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        一類平面九次微分系統(tǒng)的廣義中心條件與極限環(huán)分支

        2020-09-04 00:36:16劉燦輝杜超雄
        關(guān)鍵詞:奇點(diǎn)三階水浴

        劉燦輝,杜超雄

        (長(zhǎng)沙師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙,410100)

        本文主要研究如下一類平面九次微分系統(tǒng)的廣義中心條件與極限環(huán)分支問(wèn)題:

        (1)

        其中:

        P0=y(3x4+12x5+20x6+16x7+6x2y2+56x3y2+104x4y2+72x5y2+3y4+12xy4+84x2y4+96x3y4+40xy6),

        P1=3x5+14x6+24x7+18x8+6x3y2+42x4y2+84x5y2+68x6y2+3xy4-6x2y4+32x3y4+72x4y4-2y6-28xy6+12x2y6-10y8,

        P2=5y(1+2x)3(x2+y2)2,

        P3=-5(1+2x)2(x+x2-y2)(x2+y2)2,δ,A10,B10∈R。

        平面多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的極限環(huán)分支問(wèn)題往往與Hilbert第16問(wèn)題緊密相關(guān)。對(duì)于n次系統(tǒng)分支出的極限環(huán)數(shù)目也稱之為Hilbert數(shù)。多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的Hilbert數(shù)的研究是一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題,SHI[1]得出二次多項(xiàng)式系統(tǒng)可分支出4個(gè)極限環(huán);YU等[2-3]得出三次系統(tǒng)的Hilbert數(shù)不少于12,LIU和LI[4]得出三次系統(tǒng)的Hilbert數(shù)不少于13,這是目前關(guān)于H(3)的最好結(jié)果。對(duì)于其他類型的微分系統(tǒng)的極限環(huán)分支問(wèn)題,研究結(jié)論眾多,如文獻(xiàn)[5-10]??赡苡捎谟?jì)算的復(fù)雜性,對(duì)于高次系統(tǒng)Hilbert數(shù)的研究結(jié)論相對(duì)較少。

        本文將著力于討論上面的九次系統(tǒng)的極限環(huán)分支問(wèn)題,并給出其同步Hopf分支的實(shí)例,得出該系統(tǒng)可以分支出15個(gè)極限環(huán),其中包含由4個(gè)初等奇點(diǎn)分支出的12個(gè)小振幅極限環(huán)和由無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)分支出的3個(gè)大振幅極限環(huán)。此外,還給出了其廣義中心條件。本文的結(jié)論是對(duì)現(xiàn)有結(jié)論的有益補(bǔ)充。

        1 焦點(diǎn)量的計(jì)算方法

        本文主要采用文獻(xiàn)[5]中關(guān)于焦點(diǎn)量的計(jì)算方法,具體如下。

        考慮以下Poincaré型實(shí)系統(tǒng):

        (2)

        系統(tǒng)(2)|δ=0經(jīng)變換

        (3)

        化為如下復(fù)系統(tǒng):

        (4)

        這里z,w和T為復(fù)變量且

        顯然,系統(tǒng)(4)的系數(shù)滿足共軛關(guān)系,即:aαβ與bαβ互為共軛復(fù)數(shù)。其中,

        α≥0,β≥0,α+β≥2,aαβ=Aαβ+iBαβ,bαβ=Aαβ-iBαβ。

        這里稱系統(tǒng)(2)|δ=0與(4)互為伴隨系統(tǒng),定義見(jiàn)文獻(xiàn)[5]。

        引理1[5]對(duì)系統(tǒng)(4),可逐項(xiàng)確定形式級(jí)數(shù):

        使得

        其中:μm是系統(tǒng)(4)原點(diǎn)的第m個(gè)奇點(diǎn)量,與系統(tǒng)(2)|δ=0用Poincaré形式級(jí)數(shù)法求得的第m個(gè)焦點(diǎn)量v2m+1有關(guān)系,v2m+1~iπμm,m=1,2,3…。

        在引理1中,記號(hào)“~”表示代數(shù)等價(jià),定義見(jiàn)文獻(xiàn)[5]。

        對(duì)充分小的h和ε,若h=h(ε)是Δ(h,ε)的1個(gè)零點(diǎn),則h=-r(π,h(ε),ε)也是Δ(h,ε)的1個(gè)零點(diǎn),從而在實(shí)域內(nèi)Δ(h,ε)的正負(fù)零點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)。

        基本條件1[5]存在自然數(shù)N,m和一串與ε無(wú)關(guān)的λ0,λ1…,λk…,使

        lm=0,λm≠0。

        引理3[5]對(duì)于系統(tǒng)(2)而言,

        1)若基本條件1成立,則系統(tǒng)(2)當(dāng)0<|ε|?1時(shí),在原點(diǎn)充分小的鄰域內(nèi)至多可由焦點(diǎn)或中心點(diǎn)擾動(dòng)出m個(gè)極限環(huán)。

