王靖岳，劉 寧，王浩天

(1. 沈陽理工大學(xué)汽車與交通學(xué)院,沈陽 110159；2.重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶 400044；3.沈陽航空航天大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院,沈陽 110136)

齒輪系統(tǒng)在傳動(dòng)過程中嚙合副之間不可避免存在摩擦,同時(shí)齒面摩擦的時(shí)變性也是系統(tǒng)振動(dòng)的重要激勵(lì)源,而對于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的行星齒輪系統(tǒng)其非線性特性也更加復(fù)雜,吸引了中外大量學(xué)者對齒輪系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行研究。

Kahraman等[1]首先將間隙和剛度非線性因素耦合一起分析齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。在此基礎(chǔ)上,摩擦與其他非線性因素也被考慮到齒輪建模中,尹樁等[2]建立包含齒面沖擊和摩擦的單自由度齒輪模型,分析嚙合力的變化對系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響。張笑等[3]在考慮摩擦因素的基礎(chǔ)上,又在齒輪建模時(shí)考慮了溫度效應(yīng),分析齒輪系統(tǒng)的非線性特性。劉志宇等[4]基于單對齒輪副的彎扭耦合模型,分析系統(tǒng)隨各種參數(shù)變化時(shí),齒面摩擦對系統(tǒng)分岔特性的影響。劉曉潔等[5]以動(dòng)力學(xué)分析軟件為途徑,研究不同摩擦系數(shù)下雙圓弧齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性能。

針對行星齒輪系統(tǒng),朱恩涌等[6]通過庫倫摩擦力,推導(dǎo)出包含摩擦力的行星齒輪微分方程組,只是簡單得到不同摩擦系數(shù)下系統(tǒng)振動(dòng)位移曲線,并進(jìn)行了對比分析。郇立榮等[7]針對含故障的行星齒輪系統(tǒng),以隨機(jī)風(fēng)載為激勵(lì)源分析齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。Zhao等[8]建立具有兩個(gè)行星齒輪級和一個(gè)平行齒輪級的風(fēng)力機(jī)齒輪箱的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型,得出外部激勵(lì)對風(fēng)力機(jī)齒輪箱扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響最大。Xiang等[9]建立了由行星齒輪和兩個(gè)平行齒輪組成的多級齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性扭轉(zhuǎn)模型,得出該系統(tǒng)具有豐富的非線性動(dòng)力學(xué)特征,如周期運(yùn)動(dòng)、非周期運(yùn)動(dòng)和混沌狀態(tài)。Hou等[10]以發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象,建立行星齒輪-轉(zhuǎn)子非線性動(dòng)力學(xué)模型,得出系統(tǒng)同樣具有豐富的非線性行為,但是以上行星齒輪建模并沒有考慮摩擦因素。

基于以上研究,齒面摩擦對行星齒輪分岔特性影響的研究很少。本文建立行星齒輪扭轉(zhuǎn)模型,建模時(shí)在考慮齒隙、剛度等基本非線性因素基礎(chǔ)上,也考慮了齒面摩擦,以不同摩擦系數(shù)為切入點(diǎn),利用分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖(largest Lyapunov exponent,LLE)分析系統(tǒng)分岔與混沌特性,用Poincaré截面圖、相圖、時(shí)間歷程圖和頻譜圖進(jìn)一步說明摩擦對行星齒輪系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性的影響。

1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

如圖1所示,采用集中質(zhì)量法建立行星齒輪扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型,各嚙合齒面間以彈簧-阻尼系統(tǒng)連接,同類型構(gòu)件齒隙、綜合誤差相同。

c代表行星架；r代表齒圈；s代表太陽輪；pn代表第n個(gè)行星輪(n=1,2,…,N)；uc、ur、us、un分別表示行星架、齒圈、太陽輪、第n個(gè)行星輪的扭轉(zhuǎn)位移圖1 行星齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Dynamic model of planetary gear system

采用牛頓定律建立行星齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)微分方程:

(1)

式(1)中：j=s、c、r、n,i=sn、rn,sn為外嚙合副,rn為內(nèi)嚙合副；Ij為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；rj為基圓半徑；Fi為動(dòng)態(tài)嚙合力；fi為摩擦力；Li為摩擦力臂；T1為輸入扭矩；T2為輸出扭矩。

嚙合線上輪齒相對位移函數(shù)(圖2)可以表示為

(2)

