李升波*，王志濤，鄭洋，楊殿閣，游科友

1. 引言

近年來，由于理論突破和工程應(yīng)用，多智能體系統(tǒng)協(xié)同控制受到諸多研究關(guān)注。協(xié)同控制的主要研究問題包括趨同控制[1]、交會控制[2]、群集控制和隊列控制[3]。由于其高效性和可靠性，協(xié)同控制得到了廣泛應(yīng)用，如車輛隊列、多無人機（unmanned aerial vehicle,UAV）隊列、協(xié)同裝配系統(tǒng)[4]和傳感器網(wǎng)絡(luò)[5,6]等領(lǐng)域。

一個核心問題是當(dāng)每個智能體僅利用鄰域智能體的局部信息時，如何設(shè)計分布式控制律以保持多智能體系統(tǒng)穩(wěn)定性及一致性[7]。拉普拉斯圖在描述交互拓撲結(jié)構(gòu)和分析多智能體系統(tǒng)的穩(wěn)定性方面起著重要作用[8,9]。Olfati-Saber等[10,11]將多智能體系統(tǒng)的每個智能體建模為單積分器，提出了利用拉普拉斯圖證明穩(wěn)定性的理論框架。通過將該框架擴展到雙積分器系統(tǒng)，Ren等[12,13]從圖論的角度給出了多智能體系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件，利用約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型變換來分析閉環(huán)矩陣。對于高階動力學(xué)，Ni和Cheng [14]設(shè)計了一種基于黎卡提和李雅普諾夫不等式的穩(wěn)定性算法。Zheng等[15]利用矩陣分解和赫爾維茨判據(jù)證明了具有正實特征值矩陣拓撲結(jié)構(gòu)多智能體系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Hong等[16]通過擴展拉塞爾的不變性原則，嚴(yán)格證明多智能體系統(tǒng)的穩(wěn)定性。除上述控制律外，Zheng等[17]設(shè)計了一種針對多智能體非線性系統(tǒng)的分布式模型預(yù)測控制器，并構(gòu)造了李雅普諾夫函數(shù)來證明網(wǎng)聯(lián)車輛隊列的漸近穩(wěn)定性。Wu等[18]提出了一種具有正定拓撲結(jié)構(gòu)多智能體系統(tǒng)的分布式滑?？刂破鳎昧嘶诶钛牌罩Z夫理論的漸近穩(wěn)定性。Barooah等[19]提出了一種基于微擾的控制方法，以提高車輛隊列的穩(wěn)定裕度。Ploeg等[20]開發(fā)了一個H-無窮控制來實現(xiàn)多智能體系統(tǒng)的隊列穩(wěn)定。

由于網(wǎng)絡(luò)中的連接失效/創(chuàng)建或交互智能體間通信的阻塞，交互拓撲結(jié)構(gòu)的變化十分常見。諸多研究者對切換拓撲結(jié)構(gòu)下多智能體系統(tǒng)穩(wěn)定性進行了研究。例如，Tanner等[21]提出了一種結(jié)合吸引力和對準(zhǔn)力的控制方法，可以在動態(tài)拓撲結(jié)構(gòu)下使群集系統(tǒng)達到穩(wěn)定。Olfatil-Saber等[10]提出了共同李雅普諾夫函數(shù)，該方程可基于矩陣論和代數(shù)圖論確保單積分器線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Ren [12]考慮了一個具有雙積分器運動學(xué)的多智能體系統(tǒng)，通過證明李雅普諾夫函數(shù)的局部李普希茲連續(xù)性，表明一組連通的、無向或有向拓撲結(jié)構(gòu)的切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Ni等[14]將這項研究擴展到高階積分器動態(tài)系統(tǒng)，并利用柯西收斂準(zhǔn)則討論了在聯(lián)合連接的無向圖下的穩(wěn)定性。理論上，有向圖的穩(wěn)定性分析比無向圖的穩(wěn)定性分析更具挑戰(zhàn)性[10]。由于有向拓撲結(jié)構(gòu)缺少正定性保證，無向拓撲結(jié)構(gòu)方法不能直接應(yīng)用于有向拓撲結(jié)構(gòu)問題。同時，有向切換拓撲結(jié)構(gòu)的共同李雅普諾夫函數(shù)設(shè)計更為困難。一些開創(chuàng)性的研究聚焦在具有特殊有向切換拓撲結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析上。例如，Qin等[22]分析了切換有向拓撲結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)，證明了在平衡有向圖下可以實現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定性。Dong等[23]探索了時變隊列參考函數(shù)的顯式表達式，并表明若停留時間大于正閾值可保持系統(tǒng)穩(wěn)定性。