        2)若基本條件1成立且基本條件1中λkλk-1<0,(k=1,2,…m),以及l(fā)k-1-lk>lk-lk+1,k=1,2,…,m-1,則當(dāng)0<|ε|?1時(shí),其弱分支函數(shù)L(h,ε)恰有m個(gè)正零點(diǎn),即

        相應(yīng)地,系統(tǒng)(2)的原點(diǎn)可分支出m個(gè)極限環(huán),其位置分別在圓x2+y2=(-λk-1/λk)εlk-1-lk的附近。

        2 系統(tǒng)(1)的廣義焦點(diǎn)量與廣義中心

        為了研究系統(tǒng)(1)的極限環(huán)分支問(wèn)題和廣義中心問(wèn)題,焦點(diǎn)量的計(jì)算顯得很關(guān)鍵。但是對(duì)于系統(tǒng)(1),其形式并不滿足系統(tǒng)(2)的標(biāo)準(zhǔn)形式,故無(wú)法直接利用系統(tǒng)(2)的焦點(diǎn)量的計(jì)算方法來(lái)進(jìn)行計(jì)算,因此,這里有必要先作幾個(gè)合適的變換。

        通過(guò)Bendixson倒徑變換

        (5)

        與時(shí)間變換

        dt=5(x2+y2)4dτ

        (6)

        系統(tǒng)(1)變成了如下的實(shí)系統(tǒng):

        (7)

        在變換公式(5)和(6)下,系統(tǒng)(1)的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和4個(gè)初等奇點(diǎn)

        對(duì)于系統(tǒng)(7),有下列結(jié)論。

        定理1系統(tǒng)(7)是一個(gè)關(guān)于點(diǎn)(-1,0)Z5等變對(duì)稱的多項(xiàng)式系統(tǒng)。

        證明系統(tǒng)(7)|δ=0在變換u=x-1,v=y下變成了如下系統(tǒng):

        (8)

        系統(tǒng)(8)在旋轉(zhuǎn)變換

        下保持不變,因此,系統(tǒng)(8)是關(guān)于原點(diǎn)Z5等變對(duì)稱的多項(xiàng)式系統(tǒng),它有5個(gè)關(guān)于原點(diǎn)等變對(duì)稱的具有相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的奇點(diǎn):

        又因?yàn)橄到y(tǒng)(8)是系統(tǒng)(7)在變換u=x-1,v=y下得到的,因此,系統(tǒng)(7)是一個(gè)關(guān)于點(diǎn)(-1,0)Z5等變對(duì)稱的多項(xiàng)式系統(tǒng)。證畢。

        Q 1:燃燒室輸出到水浴的熱量;Q 2:水浴傳遞給管程內(nèi)LNG的熱量;C:水的熱容;T 1:水浴溫度;T 2:管程LNG的溫度;R:水浴傳熱熱阻;Gp 1:主被控對(duì)象(NG出口溫度);Gp 2:副被控對(duì)象(水浴溫度);Gc1:主回路控制器;Gc2:副回路控制器;τ:副被控對(duì)象時(shí)滯;τ1:主控對(duì)象存在時(shí)滯;J(s):燃料氣的干擾;E(s):入口LNG的干擾;GE(s):入口LNG的傳遞函數(shù);Ge(s):前饋補(bǔ)償通道函數(shù);Y 1(s):主回路的輸出;Y 2(s):副回路的輸出。

        由于平移變換不改變系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),因此,研究系統(tǒng)(7)的原點(diǎn)和4個(gè)初等奇點(diǎn)的極限環(huán)分支與中心問(wèn)題,只需要先考慮系統(tǒng)(8)的5個(gè)相應(yīng)奇點(diǎn)的對(duì)應(yīng)性質(zhì),且在Bendixson倒徑變換下,系統(tǒng)(1)的分支行為和廣義中心條件與系統(tǒng)(7)是保持一致的。一般來(lái)說(shuō),中心問(wèn)題是相對(duì)于初等奇點(diǎn)來(lái)討論的,對(duì)于具有可積性的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)或者在初等變換下可化為可積的初等奇點(diǎn),可以稱之為廣義中心。那么,如果系統(tǒng)(8)的5個(gè)奇點(diǎn)是5個(gè)中心時(shí),系統(tǒng)(1)的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和4個(gè)初等奇點(diǎn)為5個(gè)廣義中心。相似地,由于系統(tǒng)(8)是系統(tǒng)(1)通過(guò)初等變換而得到,故系統(tǒng)(8)的奇點(diǎn)的焦點(diǎn)量可以稱為系統(tǒng)(1)的對(duì)應(yīng)奇點(diǎn)的廣義焦點(diǎn)量。

