在這個三角形內(nèi)取一點D,使∠ABD=30?,BD=BA,求證:AD=CD.

備戰(zhàn)中考的第一輪復習應側(cè)重基礎(chǔ)知識的復習,本題學生可以運用特殊三角形的相關(guān)知識來解決問題.筆者精心挑選的這道例題,起點低、入口寬,學生從不同角度去探究,解法層出不窮,針對每種解法,筆者給出點評.

圖1

圖2

圖3

2 多樣化解題策略及作用

2.1 構(gòu)造含30?角的直角三角形

作AE⊥BD于E,作DF⊥AC于F(如圖2).Rt?ABE中,∠ABE=30?,所以,利用兩組對應角及共邊AD相等,證得?EAD?FAD,所以,即DF垂直平分AC,所以AD=CD.

點評直角三角形是平面幾何部分重要的幾何圖形,是解決許多復雜問題的有力工具.“直角三角形中,30?角所對的直角邊是斜邊的一半.”是直角三角形的一個非常重要的性質(zhì)定理.從已知條件“∠ABD=30?”出發(fā),構(gòu)造直角三角形來解決問題,是對上述定理的有效復習.

2.2 構(gòu)造等邊三角形

以AC為邊向外作正?ACE,連結(jié)ED(如圖3).經(jīng)過計算可以證得∠BAD=∠EAD=75?,AB=AE,所以?BAD?EAD,∠AED=∠ABD=30?,則ED為正?ACE的角平分線,由“三線合一”定理得ED垂直平分AC,所以AD=CD.

圖4-1

圖4-2

圖4-3

點評在各地中考試卷中常出現(xiàn)含“30?角、60?角”、“等邊三角形”等已知條件的幾何問題,對這類問題,引導學生構(gòu)造“等邊三角形”解決問題屢試不爽.如圖4-1 至4-3 是學生在同伴的啟發(fā)下,產(chǎn)生的不同的輔助線的添加方法.“一題多解”可以促進發(fā)散性思維的生成,增強學生解決問題的自信心,而“多解歸一”起到收斂思維和統(tǒng)一數(shù)學思想方法的重要作用.

2.3 構(gòu)造正方形

以AB、AC為邊作正方形BACE,連結(jié)ED(如圖5).因為∠ABD=30?,所以∠DBE=60?.因為BE=AB=BD,所以BE=BD,?BDE為等邊三角形.由∠DEB=60?可得∠DEC=30?,利用兩組對應邊及夾角相等,可證得兩個三角形全等,即?ABD?CED,所以AD=DC.

點評此解題思路是由等腰直角?ABC與正方形的關(guān)聯(lián)性想到補全正方形,再借用等邊三角形的過渡落實到全等三角形的對應邊相等.我們常把“四邊形”問題轉(zhuǎn)化成“三角形”問題來解決,很多時候?qū)⑷切螁栴}置身于四邊形中也會有意想不到的收獲.此處既強化了三角形與四邊形互通互融的特有屬性,也強調(diào)了“轉(zhuǎn)換化歸”的思想在解題教學中的重要性.

2.4 直接構(gòu)造全等三角形

在線段BC上截取BE=AD(如圖6),由AC=BD,∠CAD=∠DBE=15?,可證得?CAD?DBE,于是DE=DC.不妨設(shè)∠BDE=∠ACD=x,根據(jù)DE=CD,得到∠DEC=∠DCE,所以15?+x=45??x,解 得x=15?,所以∠ACD=15?=∠CAD,所以AD=DC.

點評“全等三角形”是我們研究平行四邊形、特殊平行四邊形的基礎(chǔ),因此在探究過程中,立足已知信息,挖掘隱含條件,構(gòu)建全等三角形的思考過程非常重要.引入未知數(shù)建立方程,通過計算解決角度相等問題,體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”和“方程”的重要思想.

圖5

圖6

圖7

2.5 構(gòu)造相似三角形

根據(jù)已知條件我們可以推得∠CAD=∠DBC=15?,要證AD=DC,即證∠ACD=∠CAD=15?,所以要證∠DBC=∠ACD,繼而想到延長BD交AC于點E(如圖7),下證明?EDC?ECB.在Rt?ABE中∠ABE=30?,不妨設(shè)AE=a得又因為所以且∠DEC=∠CEB,所以?EDC?ECB.

點評相似是全等的延伸,全等是相似的特殊情況,兩種方法有著必然的聯(lián)系.“分析法”是課本介紹的一種非常重要的證明方法,它從要證明的結(jié)論出發(fā),結(jié)合已知條件,推理出一個顯而易見的結(jié)論,進而問題得證.這種“執(zhí)果索因”的思維方式,特別有利于學生思維能力的提升.

2.6 直接計算,建立坐標系

分別以線段AB、AC所在的直線建立坐標軸(如圖8),過點D作DE⊥AB于E,不妨設(shè)B(2a,0),C(0,2a),因為∠DBE=30?,則所以CD2=所以A D=DC.

圖8

圖9

點評把幾何問題放在坐標系中解決,可以降低輔助線添加的難度.通過巧設(shè)坐標,常規(guī)計算來解決問題,這是高中“解析幾何”思想的體現(xiàn).學生在初高中接受的學習應是一個拾級而上的有機整體,初中階段教師在平時的教學中有意識地滲透一些解析幾何的思想,這將會使得后面進一步的學習水到渠成.