本文研究了在一種有向切換拓撲結(jié)構(gòu)下的一般線性多智能體動態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和指數(shù)收斂速度。通過結(jié)合約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型和共同李雅普諾夫函數(shù)的變換，提出了切換拓撲多智能體系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件。本文的貢獻包含兩個方面。首先，參考文獻[10,12]中將高階動態(tài)系統(tǒng)的拉普拉斯矩陣與智能體數(shù)目相結(jié)合，以處理單積分器和雙積分器動力學(xué)系統(tǒng)，這導(dǎo)致用于單積分器和雙積分器系統(tǒng)的分析方法不適用于一般的線性動力學(xué)系統(tǒng)。相比之下，本文考慮了特征值為正實數(shù)的有向拓撲結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，研究結(jié)果適用于具有一般線性動態(tài)子系統(tǒng)的多智能體系統(tǒng)。其次，與參考文獻[14]中的無向拓撲結(jié)構(gòu)相比，有向拓撲結(jié)構(gòu)下由于其不對稱性，正定性更難分析。與參考文獻[22]中討論的平衡有向拓撲結(jié)構(gòu)相反，由于矩陣（L+ LT）/2并不總是正定的，參考文獻[22]中的結(jié)果不能應(yīng)用于本文中具有正實特征值的有向拓撲結(jié)構(gòu)。本文提出的方法適用于正實特征值拓撲結(jié)構(gòu)。本文的拓撲結(jié)構(gòu)與平衡有向拓撲結(jié)構(gòu)的關(guān)系如圖1所示。

本文結(jié)構(gòu)如下：第2節(jié)介紹了代數(shù)圖論；第3節(jié)介紹了一種正實特征值拓撲結(jié)構(gòu)，并基于共同李雅普諾夫函數(shù)和黎卡提不等式設(shè)計線性控制器；第4節(jié)證明了閉環(huán)系統(tǒng)在切換拓撲結(jié)構(gòu)下的穩(wěn)定性和收斂速度；第5節(jié)利用數(shù)值仿真證明該方法的有效性；第6節(jié)對全文進行總結(jié)。

2. 問題描述

本文考慮了一個由一個領(lǐng)導(dǎo)者和N個跟隨者組成的多智能體系統(tǒng)。每個智能體的動力學(xué)是同質(zhì)且線性的。本文假設(shè)描述交互拓撲結(jié)構(gòu)的矩陣（L +P）的所有特征值都是正實數(shù)。

2.1. 通信圖拓撲結(jié)構(gòu)

智能體之間的信息流是由N個節(jié)點V =｛a1, a2, … ,aN｝和邊?≤ V× V組成的有向圖拓撲結(jié)構(gòu)G (V, ?)描述的。節(jié)點ai表示第i個智能體，每條邊表示兩個智能體之間的有向信息流。

圖1. 對上述拓撲結(jié)構(gòu)間關(guān)系的描述。正實特征值拓撲結(jié)構(gòu)具有矩陣（L+P）的所有特征值均為正實數(shù)的特性。前向-后向拓撲結(jié)構(gòu)中的跟隨者可以從同等數(shù)量的前向、后向智能體接收信息。很明顯，前向-后向類型的拓撲結(jié)構(gòu)既是一種平衡圖，也是正實特征值拓撲結(jié)構(gòu)。

