王棟

（陜西省鐵道及地下交通工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（中鐵一院），西安 710043）

邊坡穩(wěn)定性分析的主要難點(diǎn)之一在于眾多參數(shù)的不確定性及其相應(yīng)影響難以量化。為清晰量化各不確定性與邊坡穩(wěn)定性的關(guān)系，自20 世紀(jì)90 年代以來(lái)，可靠度理論逐漸被引入巖土工程領(lǐng)域，并廣泛應(yīng)用在邊坡可靠度分析上。文獻(xiàn)［1］利用隨機(jī)場(chǎng)理論分析了三維土質(zhì)邊坡的可靠度。文獻(xiàn)［2］綜合模糊理論以及統(tǒng)計(jì)知識(shí)分析了邊坡的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［3-6］利用有限元理論研究了邊坡的穩(wěn)定性，并考慮了土體的空間變異。文獻(xiàn)［7-8］利用光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)方法、物質(zhì)點(diǎn)法從概率角度分析了邊坡穩(wěn)定性。由于基于有限元的邊坡可靠度分析計(jì)算較為緩慢，一些學(xué)者提出了代理模型加速這一分析過程［9-12］。

只有在巖土體參數(shù)統(tǒng)計(jì)特征估計(jì)準(zhǔn)確的前提之下，才能正確地進(jìn)行邊坡可靠度分析。這通常需要較多的巖土參數(shù)試驗(yàn)。然而，鐵路工程在初測(cè)階段用于邊坡勘察的鉆孔較少，巖芯數(shù)量不多，巖土參數(shù)如摩擦角、有效黏聚力等試驗(yàn)數(shù)據(jù)通常較為稀少［13］。此情形下，巖土參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量（如均值、標(biāo)準(zhǔn)差等）與真實(shí)值一般相差較大［14］。這種不確定性會(huì)進(jìn)一步傳遞并直接影響后續(xù)的邊坡可靠度分析結(jié)果。

自助抽樣法［15-16］是一種可以量化統(tǒng)計(jì)量不確定性的方法，可以避開眾多假設(shè)，如試驗(yàn)數(shù)據(jù)的高斯假設(shè)等，且操作簡(jiǎn)單。該方法由 Efron［17］于 1979 年正式提出，在 20 世紀(jì) 90 年得到快速發(fā)展，并于近 20～30 年在多個(gè)領(lǐng)域得到快速應(yīng)用，如巖土參數(shù)均值、方差、相關(guān)系數(shù)等不確定性的量化［18］、巖土邊坡可靠度分析等［19］。唐小松等［19］探索了自助抽樣法在邊坡可靠度中的應(yīng)用，其主要聚焦在巖土參數(shù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)巖土參數(shù)概率分布形式以及邊坡可靠度的影響。本文主要聚焦在巖土參數(shù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的數(shù)量對(duì)邊坡可靠度的影響，并通過大量計(jì)算給出自助抽樣法的適用范圍。

本文首先介紹了一個(gè)邊坡模型以及常用的可靠度計(jì)算方法，尤其是蒙特卡洛方法。其次，簡(jiǎn)要介紹了自助抽樣法以及如何運(yùn)用它進(jìn)行巖土參數(shù)統(tǒng)計(jì)量如均值、方差統(tǒng)計(jì)不確定性的量化。之后，結(jié)合蒙特卡洛法以及巖土參數(shù)均值、方差的任一組合，計(jì)算某給定邊坡的可靠度與失穩(wěn)概率，從而量化出邊坡可靠度指標(biāo)、失穩(wěn)概率的置信區(qū)間。最后，以一案例闡釋所提方法的有效性，并通過大量數(shù)值計(jì)算界定該方法的適用范圍。

1 邊坡模型與可靠度計(jì)算方法

選取一經(jīng)典的邊坡模型為研究對(duì)象，相應(yīng)幾何參數(shù)及滑動(dòng)面如圖1所示。該模型來(lái)自于Baecher等［20］，其經(jīng)常應(yīng)用在可靠度分析研究中［21］。和文獻(xiàn)［21］保持一致，本文主要研究邊坡土體重度γ、黏聚力c′、土體有效摩擦角φ′或其正切函數(shù)tanφ′的變異性對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響。所有巖土參數(shù)假定不相關(guān)。根據(jù)文獻(xiàn)［20］，該邊坡的安全裕度M計(jì)算式為

