張振偉，陳 濤，王文竹，3，趙 旗，李 杰

（1.吉林大學(xué)，汽車仿真與控制國家重點實驗室，長春 130025； 2.重慶長安汽車股份有限公司，重慶 400023；3.沈陽航空航天大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，沈陽 110136）

前言

無論是新建道路還是在用道路，都存在著不同程度的路面不平度。作為車輛的主要激勵源，路面不平度引起車輛振動，直接影響車輛性能和零部件壽命［1］。反過來，車輛振動以動載荷的形式作用于路面，引起路面振動，影響道路結(jié)構(gòu)和使用壽命［2］。因此，路面不平度的研究具有理論價值和實際應(yīng)用意義。

為建立一種標(biāo)準(zhǔn)和客觀的路面不平度指標(biāo)，世界銀行組織和資助了一項國際合作研究課題。1982年，來自巴西、英國、法國、美國、比利時和澳大利亞的研究人員在巴西進(jìn)行了國際路面不平度試驗［3］。通過大量試驗對比和理論分析，確定了描述路面不平度的指標(biāo)，將其命名為路面國際不平度指數(shù)，簡稱為國際不平度指數(shù)。

在交通領(lǐng)域，由于國際不平度指數(shù)具有時間穩(wěn)定、傳遞性好、相關(guān)強(qiáng)和效率高等特點，在美國［4］、加拿大［5］、大部分歐洲 國 家［6］和中國［7］得到廣泛應(yīng)用，用于道路的設(shè)計、驗收、管理與維護(hù)。近年來，隨著交叉學(xué)科的發(fā)展，國際不平度指數(shù)開始應(yīng)用于車輛工程領(lǐng)域［8］。

為更好理解和應(yīng)用國際不平度指數(shù)，針對國際不平度指數(shù)的時間域和時間頻率域描述比較薄弱等問題，本文中開展了相關(guān)的理論研究，應(yīng)用實測路面不平度數(shù)據(jù)，對比和分析國際不平度指數(shù)的時間域和時間頻率域兩種描述的正確性和有效性，為國際不平度指數(shù)在道路工程和車輛工程等領(lǐng)域的應(yīng)用奠定理論和方法基礎(chǔ)。

1 國際不平度指數(shù)的時間域描述

1.1 國際不平度指數(shù)

國際不平度指數(shù)采用如圖1所示的車輛模型。圖中ms和mu分別為簧載質(zhì)量和非簧載質(zhì)量，ks和kt分別為懸架剛度和輪胎剛度，cs為懸架阻尼，zs和zu分別為簧載質(zhì)量和非簧載質(zhì)量的垂直位移，q為路面激勵。

國際不平度指數(shù)，是指單位行駛里程內(nèi)簧載質(zhì)量和非簧載質(zhì)量相對垂直位移的累計絕對值。在時間域，國際不平度指數(shù)為

圖1 車輛模型

式中：L和T分別為車速ua下車輛行駛的總距離和總時間s和分別為簧載質(zhì)量和非簧載質(zhì)量的垂直速度，為時間t的函數(shù)。

為確定國際不平度指數(shù)，規(guī)定車輛參數(shù)和車速，具體數(shù)值如表1所示。

表1 用于確定國際不平度指數(shù)的參數(shù)［3］

1.2 運動微分方程

基于牛頓定律，描述國際不平度指數(shù)車輛模型的運動微分方程為

式（7）和式（8）是對應(yīng)于車輛模型的最簡單的運動微分方程，在時間域t描述，即其中的所有變量，如zs、zu及其導(dǎo)數(shù)和q均為時間的函數(shù)。

2 路面統(tǒng)計特性的頻率域描述

2.1 空間頻率域表示

路面不平度q（x）是路面相對基準(zhǔn)平面的高度，沿著道路縱向位置x變化。大量的測量和研究表明，q（x）是滿足0均值高斯分布的平穩(wěn)隨機(jī)過程［9］。

上個世紀(jì)60年代，基于隨機(jī)數(shù)學(xué)理論，采用路面不平度空間功率譜密度描述路面不平度的統(tǒng)計特性。后來隨著快速傅里葉變換的提出，路面不平度空間功率譜密度的應(yīng)用更為普遍。

路面不平度空間頻率功率譜密度Gq（n），對應(yīng)于路面不平度q（x），簡稱為路面不平度功率譜密度［10］。

式中：n為空間頻率；Sq（n）為雙邊空間頻率功率譜密度；q（n）為q（x）的傅里葉變換。

2.2 時間頻率域表示

只有將路面不平度和車速相結(jié)合，才能形成輸入車輛的路面激勵。當(dāng)車輛以u勻速行駛，路面不平度q（x）轉(zhuǎn)化為路面激勵q（t），q（t）常簡寫為q，也為滿足0均值高斯分布的平穩(wěn)隨機(jī)過程［11］。