鄰接矩陣定義為：E=[eij]∈RN×N，其中，如果(aj, ai)∈?，則eij＞1，否則eij＝0，R表示實數(shù)域。(aj,ai)∈?表示智能體j可以從智能體i中獲取信息。不允許有自邊界(aj, ai)，即eii＝0。節(jié)點ai的鄰集表示為Ni=｛aj∶(aj，ai)∈?｝。定義拉普拉斯矩陣為L = [lij] ∈RN×N，其為了表示領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者之間的信息流，定義了一個固定矩陣P，P = diag｛p1, p2, … , pN｝，其中，若智能體可以從領(lǐng)導(dǎo)者那里獲得信息，則pi=1；否則pi=0?；诠潭ň仃嘝，若pi=1，將領(lǐng)航者可達集定義為Pi=｛0｝；否則Pi= ?。然后，定義一個信息可達集Ii= Ni∪Pi以表示智能體i可以從中獲取信息的節(jié)點。

從ai到aj的有向路徑是形為(ai, ai1), ... , (ai?, aj)的有向圖中的一條邊界序列，其中每一條邊界(ap, aq)∈?。有向生成樹是一個有向圖，除了根節(jié)點外，每個節(jié)點都只有一個父節(jié)點。圖(V, ?)的有向生成樹(Vs, ?s）是(V, ?)的子圖，因此(Vs, ?s)是有向樹且Vs= V。

2.2. 智能體動力學(xué)

每個智能體的動力學(xué)為：

式中，xi(t)∈Rn為狀態(tài)向量；ui(t)∈Rm為控制輸入量；n和m分別為狀態(tài)量和控制量的維數(shù)；A∈Rn×n和B∈Rn×m分別為系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣。通過選擇合適的值對(A, B)，系統(tǒng)可認為是穩(wěn)定的。

領(lǐng)導(dǎo)者具有以下線性動力學(xué)：

式中，x0∈Rn是領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)向量。

2.3. 多智能體系統(tǒng)的穩(wěn)定性

多智能體協(xié)同控制的目標(biāo)是使各跟隨智能體的狀態(tài)與領(lǐng)導(dǎo)者一致。對于每個智能體i∈｛1, ... , N｝，都需要一個分布式控制器ui(t)來實現(xiàn)。

為便于后續(xù)穩(wěn)定性分析，定義新的跟蹤誤差如下：

跟蹤誤差的狀態(tài)空間函數(shù)為：

3. 控制器設(shè)計

多智能體系統(tǒng)的互聯(lián)拓撲結(jié)構(gòu)會因智能體之間的通信故障或阻塞而時變。在切換拓撲結(jié)構(gòu)問題中，每個智能體的信息可達集是時變的。(L+P)σ用于表示交互拓撲結(jié)構(gòu)矩陣隨時間的變化，其中σ: [0,∞) →∑是t時刻的開關(guān)信號，∑是包含所有拓撲結(jié)構(gòu)的一組圖的索引集。考慮一個非空時間間隔的無限序列[tk, tk+1), k = 0, 1, ... ，其中，t0=0, tk+1– tk≤Tc，Tc為常數(shù)。假設(shè)σ在每個間隔內(nèi)為常數(shù)，圖可以表示為Gσ。為確保多種拓撲結(jié)構(gòu)下的穩(wěn)定性，本節(jié)設(shè)計了合適的控制器和圖集｛G∑｝。

3.1. 線性控制律

對于每個智能體，控制器是分布式的，只能使用其信息可達集Ii中的信息。采用以下控制律[24]：

式中，K∈Rm×n為線性反饋增益。將式（6）代入式（5）可以得到如下所示的智能體i的閉環(huán)動態(tài)：

為描述多智能體系統(tǒng)的動力學(xué)，定義系統(tǒng)的集體狀態(tài)量如下：

回顧拉普拉斯矩陣L和固定矩陣P的定義；領(lǐng)導(dǎo)者-跟隨者多智能體系統(tǒng)的閉環(huán)動力學(xué)為：

式中，IN為單位矩陣；符號 為克羅內(nèi)克積。閉環(huán)系統(tǒng)整體矩陣定義如下：

對于線性系統(tǒng)，其穩(wěn)定性與閉環(huán)系統(tǒng)矩陣的特征值有關(guān)。由式（10）可以看出，Ac的特征值取決于(L+P)。換句話說，互聯(lián)拓撲結(jié)構(gòu)影響多智能體系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在下面的小節(jié)中，我們將討論一種確保(L+P)特征值為正實數(shù)的拓撲結(jié)構(gòu)。