圖1 邊坡模型示意

式中：H為坡高；ψ為邊坡的坡角；θ為滑動(dòng)面與水平面夾角。

當(dāng)M＜0時(shí)，認(rèn)為該邊坡失穩(wěn)。

為了量化巖土參數(shù)的變異性，本文認(rèn)定邊坡巖土參數(shù)如γ，c′，tanφ′均為正態(tài)隨機(jī)變量。γ的均值μ、標(biāo)準(zhǔn)差σ分別假定為 22.0，4.4 kN/m3；c′的μ，σ分別為5.0，2.0 kPa；tanφ′的μ，σ分別為0.58，0.14。隨機(jī)場(chǎng)模型亦可用來(lái)量化巖土參數(shù)的變異性，它可以清晰考慮巖土參數(shù)在空間的自相關(guān)性。然而，該模型數(shù)學(xué)上更加復(fù)雜，不利于工程師的理解，同時(shí)也不利于本文自助抽樣法的展開。

一旦邊坡巖土參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量（如均值、標(biāo)準(zhǔn)差）確定，即可根據(jù)眾多方法進(jìn)行邊坡的可靠度分析，如FORM，SORM 以及蒙特卡洛方法［20，22］。由于操作的便易性，本文采用蒙特卡洛法進(jìn)行說(shuō)明。具體步驟如下：①?gòu)慕o定概率分布生成大量（如107個(gè)）γ，c′以及tanφ′的隨機(jī)樣本；②將生成的樣本分別代入式（1）中；③計(jì)算M的均值（μM）及標(biāo)準(zhǔn)差（σM），進(jìn)而計(jì)算邊坡可靠度指標(biāo)β=μM/σM。④統(tǒng)計(jì)nMC=107次計(jì)算中M＜0 的次數(shù)nf，計(jì)算該邊坡失穩(wěn)概率為pf=nf/nMC。利用各巖土參數(shù)統(tǒng)計(jì)量真值，按照上述蒙特卡洛法可以計(jì)算出該邊坡真正可靠度指標(biāo)βT=2.47 以及真正失穩(wěn)概率=0.004 98。

實(shí)際工程中，巖土參數(shù)如γ，c′以及tanφ′的均值以及標(biāo)準(zhǔn)差皆是未知，均由相應(yīng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)估計(jì)而來(lái)。為了說(shuō)明并量化數(shù)據(jù)稀少對(duì)最終邊坡可靠度分析的影響，本文以γ，c′以及tanφ′的統(tǒng)計(jì)量真值為基礎(chǔ)，模擬產(chǎn)生γ，c′以及tanφ′的“試驗(yàn)”數(shù)據(jù)（見表1），以此作為實(shí)際中的測(cè)量數(shù)據(jù)并進(jìn)行邊坡的可靠度分析并探討樣本量n對(duì)結(jié)果的影響。

以表 1 中前n=7 個(gè)γ，c′以及 tanφ′試驗(yàn)數(shù)據(jù)為例。根據(jù)這n=7 個(gè)“試驗(yàn)”數(shù)據(jù)可以分別估計(jì)出γ，c′以及tanφ′的均值及標(biāo)準(zhǔn)差，見表2?？芍?，各巖土參數(shù)均值估計(jì)相對(duì)準(zhǔn)確。然而，各巖土參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)存在較大誤差，最大可達(dá)近30%。這種不準(zhǔn)確性是由于巖土“試驗(yàn)”數(shù)據(jù)相對(duì)稀少造成，又稱“統(tǒng)計(jì)不確定性”，其進(jìn)而會(huì)傳遞給基于表2 統(tǒng)計(jì)量的邊坡可靠度分析結(jié)果。例如，基于表2 中各巖土參數(shù)的估計(jì)均值、標(biāo)準(zhǔn)差，可以產(chǎn)生nMC=107個(gè)γ，c′以及tanφ′的樣本。進(jìn)而利用蒙特卡洛法計(jì)算得到nMC個(gè)該邊坡的安全裕度M值并構(gòu)建起其對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)（圖2）。圖2 同時(shí)涵蓋了基于n=7 個(gè)小樣本“試驗(yàn)”數(shù)據(jù)所得到估計(jì)的邊坡可靠度指標(biāo)βe=2.07 與估算的失穩(wěn)概率0.016 1。估計(jì)的可靠度指標(biāo)、失穩(wěn)概率與真值相比，存在16.19%以及223.29%的相對(duì)誤差。由于邊坡失穩(wěn)帶來(lái)的危害巨大，準(zhǔn)確估計(jì)其失穩(wěn)風(fēng)險(xiǎn)至關(guān)重要。

第三，現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)管理學(xué)理論與實(shí)踐結(jié)合緊密有利于個(gè)人能力發(fā)展。學(xué)習(xí)本專業(yè)的學(xué)生不僅可以掌握比較全面地、系統(tǒng)地掌握管理科學(xué)和經(jīng)濟(jì)科學(xué)方面的基本理論；掌握經(jīng)濟(jì)管理的專業(yè)知識(shí)、基本技能；具備良好的計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力和經(jīng)濟(jì)應(yīng)用文寫作能力；具有一定的外語(yǔ)水平；熟悉國(guó)家有關(guān)方針政策和法規(guī)；而且還具備了社會(huì)經(jīng)濟(jì)調(diào)查和組織協(xié)調(diào)的基本能力，更能深刻地分析、有效地解決經(jīng)濟(jì)管理中的各種問題。對(duì)于個(gè)人今后的發(fā)展有很大幫助。