路面激勵時間頻率功率譜密度Gq（f），對應(yīng)于路面激勵q（t），簡稱為路面激勵功率譜密度，而f=un為時間頻率。

應(yīng)當(dāng)說明的是，式（10）具有普適性，無論Gq（n）如何表示，其總是成立的。而且Gq（f）和Gq（n）是滿足式（10）的兩種功率譜密度，由一個可得到另一個。兩者的表示統(tǒng)稱為路面統(tǒng)計特性的頻率域描述。

3 國際不平度指數(shù)的時間頻率域描述

3.1 車輛模型的頻率響應(yīng)

對式（7）和式（8）兩邊進(jìn)行傅里葉變換，得

3.2 懸架動撓度速度的頻率響應(yīng)

設(shè)z=zs-zu為懸架動撓度，即簧載質(zhì)量和非簧載質(zhì)量相對位移，z對q的頻率響應(yīng)為

3.3 懸架動撓度速度的統(tǒng)計特性

根據(jù)隨機(jī)振動理論，當(dāng)車輛模型為線性系統(tǒng)時，在路面激勵q作用下產(chǎn)生的任何車輛響應(yīng)y的時間頻率功率譜密度Gy（f）與路面激勵功率譜密度Gq（f）的關(guān)系為［11］

式中：H（f）y-q為y對q的頻率響應(yīng)的時間頻率表示；H（ω）y-q為y對q的頻率響應(yīng)的時間圓頻率表示；y（ω）為y的傅里葉變換。

y的均方根值為［11］

根據(jù)隨機(jī)振動理論，當(dāng)車輛模型為線性系統(tǒng)、路面激勵為滿足0期望高斯分布的平穩(wěn)隨機(jī)過程時，在路面激勵q作用下產(chǎn)生的任何車輛響應(yīng)y也是滿足0期望高斯分布的平穩(wěn)隨機(jī)過程［12］。因此，z· 是滿足0期望高斯分布的平穩(wěn)隨機(jī)過程。

3.4 時間頻率域表示

在u=ua/3.6下，汽車行駛的總距離L和總時間T的關(guān)系為L=uT，將其代入式（1），有

式（24）表示的國際不平度指數(shù)，是時間頻率域國際不平度指數(shù)的表示。

由于描述國際不平度指數(shù)的車輛模型參數(shù)都是固定的，當(dāng)f一定時，式（24）中的H（f）z·-q是一定的，國際不平度指數(shù)就取決于路面激勵功率譜密度Gq（f）。因此，通過車輛模型響應(yīng)的間接指標(biāo)得到的國際不平度指數(shù)，就與路面激勵功率譜密度等效，即兩者都可以用于描述路面激勵的統(tǒng)計特性。

應(yīng)當(dāng)說明的是，國際不平度指數(shù)時間頻率域表示是一般描述，具有普適性。其中，路面激勵功率譜密度，既可采用標(biāo)準(zhǔn)路面模型表示，也可采用非標(biāo)準(zhǔn)路面模型表示，如冪函數(shù)表示［11］、有理函數(shù)表示［13］和指數(shù)函數(shù)表示［14］，更可采用實測的路面激勵功率譜密度表示。

4 基于實測路面不平度數(shù)據(jù)的應(yīng)用

4.1 LTPP項目實測路面不平度數(shù)據(jù)的選取

LTPP（long term pavement performance）項目稱為路面長期性能項目，是美國戰(zhàn)略公路研究計劃（strategic highway research program，SHRP）的一部分。LTPP項目始于1984年，每年都對相同路段的路面不平度進(jìn)行實測，已經(jīng)取得豐碩的成果，路面不平度數(shù)據(jù)及其信息可以免費下載使用［15］。

為說明國際不平度指數(shù)時間頻率域描述的有效性，選取LTPP項目的馬薩諸塞州GPS（general pavement studies）左側(cè)車輪軌跡路面不平度數(shù)據(jù)（STATE_CODE=25）。這些數(shù)據(jù)來自于不同年度對同一個路面的測試，共計36次，路面長度為152.4 m，數(shù)據(jù)間隔為0.152 4或0.150 m，對應(yīng)的數(shù)據(jù)點分別為1 001或1 017個。部分年度的測試結(jié)果如圖2所示。

圖2 LTPP部分年度實測的路面不平度數(shù)據(jù)

4.2 分析方案設(shè)計

設(shè)計的分析方案流程如圖3所示。首先，基于選取的36次實測數(shù)據(jù)，引入規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)車速ua=80 km/h，將實測路面不平度數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為路面激勵；其次，采用Welch方法求取路面激勵功率譜密度，根據(jù)式（24）求取對應(yīng)于實測路面不平度數(shù)據(jù)的國際不平度指數(shù)；再次，基于國際不平度指數(shù)的時間域描述，通過運動微分方程的時間積分求取國際不平度指數(shù)的時間域結(jié)果。最后，對比分析國際不平度指數(shù)時間頻率域和時間域求取的數(shù)值，說明國際不平度指數(shù)時間頻率域描述的正確性和有效性。