式(2)中:δi為齒輪副嚙合點(diǎn)的相對位移；bi為齒側(cè)間隙的一半。

圖2 齒側(cè)間隙非線性函數(shù)Fig.2 Nonlinear function of backlash

齒面間摩擦力公式可以表示為

fi=λiμFi

(3)

式(3)中:μ為摩擦系數(shù)；Fi為輪齒間嚙合力；λi為摩擦力方向系數(shù)[12],其定義為

(4)

式(4)中:Lp為主動(dòng)齒輪p的時(shí)變摩擦力臂；rp為主動(dòng)齒輪p的基圓半徑；α為壓力角,x=Lp-rptanα。 以外嚙合齒輪副為例進(jìn)行分析,圖3為齒輪外嚙合過程,隨著齒輪嚙入,到達(dá)理論嚙合點(diǎn)P,摩擦力方向改變,嚙合點(diǎn)到達(dá)B2,新的輪齒嚙入。N1N2為理論嚙合線長度,B1B2為實(shí)際嚙合線長度,rs、rn為太陽輪和行星輪基圓半徑,ras、ran為太陽輪和行星輪齒頂圓半徑,忽略齒輪接觸時(shí)的嚙入嚙出變形[12-13],則太陽輪與行星輪之間的摩擦力臂為

(5)

式(5)中:Lsn(t)為相對于太陽輪的力臂；Lns(t)為相對于行星輪的力臂；εsn為外嚙合副的齒輪重合度系數(shù)；Spb為基圓齒距。

同理,內(nèi)齒圈和行星輪之間的摩擦力臂為

(6)

式(6)中:Lrn(t)相對于內(nèi)齒圈的力臂；Lnr(t)相對于行星輪的力臂；εrn為內(nèi)嚙合副的齒輪重合度系數(shù)；rar為內(nèi)齒圈齒根圓半徑；rr為內(nèi)齒圈基圓半徑。

圖3 齒輪副外嚙合示意圖Fig.3 Schematic diagram of external gear pair

為了消除剛體位移和使系統(tǒng)方程數(shù)目減少實(shí)現(xiàn)降維,引入內(nèi)外嚙合副的相對位移δ,太陽輪、內(nèi)齒圈分別相對于行星輪產(chǎn)生的相對位移為

(7)

(8)

2 齒面摩擦對系統(tǒng)分岔特性的影響分析

采用Runge-Kutta數(shù)值方法求解行星齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程,以太陽輪和行星輪的相對位移δsn為例進(jìn)行分析。行星齒輪系統(tǒng)的基本參數(shù)如表1所示[14],選取系統(tǒng)的基準(zhǔn)參數(shù):剛度系數(shù)k=0.25,內(nèi)嚙合副平均剛度ksnav=4.37×108N/m,外嚙合副平均剛度krnav=5.65×108N/m,剛度初始相位φi=0,誤差初始相位γi=0,誤差幅值Ei=3 μm,阻尼比ζ=0.088,扭矩T1=100 N·m,間隙bi=50 μm,行星輪個(gè)數(shù)n=3。

表1 行星齒輪系統(tǒng)基本參數(shù)

當(dāng)μ分別為0、0.1和0.2時(shí),以無量綱激勵(lì)頻率Ω為分岔參數(shù),系統(tǒng)的分岔圖和LLE圖如圖4所示。

圖4 系統(tǒng)隨Ω變化的分岔圖和LLE圖Fig.4 Bifurcation diagram and LLE diagram of the system with Ω

從圖4(a)中可以看出,隨著Ω的增加,系統(tǒng)首先經(jīng)歷周期運(yùn)動(dòng),經(jīng)Hopf分岔和激變進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng),之后經(jīng)過逆倍化分岔再次進(jìn)入周期運(yùn)動(dòng)。當(dāng)Ω在[0, 1.14]區(qū)間時(shí),系統(tǒng)主要為周期運(yùn)動(dòng),伴有一段短暫的混沌運(yùn)動(dòng),對應(yīng)的LLE主要在負(fù)值區(qū)域；當(dāng)Ω在[1.14, 1.52]區(qū)間時(shí),系統(tǒng)為混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài),LLE為正；當(dāng)Ω在[1.52, 4]區(qū)間時(shí),系統(tǒng)主要為周期運(yùn)動(dòng),伴隨短暫的混沌運(yùn)動(dòng),對應(yīng)LLE圖為在正值區(qū)域有幾處尖峰。