3.2. 具有正實特征值的互聯(lián)拓撲結(jié)構(gòu)

該方法適用于具有正實特征值且缺乏精確一致數(shù)學(xué)描述的拓撲結(jié)構(gòu)。因此，本文特別關(guān)注一類具有正實性的特定類型的拓撲結(jié)構(gòu)。

引理1[15]：設(shè)λi，i=1, 2 , ... , N為(L +P)的特征值，若存在根為領(lǐng)導(dǎo)者的有向生成樹，且滿足以下條件之一，則所有的特征值都是正實數(shù)，即λi＞0，i=1, 2 , ... ,N：

（1）跟隨智能體的互聯(lián)拓撲結(jié)構(gòu)為前向類型，即Ni=｛i–hu, ... , i– hl｝∩｛1, ... , N｝，其中，hu和hl分別為正向通信范圍的上界和下界。

（2）跟隨智能體的互聯(lián)拓撲結(jié)構(gòu)為前向-后向類型，即Ni=｛i– h, ... , i+h｝∩｛1, ... , N｝/｛i｝，其中，h為通信范圍。

（3）跟隨智能體的互聯(lián)拓撲結(jié)構(gòu)為無向類型，即j∈Ni＜===＞i∈Nj。

注1：對于單積分器或雙積分器動力學(xué)，有工作證明了有向生成樹的切換有向拓撲結(jié)構(gòu)足以使系統(tǒng)穩(wěn)定；具體工作參閱參考文獻[10,12]。

注2：在參考文獻[14]中，討論了連通無向切換拓撲結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。本文考慮了有向拓撲結(jié)構(gòu)；對于非連通結(jié)構(gòu)，將在進一步的工作中對其進行研究。

注3：矩陣(L +P)或與L相關(guān)的矩陣的正實特征值和正定性對于分析多智能體系統(tǒng)穩(wěn)定性具有重要作用。在參考文獻[22]中，考慮了平衡有向拓撲結(jié)構(gòu)，即對于拉普拉斯矩陣(L + LT)/2為正定矩陣。一個平衡與強連通圖可確保(L +P)的譜半徑大于0 [13]，然而特征值的正實性并不能總是滿足。

3.3. 系數(shù)矩陣設(shè)計

由于(A,B)是可穩(wěn)定的，故存在P＞0為如下Riccati不等式的解：

式中，δ是正數(shù)，可影響系統(tǒng)的收斂性[25]。反饋矩陣I構(gòu)造如下：

式中，α是滿足以下條件的縮放因子：

式中，He(Jσ)= Jσ+JσT；Jσ是(L+P)σ的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型， 即Wσ–1(L +P)σWσ= Jσ，其中，Wσ是一個可逆矩陣，而min｛λ(He(Jσ))｝表示所有切換拓撲結(jié)構(gòu)下的He(Jσ)最小特征值。如果拓撲結(jié)構(gòu)滿足引理1，則He(Jσ)為正定矩陣。在介紹定理前，先介紹以下引理。

引理2[12]：考慮矩陣A=[aij]∈Rn×n。A的所有特征值都位于n個圓盤的交集≡G(A)內(nèi)，其中，C表示復(fù)數(shù)集，z是一個復(fù)數(shù)。

引理2是著名的Gershgorin圓盤準(zhǔn)則。

引理3[26]：考慮矩陣Q=[qij]∈Rn×n和集合S=｛i∈如果對于?i?S和j∈S，若存在一個非零序列｛qii1, qi1i2, ... , qirj｝，則Q是非奇異的。

定理1：對于引理1中描述的拓撲結(jié)構(gòu)，將（L+P）轉(zhuǎn)化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型J，則He(J)為正定矩陣。