表1 模擬的巖土參數(shù)“試驗(yàn)數(shù)據(jù)”

表2 利用n=7個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)估計(jì)的參數(shù)均值及標(biāo)準(zhǔn)差

2 自助抽樣法與統(tǒng)計(jì)量的不確定性

自助抽樣法屬于重新抽樣方法的一種，旨在簡(jiǎn)單、有效得解決統(tǒng)計(jì)推斷中數(shù)據(jù)稀少所帶來(lái)的不確定性問題。下文以量化巖土試樣參數(shù)x（x=γ，c′，tanφ′）的均值、標(biāo)準(zhǔn)差的統(tǒng)計(jì)不確定性來(lái)具體闡述自助抽樣法的具體步驟。

圖2 基于n=7個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的M的概率密度函數(shù)

2.1 問題簡(jiǎn)述

現(xiàn)已獲得了n個(gè)巖土試樣參數(shù)x（x=γ，c′，tanφ′）值，記為x1，x2，…，xn?；谶@n個(gè)x試驗(yàn)測(cè)量值，可以直接計(jì)算其均值以及標(biāo)準(zhǔn)差，即

盡管可以根據(jù)式（2）以及n個(gè)x試驗(yàn)數(shù)據(jù)直接獲得其均值與標(biāo)準(zhǔn)差，然而所得結(jié)果是否準(zhǔn)確仍有待解答。這是典型的統(tǒng)計(jì)推斷問題。該問題可以從經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)理論獲得一定答案。通常需要較多的數(shù)學(xué)假設(shè)以及公式推導(dǎo)，因此對(duì)工程師提出較高的統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)要求。本文利用自助抽樣法，借助計(jì)算機(jī)，繞過諸多數(shù)據(jù)假設(shè)簡(jiǎn)單有效地實(shí)現(xiàn)這一目的。

2.2 具體步驟

步驟1從現(xiàn)有n個(gè)巖土參數(shù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)xi（i=1，2，…，n）中隨機(jī)抽出1 個(gè)數(shù)據(jù)，記為′，該數(shù)據(jù)可能是xi中的任何一個(gè)。

步驟2將步驟1 重復(fù)n次即可得到n個(gè)新的數(shù)據(jù)，記為

步驟4將步驟1 到步驟3 重復(fù)多次，如N次即可獲得N個(gè)x的均值及標(biāo)準(zhǔn)差，即N的取值對(duì)結(jié)果稍有影響，但隨著N增大，結(jié)果趨于穩(wěn)定。為了避免N的影響，本文將N取為1 000，此時(shí)所得結(jié)果已經(jīng)基本穩(wěn)定。

步驟 5利用所得可以分別構(gòu)建其相應(yīng)的直方圖與置信區(qū)間（如90%置信區(qū)間）。如基于上述步驟，以及n=7個(gè)tanφ′試驗(yàn)值（即表1前7組數(shù)據(jù)），構(gòu)建了tanφ′均值的直方圖，見圖3。利用圖3 可得tanφ′均值90%置信區(qū)間為［0.50，0.71］。圖3 及上述90%置信區(qū)間反應(yīng)出利用n=7 個(gè)tanφ′試驗(yàn)數(shù)據(jù)估計(jì)其均值的可靠性。同理，可以利用步驟1—步驟5定量評(píng)價(jià)估計(jì)tanφ′標(biāo)準(zhǔn)差以及γ，c′的均值與標(biāo)準(zhǔn)差的統(tǒng)計(jì)不確定性。

圖3 基于自助抽樣法tanφ′均值的直方圖

為進(jìn)一步闡述、量化巖土參數(shù)統(tǒng)計(jì)量估計(jì)不確定性對(duì)邊坡可靠度、概率分析的影響，結(jié)合蒙特卡洛法以及自助抽樣法，按照?qǐng)D4評(píng)估邊坡可靠度分析的可靠性。

圖4 基于自助抽樣法邊坡可靠度分析流程

3 案例說(shuō)明

為了說(shuō)明基于自助抽樣法評(píng)估邊坡可靠度分析結(jié)果，探討利用n=7 試驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)邊坡的可靠度分析結(jié)果，即圖2。具體如下：①獲得n=7 組γ，c′，tanφ′的試驗(yàn)數(shù)據(jù)；②根據(jù)自助抽樣法步驟1—步驟3 及試驗(yàn)數(shù)據(jù)，獲得各參數(shù)的均值及標(biāo)準(zhǔn)差；③利用所得各巖土參數(shù)均值及標(biāo)準(zhǔn)差，分別產(chǎn)生nMC=107個(gè)樣本并利用蒙特卡洛法計(jì)算邊坡失穩(wěn)概率為以及可靠度指標(biāo)β，記為④重復(fù)①到③直到j(luò)=N。本文N=1 000。⑤得到N=1 000 個(gè)該邊坡的值，進(jìn)而構(gòu)建其相應(yīng)的直方圖并獲得相應(yīng)的置信區(qū)間，如90%置信區(qū)間。