對比圖4(a)、圖4(b)可以看出,當(dāng)考慮齒面摩擦?xí)r,在低頻區(qū)域,系統(tǒng)的分岔行為基本沒有改變,說明摩擦對低頻區(qū)域影響較??；在高頻區(qū)域,系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變,分岔行為變得模糊,同時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)榉欠€(wěn)定的混沌運(yùn)動(dòng),導(dǎo)致混沌區(qū)域增加,這說明摩擦對高頻區(qū)域影響較大。

從圖4可以看出,隨著摩擦系數(shù)的增加,在低頻區(qū)域,系統(tǒng)混沌區(qū)域夾雜的周期窗口消失；在高頻區(qū)域,系統(tǒng)的多倍周期運(yùn)動(dòng)減少,混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)域增加的更多,進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)的臨界頻率提前,對應(yīng)LLE圖中正值區(qū)域增加,混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)域增加。

這是由于系統(tǒng)轉(zhuǎn)速較低時(shí),摩擦的遲滯效應(yīng)表現(xiàn)不明顯,當(dāng)轉(zhuǎn)速增大到一定臨界值時(shí),摩擦遲滯效應(yīng)明顯,增加了嚙合齒面間的嚙合力的波動(dòng),導(dǎo)致系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不穩(wěn)定(混沌運(yùn)動(dòng))。同時(shí)系統(tǒng)退出混沌運(yùn)動(dòng)的臨界點(diǎn)沒有改變,進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)的臨界點(diǎn)提前,最終導(dǎo)致系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)間增加。

結(jié)合Poincaré截面圖、相圖、時(shí)域圖和頻譜圖,進(jìn)一步說明摩擦對系統(tǒng)隨Ω變化的影響,取無量綱激勵(lì)頻率Ω為2.32,當(dāng)μ=0時(shí),系統(tǒng)為8周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài),如圖5所示；當(dāng)μ分別為0.1和0.2時(shí),系統(tǒng)為混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài),如圖6、圖7所示。

圖5 μ=0時(shí),系統(tǒng)的8周期運(yùn)動(dòng)Fig.5 The 8-period motion of the system with μ=0

圖6 當(dāng)μ=0.1時(shí),系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)Fig.6 Chaotic motion of the system with μ=0.1

圖7 當(dāng)μ=0.2時(shí),系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)Fig.7 Chaotic motion of the system with μ=0.2

對比圖5，從圖6中可以看出,系統(tǒng)Poincaré截面圖上的8個(gè)離散點(diǎn)變?yōu)槊芗碾x散點(diǎn)集；相圖顯示為相軌跡無規(guī)則循環(huán)纏繞；時(shí)間歷程圖呈現(xiàn)出系統(tǒng)響應(yīng)為幅值跳躍的非周期運(yùn)動(dòng),振動(dòng)位移幅值減?。活l譜圖顯示為基頻和分頻處存在尖峰,伴隨明顯的噪聲背景。對比圖6、圖7可以看出,系統(tǒng)Poincaré截面圖上混沌吸引子更加發(fā)散；相軌跡在相空間的范圍稍有減少；系統(tǒng)振動(dòng)位移幅度也減??；功率譜中基頻幅值功率降低。

3 結(jié)論

建立考慮齒面摩擦、綜合誤差和齒隙等非線性因素的行星齒輪扭轉(zhuǎn)振動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型,采用Runge-Kutta數(shù)值方法,研究了系統(tǒng)隨激勵(lì)頻率變化時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和分岔行為,同時(shí)分析齒面摩擦對系統(tǒng)分岔特性的影響,得出以下結(jié)論。

(1)行星齒輪系統(tǒng)的分岔特性復(fù)雜多變,同時(shí)存在Hopf分岔、跳躍激變、倍化分岔和逆倍化分岔行為。

(2)考慮齒面摩擦?xí)r,在低頻區(qū)域,摩擦對系統(tǒng)的分岔行為影響較小；在高頻區(qū)域,系統(tǒng)分岔行為變得模糊,混沌區(qū)域增加,摩擦對高頻區(qū)域影響較大。

(3)隨著摩擦系數(shù)的增加,系統(tǒng)在低頻區(qū)域的周期窗口消失和高頻區(qū)域的多倍周期運(yùn)動(dòng)區(qū)域減少,系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)間增加。