證明：對于引理1中定義為（2）和（3）的拓撲結(jié)構(gòu)，矩陣(L +P)是實對稱的。顯然，He(J)是正定的，因為J是對角矩陣。對于引理1中定義為（1）的拓撲結(jié)構(gòu)，(L +P)的特征值大于或等于1。J可表示為如下形式：

式中，λi是(L +P)的特征值；Jn1(λ1), Jn2(λ2), ... , Jnr(λr)是大小為n1, n2, ... , nr的約當(dāng)塊。于是有

對于每個He(J)塊，它有以下形式：

根據(jù)Gershgorin圓盤準(zhǔn)則，He(J)的所有特征值都不小于零，因為He(J)=[aij]∈Rn×n。根據(jù)引理2，可確定He(Jni(λni))是非并且He(Jni(λni))是三階對角矩陣。如果He(J)是一個準(zhǔn)對角矩陣，則He(J)也是非奇異的。故而He(J)的所有特征值都大于零。如果He(J)是對稱的，則可證明He(J)是正定矩陣。

表1給出了滿足引理1中條件的一些典型拓撲結(jié)構(gòu)的He(J)的最小特征值。在參考文獻[15]中描述了這些拓撲結(jié)構(gòu)，其中包括前車跟隨式（predecessor following, PF）拓撲結(jié)構(gòu)、前車-領(lǐng)導(dǎo)者跟隨式（predecessor-leader following, PLF）拓撲結(jié)構(gòu)、雙前車跟隨式（two predecessors following, TPF）拓撲結(jié)構(gòu)、雙前車-領(lǐng)導(dǎo)者跟隨式（two predecessor-leader following, TPLF）拓撲結(jié)構(gòu)、雙向跟隨式（bidirectional, BD）拓撲結(jié)構(gòu)和雙向領(lǐng)導(dǎo)者式（bidirectionalleader, BDL）拓撲結(jié)構(gòu)。

注4：定理1表明，He(J)的最小特征值會影響多智能體系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。從表1可以看出，隨著跟隨者N的增加，PF和BD拓撲結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定裕度將變差，而PLF、TPF、TPLF和BDL拓撲結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定裕度則與N的大小無關(guān)。來自領(lǐng)導(dǎo)者的信息對于系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度很重要，選擇適當(dāng)?shù)耐負浣Y(jié)構(gòu)（如PLF和BDL）可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。無向拓撲結(jié)構(gòu)BD和BDL的結(jié)果與參考文獻[27]中所示相同。未來將進行嚴(yán)格的理論分析。

4. 切換拓撲結(jié)構(gòu)下的穩(wěn)定性

很顯然，對于有限切換系統(tǒng)，如果最終拓撲結(jié)構(gòu)能夠用第3節(jié)提出的控制律來穩(wěn)定系統(tǒng)，則可以實現(xiàn)穩(wěn)定性。在無限切換條件下和某類拓撲結(jié)構(gòu)下，系統(tǒng)將通過式（6）中所示的控制律實現(xiàn)穩(wěn)定。收斂速度也能同時得到保證。

引理4[28]：給定從Rn到Rn的一族函數(shù)fσ，其中，Σ是索引集，可以代表一系列系統(tǒng)?=fσ(x)，σ∈Σ。如果系列中的所有系統(tǒng)共享相同的Lyapunov函數(shù)，那么切換系統(tǒng)?=fσ(x)是全局一致且漸近穩(wěn)定的。

這個定理將被用來證明我們的主要理論結(jié)果。在證明之前，將介紹矩陣論中的一些引理。

引理5：考慮一個正定實矩陣M和一個正實數(shù)ξ,ξ＜min｛λ(M)｝，其中，λ(M)表示M的特征值。矩陣M–ξI仍為正定。

證明：如果λi是M的特征值，則存在滿足Mxi=λixi的特征向量xi。于是有(M–ξI)xi= (λi–ξ)xi。由于0＜ξ＜min｛λ(M)｝，(M–ξI)的所有特征值都是正的。很顯然，(M–ξI)仍然是對稱的。因此，M–ξI為正定矩陣。