2.7 直接計算,利用三角函數(shù)

預備:Rt?ABC中,∠C=90?,∠A=15?,則sin 15?=.

作BE ⊥AD于E,DF ⊥BC于F(如圖9),不妨設(shè)AB=BD=4x,根據(jù)預備定理得DE=BD ·sin 15?=,則中,則Rt?CDF中由勾股定理計算得所以AD=CD.

點評15?或75?角的三角函數(shù)值是30?特殊角三角函數(shù)值的延伸,教師在平時的課堂教學中可以有所滲透但不作要求,學生能想到此法實屬意外.三角函數(shù)是三角形中邊角關(guān)系的橋梁,通過解含特殊角的直角三角形來證明線段相等,也是一種不錯的策略.

2.8 直接計算,利用正余弦定理

設(shè)AD=a,?ABD中用正弦定理得:,則.?ACD中用余弦定理得:CD=證得AD=DC.

點評正弦定理和余弦定理是三角形中體現(xiàn)邊角關(guān)系的重要定理,利用這兩個定理,可以不添加任何輔助線,直接計算證得兩條線段的相等,方便快捷.

3 拓展延伸

原題在一般性情況下的結(jié)論.

我們解決問題的目的是發(fā)現(xiàn)、提出新問題.學生提出,原題中當∠BAC=90?,必須要∠ABD=30?時才有AD=DC.如果∠BAC≠90?,對一般等腰?ABC內(nèi)部有一點D使得AB=AC=BD,那么∠ABD滿足怎樣的條件原結(jié)論才成立呢?經(jīng)過探索發(fā)現(xiàn),當∠BAC=α和∠ABD=β,滿足關(guān)系式時,原結(jié)論AD=DC始終成立.證明如下.

設(shè)AD=a,?BDA中由正弦定理得,則.若結(jié)論成立,則?ADC為等腰三角形,利用等腰三角形“三線合一”定理可求得底邊

又因為AB=AC,所以得到,即,將等式化解后得到.

特別地,當∠BAC=90?和∠ABD=30?時,為本文討論的特殊情形.

4 教學反思

在習題教學的活動中,合理利用多樣化解題策略,可以讓有效復習自然生成,主要體現(xiàn)在以下幾個方面:

4.1 以生為本,始于必然

面對一個新的問題,不同學生所具備的認知結(jié)構(gòu)、分析解決問題的能力是完全不同的,因此提倡解題策略多樣化顯得非常必要.以“題海戰(zhàn)術(shù)”為主的復習課,不能很好的發(fā)揮學生在學習過程中的主體地位,挫傷了學生學習的積極性.課堂教學不在于讓學生記住了多少知識,而在于它是否能夠激起學生學習的好奇心和求知欲.文中學生給出的多樣化解法和對新問題的研究,充分反映了他們強烈的探索精神和對數(shù)學學科的熱愛,體現(xiàn)了多樣化解題策略的利好之處.

4.2 以法串線,落實目標

習題千變?nèi)f化,但就轉(zhuǎn)換的思想而言,其實所有的數(shù)學問題都是運用所學過的知識加以解決的,問題是如何將所學的知識以恰當?shù)姆绞匠尸F(xiàn)給學生.本文將傳統(tǒng)復習課中的“知識梳理”環(huán)節(jié)隱形于多樣化解題的過程中,由一個問題出發(fā),以點帶面,通過不同解題策略的動態(tài)生成,把許多的性質(zhì)定理串聯(lián)在一起,達到了復習課知識點回顧、梳理、整合的目的.本文涉及圖形與幾何部分主要定理不下10 個,常規(guī)輔助線7 種,在解題中復習,可謂“隨風潛入夜,潤物細無聲”.

4.3 精講一題,弄通一類

本節(jié)課從一道題的多種解法探究出發(fā),收獲了“證明兩條線段相等”的常規(guī)方法,體會到“轉(zhuǎn)換化歸”、“數(shù)形結(jié)合”、“方程”等基本思想方法的重要性.解題是主要的教學活動,它貫穿在教師“教”和學生“學”的所有過程中.本文的做法可操作性強,在習題教學中教師只要注重選擇合適的例題來引領(lǐng)復習方向,承載復習內(nèi)容,就可以激發(fā)學生多角度思考問題,突破學生思維固化的局限,達到做一題會一類的效果,以此提高復習課學習效率.

4.4 凸顯思維,培養(yǎng)創(chuàng)新

解決問題的策略、方法和途徑是多種多樣的,《課程標準(2011年版)》強調(diào)了這種“多樣性”.多樣性解題策略促使學生從問題的不同角度切入,有利于學生發(fā)散性思維的培養(yǎng),學生在學習過程中的主體性地位保障了.不同的解法充分展示了學生的個性,個性化的培養(yǎng)即創(chuàng)新意識的培養(yǎng).創(chuàng)新意識不能靠教師教出來,只能是學生在課堂上親身經(jīng)歷、不斷積累而形成,這將有利于數(shù)學素養(yǎng)的逐步提升.