如利用表1中前n=7組γ，c′，tanφ′的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到邊坡（圖1）的可靠度指標(biāo)估計(jì)值βe的直方圖（圖5）以及其90%的置信區(qū)間為［1.58，3.62］。顯然，該區(qū)間包含了該邊坡可靠度指標(biāo)的真值，即βT=2.47。同理，可得該邊坡的失穩(wěn)概率90%置信區(qū)間為［5.0×10-4，5.4×10-2］。同樣的，該置信區(qū)間包含了該邊坡失穩(wěn)概率的真值，即

圖5 基于自助抽樣法邊坡可靠度的直方圖

根據(jù)n=7 組γ，c′，tanφ′的試驗(yàn)數(shù)據(jù)所得邊坡可靠度分析結(jié)果不太準(zhǔn)確，根據(jù)自助抽樣法結(jié)合蒙特卡洛法卻可以有效推理出邊坡可靠度以及失穩(wěn)概率真值的變化范圍。這為評(píng)估邊坡可靠度分析結(jié)果的可靠性提供了定量科學(xué)依據(jù)。

4 討論及驗(yàn)證

4.1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)數(shù)量n的影響

為探討n對(duì)結(jié)果的具體影響，本小節(jié)探討了在4 種（n=7，15，30，50）不同情形下邊坡（圖1）可靠度指標(biāo)估計(jì)值βe與估計(jì)失穩(wěn)概率的變化范圍。n=7，15，30，50分別對(duì)應(yīng)表1中前n組數(shù)據(jù)。對(duì)于每一種n的情形，均可按照第3 章所述流程得到N=1 000 個(gè)βe與值，并構(gòu)建其90%置信區(qū)間，所得結(jié)果見圖6?？芍S著n逐漸增大，所得βe的90%置信區(qū)間逐漸縮窄，并趨向于可靠度指標(biāo)真值βT；該觀測(cè)結(jié)果同樣適用于邊坡失穩(wěn)概率。這說(shuō)明隨著巖土參數(shù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)n增大，巖土參數(shù)統(tǒng)計(jì)量估計(jì)時(shí)的統(tǒng)計(jì)不確定性逐漸降低，而相應(yīng)所計(jì)算的邊坡可靠度結(jié)果的可靠性與準(zhǔn)確性逐漸提升。

圖6 試驗(yàn)數(shù)據(jù)數(shù)量n的影響

4.2 適用范圍探究

給定n個(gè)γ，c′，tanφ′的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，根據(jù)本文所提方法，可以得到邊坡可靠度系數(shù)、失穩(wěn)概率90%置信區(qū)間。這意味著邊坡可靠度系數(shù)、失穩(wěn)概率真值90%的概率會(huì)落在該置信區(qū)間。因此，可以從能否達(dá)到這一目標(biāo)來(lái)判斷所提方法的適用范圍。

針對(duì)n=3，5，7，10，15，30，50 個(gè)“試驗(yàn)”數(shù)據(jù)情形中每一種情形，分別進(jìn)行了100次計(jì)算，并統(tǒng)計(jì)可靠度系數(shù)、失穩(wěn)概率真值落在所量化90%置信區(qū)間的次數(shù)，具體結(jié)果見表3。即便當(dāng)只有n=5組試驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，根據(jù)文中所提方法計(jì)算的90%置信區(qū)間有超過70%的概率包含邊坡可靠度系數(shù)、失穩(wěn)概率真值。當(dāng)n≤3時(shí)，本文所提方法應(yīng)謹(jǐn)慎使用。

表3 100次計(jì)算中β與pf真值落在90%置信區(qū)間的次數(shù)

5 結(jié)語(yǔ)

1）本文的方法可以量化巖土參數(shù)均值、標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)時(shí)的統(tǒng)計(jì)不確定性；可以量化這種不確定性對(duì)邊坡可靠度分析帶來(lái)的影響。相比傳統(tǒng)的可靠度分析，該方法可以量化邊坡可靠度指標(biāo)、失穩(wěn)概率的置信區(qū)間。

2）通過大量計(jì)算文中確定了所提方法的適用范圍。當(dāng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)n≥5 時(shí)，所提方法可以較好地確定邊坡可靠度分析結(jié)果的準(zhǔn)確性；當(dāng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)n≤3 時(shí)，文中所提方法應(yīng)謹(jǐn)慎使用。