引理6[16]：考慮一個穩(wěn)定的線性常數(shù)系統(tǒng)?=Hz，設(shè)計其李雅普諾夫方程HTT+TH+νT=0，其中，z是狀態(tài)向量，H是狀態(tài)矩陣，ν是正實數(shù)，T是這個方程的正定解。該系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)是V(x)=zTTz，系統(tǒng)的收斂速度V(x)可以用ν來估計，即V(x)＜V(x0)e–ν/2(t–t0)，其中，t是系統(tǒng)的時間，x0和t0分別是系統(tǒng)初始狀態(tài)和時間。

本文的主要定理如下。

定理2：考慮一類切換互連拓撲結(jié)構(gòu)｛Gσ:σ∈Σ｝，其中每個拓撲結(jié)構(gòu)的矩陣(L +P)的所有特征值都是正實數(shù)。對于任何Gσ，利用等式（12）和不等式（13）設(shè)計控制參數(shù)。切換系統(tǒng)全局一致漸近穩(wěn)定，具有共同李雅普諾夫函數(shù)V(X)=XTξIPX。其收斂速度滿足V(X)＜V(X0)e–2δ(t–t0)，其中∈RnN×1，N是跟隨者的數(shù)量，n是每個智能體的維數(shù)，δ是響應(yīng)系數(shù)，且有ξ＜min｛λ(WσTWσ), 1｝。

證明：遵循等式（12）和不等式（13）中的控制律，可得到如下不等式：

表1 拓撲結(jié)構(gòu)的min｛λ(He(Jσ))｝

多智能體系統(tǒng)的閉環(huán)動力學(xué)為：

對于正實拓撲結(jié)構(gòu)，(L +P)σ被轉(zhuǎn)換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。閉環(huán)動力學(xué)矩陣也被轉(zhuǎn)換成對角塊矩陣：

將不等式（13）替換為式（19），則有

仍然是對稱的。根據(jù)定理1，He(Jσ)是正定矩陣。

根據(jù)引理5，可得不等式如下：

因此，

將不等式左邊分別左乘(WσIN)T以及右乘(WσIN)，可得到一個新的不等式：

根據(jù)引理5可得如下不等式：

備注5：與參考文獻[22]相比，定理2中討論的拓撲結(jié)構(gòu)不必是一個平衡圖，它在切換條件下擴展了有向拓撲結(jié)構(gòu)族。典型的前向拓撲結(jié)構(gòu)（如PF）不是一個平衡圖（如圖2中的）。此外，與參考文獻[23]中的結(jié)果相反，定理2中停留時間對控制器的穩(wěn)定性沒有影響。

備注6：在實踐中，切換拓撲結(jié)構(gòu)可能是未知的，這使得對α的選擇是非平凡的。較大的α有助于在這種情況下穩(wěn)定切換系統(tǒng)。事實上，不等式（13）只是系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件，在理論上確保了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在我們的仿真中，與這個不等式不一致的α也可使系統(tǒng)穩(wěn)定。

5. 仿真結(jié)果

車輛隊列是一種典型的多智能體系統(tǒng)，由于其在交通[24]中產(chǎn)生的益處而受到越來越多的關(guān)注。描述隊列中的車輛之間信息流的典型拓撲結(jié)構(gòu)的(L +P)矩陣具有正實特征值[15]。我們對一個包含6輛相同車輛的同質(zhì)隊列（1名領(lǐng)導(dǎo)者和5名跟隨者）進行模擬以驗證其有效性。對于隊列的控制推導(dǎo)出每個車輛的三階狀態(tài)空間模型[17]：