        為了研究系統(tǒng)(1)的極限環(huán)分支行為和中心焦點(diǎn)問(wèn)題,不妨先計(jì)算其廣義焦點(diǎn)量。通過(guò)變換:

        系統(tǒng)(8)變?yōu)?/p>

        (9)

        根據(jù)引理1的計(jì)算方法,可以得到系統(tǒng)(9)|δ=0的原點(diǎn)的前三階奇點(diǎn)量。

        定理2系統(tǒng)(1)的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和4個(gè)初等奇點(diǎn)的前三階廣義奇點(diǎn)量為系統(tǒng)(9)|δ=0原點(diǎn)的前三階奇點(diǎn)量,其表達(dá)式如下:

        由引理2~3和定理2,可以得到如下定理。

        定理3系統(tǒng)(1)的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和4個(gè)初等奇點(diǎn)的前三階廣義焦點(diǎn)量為系統(tǒng)(8)|δ=0原點(diǎn)的前三階焦點(diǎn)量,其表達(dá)式如下:

        分析定理3中焦點(diǎn)量的結(jié)構(gòu),可以知道以下結(jié)論。

        定理4系統(tǒng)(1)的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和4個(gè)初等奇點(diǎn)的前三階廣義焦點(diǎn)量為0(或者系統(tǒng)(8)|δ=0的原點(diǎn)的前三階焦點(diǎn)量為0)的必要條件是B10=0。

        焦點(diǎn)量為0是奇點(diǎn)成為中心的必要條件,有必要找出其充分條件。進(jìn)一步可證明定理4中的條件也將成為系統(tǒng)(1)的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和4個(gè)初等奇點(diǎn)成為廣義中心的充要條件。

        定理5系統(tǒng)(7)|δ=0的5個(gè)初等奇點(diǎn)為同步中心的充要條件是B10=0。

        證明根據(jù)定理4知道,必要條件顯然成立。

        下面證明充分性。當(dāng)B10=0時(shí),系統(tǒng)(7)|δ=0變成了

        (10)

        系統(tǒng)(10)有如下形式的通積分:

        3(10u2+45u3+60u4+29u5+5u6+40v2+145uv2+70u3v2+15u4v2+25uv4+15u2v4+5v6)+3iv(v4-10u2v2+15v2+5u4-45u2-30u)+25A10(3u2+7u3+12u4+6u5+u6-3v2+3uv2+12u2v2+12u3v2+3u4v2+v6)-25iA10v(-6u+3u2-v2)=C(C為常數(shù))。

        因此,當(dāng)B10=0時(shí),系統(tǒng)(7)|δ=0的5個(gè)初等奇點(diǎn)為同步中心。證畢。

        進(jìn)一步,由于系統(tǒng)(7)是系統(tǒng)(1)通過(guò)變換公式(5)和(6)得到的,因此,有如下結(jié)論。

        定理6系統(tǒng)(1)|δ=0的4個(gè)初等奇點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為5個(gè)同步中心的充要條件是B10=0。

        3 系統(tǒng)(1)的極限環(huán)分支

        上面的計(jì)算已經(jīng)得出系統(tǒng)(1)的前三階焦點(diǎn)量表達(dá)式,下面考慮其極限環(huán)分支問(wèn)題。

        (11)

        證明在上面形式的擾動(dòng)下,系統(tǒng)(7)的5個(gè)細(xì)焦點(diǎn)的焦點(diǎn)量分別為

        v1(2π,ε,δ)=c0ε6+o(ε6),

        v3(2π,ε,δ)=c1ε4+o(ε4),

        v5(2π,ε,δ)=c2ε2+o(ε2),

        v7(2π,ε,δ)=c3+o(1),

        d(εh)=r(2π,εh)-εh=

        (v1(2π,ε,δ)-1)εh+v2(2π,ε,δ)(εh)2+v3(2π,ε,δ)(εh)3+…=

        πε7h[g(h)+εhG(h,ε)]

        (12)

        其中:g(h)=c0+c1h2+c2h4+c3h6=c3(h2-1)(h2-4)(h2-9)。

        根據(jù)(12)和隱函數(shù)存在定理,d(εh)有3個(gè)簡(jiǎn)單正零點(diǎn),它們靠近g(h)的零點(diǎn)1,2,3。因此,系統(tǒng)(8)的原點(diǎn)可以分支出3個(gè)極限環(huán),這3個(gè)極限環(huán)分布在圓u2+v2=m2ε2(m=1,2,3)的周圍。證畢。

        由系統(tǒng)(1)與系統(tǒng)(7)及系統(tǒng)(8)的關(guān)系,可以得到下面定理。

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