式中，pi, νi, ai表示每輛車的位置、速度和加速度；τi是車輛縱向動力學(xué)的慣性延遲，在模擬中設(shè)置為0.4 s。信息流拓撲結(jié)構(gòu)如圖2所示，其(L +P)矩陣的特征值都是正實數(shù)。系統(tǒng)的拓撲結(jié)構(gòu)被設(shè)置為每2 s周期性地從切換到切換到，然后切換到，如圖3所示。每輛車的初始速度為20 m·s–1，位置誤差隨機分布在區(qū)間[–10 m, 10 m]內(nèi)。領(lǐng)導(dǎo)者被設(shè)置為在ν0=20 m·s–1情況下持續(xù)行駛。

三種拓撲結(jié)構(gòu)的He(J)的特征值列于表2。所有的特征值都是正實的，考慮到它們的最小值，選擇縮放因子α為10。在3個場景下進行模擬，兩個有不同響應(yīng)系數(shù)δ的穩(wěn)定場景以及1個不穩(wěn)定場景。場景1和2中的控制器參數(shù)的設(shè)計如定理2所示。然而，場景3中的參數(shù)不滿足參考文獻[15]中的穩(wěn)定性條件。所有參數(shù)列于表3。

圖4表明切換拓撲結(jié)構(gòu)下車輛隊列的狀態(tài)誤差。模擬結(jié)果表明，根據(jù)等式（12）和不等式（13）設(shè)計的控制律可以穩(wěn)定車輛隊列。與圖5相比，結(jié)果表明較大的δ往往能夠使系統(tǒng)更快收斂到穩(wěn)定狀態(tài)。圖6說明根據(jù)參考文獻[15]中不穩(wěn)定區(qū)域準(zhǔn)則選擇參數(shù)的控制器性能，這表明本文控制器設(shè)計方法的有效性。值得注意的是，定理2只是系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件，這意味著若控制器參數(shù)α的選擇不滿足不等式（13）的條件，也可能穩(wěn)定切換系統(tǒng)。

圖2. 切換拓撲結(jié)構(gòu)。都是正實特征值拓撲結(jié)構(gòu)。是前向型，是前向-后向型。在模擬中，拓撲結(jié)構(gòu)在這三種拓撲結(jié)構(gòu)之間切換。

6. 結(jié)論

本文研究了一類(L +P)矩陣的所有特征值都是正實數(shù)的切換拓撲結(jié)構(gòu)多智能體系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文中利用圖論描述了交互拓撲結(jié)構(gòu)，采用赫爾維茨判據(jù)和黎卡提不等式設(shè)計控制律，使多智能體系統(tǒng)達到穩(wěn)定，并對系統(tǒng)收斂速度進行調(diào)節(jié)。通過采用共同李雅普諾夫函數(shù)定理，證明了切換拓撲結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。本文為這類切換拓撲多智能體系統(tǒng)的穩(wěn)定性提供了充分條件，若所有拓撲結(jié)構(gòu)的(L +P)矩陣的特征值都是正實數(shù)，可實現(xiàn)切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性，且系統(tǒng)具有指數(shù)收斂速度，該收斂速度受控制器中響應(yīng)系數(shù)δ的影響。

圖3. 交換信號。駐留時間設(shè)置為2 s。

表2 的He(J)的特征值

表2 的He(J)的特征值

Switching topology Eigenvalue of He (J)G～1 0.27,1.00,2.00,3.00 and 3.73 G～2 0.59,1.00,2.00,3.00 and 3.41 G～3 0.16,1.38,3.43,5.66 and 7.37

圖4. δ=0.5的切換拓撲結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。（a）、（b）和（c）分別表示位置、速度和加速度的跟蹤誤差。切換系統(tǒng)在15 s內(nèi)達到穩(wěn)定。

圖5. δ=0.2的切換拓撲結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。與場景1中的控制器相比，該控制器的收斂時間較長，約為25 s。

圖6. 具有不穩(wěn)定控制器的切換拓撲結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。基于參考文獻[15]中提出的不穩(wěn)定區(qū)域設(shè)計參數(shù)。這表明本文控制器設(shè)計方法的有效性。

致謝

本研究得到了中國國際科技合作計劃（2019YFE0100200）和北京市自然科學(xué)基金（JQ18010）的支持。還得到清華大學(xué)-滴滴未來出行聯(lián)合研究中心的部分支持。

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