4.3 結(jié)果分析

圖3 國際不平度指數(shù)時間頻率域描述驗證流程

將實測的路面不平度數(shù)據(jù)，引入車速后轉(zhuǎn)化成路面激勵。設(shè)置窗口長度為512個數(shù)據(jù)點，加漢明窗，快速傅里葉變換長度取1 024個數(shù)據(jù)點，不重疊的數(shù)據(jù)點有16個，將每個路面激勵分成31段，時間頻率分辨率fe=0.1424 Hz。針對路面激勵，應(yīng)用Matlab的pwelch函數(shù)計算路面激勵功率譜密度，如圖4所示。

圖4 LTPP部分年度的路面激勵功率譜密度

由圖4可以看出，路面激勵功率譜密度曲線在短波長、中波長和長波長的頻帶分布是不同的；在高頻帶，路面激勵功率譜密度出現(xiàn)豐富的頻率分量［16］。

基于上述獲取的路面激勵功率譜密度，分別設(shè)置fl=0.1 Hz和fu=50 Hz，計算時間頻率域國際不平度指數(shù)；基于國際不平度指數(shù)時間域描述，計算國際不平度指數(shù)時間域結(jié)果；再計算國際不平度指數(shù)時間頻率域和時間域的差值。36次測試的計算結(jié)果如圖5（a）所示。圖5（a）中3條曲線的特征如表2所示。

圖5 時間域和時間頻率域計算的國際不平度指數(shù)及其比較

表2 時間域和中值濾波前時間頻率域計算的國際不平度指數(shù)及其特征

由圖5（a）和表2可以看出，選取的同一個路面不同年度的實測路面不平度數(shù)據(jù)，國際不平度指數(shù)時間域最大值為2.720 0，最小值為0.806 5；國際不平度指數(shù)時間頻率域最大值為3.278 5，最小值為0.710 5；國際不平度指數(shù)時間頻率域結(jié)果普遍大于國際不平度指數(shù)時間域結(jié)果，兩者的差值普遍小于0，這主要是因為采用定帶寬計算功率譜密度，帶來高頻區(qū)豐富的頻率分量［16］。

為降低高頻區(qū)豐富頻率分量的影響，采用中值濾波方法對路面不平度數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，然后轉(zhuǎn)換成路面激勵，計算國際不平度指數(shù)時間頻率域結(jié)果。

中值濾波是一種非線性的平滑技術(shù)，相當(dāng)于低通濾波器，在不改變數(shù)據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)性的情況下，可以消除路面中大的凸起、凹坑和連接處凹槽等，還能保留道路和橋梁連接引起的階躍變化［17］。

中值濾波是以一定的窗口長度（一般為奇數(shù)次）連續(xù)對數(shù)據(jù)進(jìn)行采樣，然后將采樣得到的數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行排序，取中間值作為數(shù)據(jù)樣本的有效采樣值。為降低中值濾波對各個波長帶范圍的影響，設(shè)置中值濾波的窗口長度為5，當(dāng)路面距離間隔為0.152 4 m時，窗口覆蓋的距離為4×0.1524=0.609 6 m，可以濾除干擾的有效最大波長為0.304 8 m，即最小空間頻率3.280 8 m-1，是空間采用頻率1/0.1524=6.5617的一半。

通過中值濾波確定的國際不平度指數(shù)及其差值如圖5（b）所示。圖5（b）中3條曲線的特征如表3所示。

表3 時間域和中值濾波后時間頻率域計算的國際不平度指數(shù)及其特征

由圖5（b）和表3可知，中值濾波后計算的國際不平度指數(shù)時間頻率域最大值為2.645 1，最小值為0.673 0；中值濾波后兩個域的國際不平度指數(shù)的結(jié)果基本重合，相差很小，說明采用中值濾波應(yīng)用于確定國際不平度指數(shù)是正確的，同時也說明采用中值濾波處理數(shù)據(jù)高頻區(qū)豐富的頻率分量是有效的。

5 結(jié)論

基于描述國際不平度指數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)車輛模型，建立了國際不平度指數(shù)的時間域表示，推導(dǎo)了時間域運動微分方程。給出路面不平度功率譜密度和路面激勵功率譜密度的一般描述，采用傅里葉變換推導(dǎo)了國際不平度指數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)車輛模型和懸架動撓度速度的頻率響應(yīng)。

基于隨機(jī)振動理論建立了具有普適性的時間頻率域國際不平度指數(shù)的表示，其是以車輛模型響應(yīng)描述的間接指標(biāo)，與直接描述的路面激勵功率密度是等效的，兩者都可以用于描述路面激勵的統(tǒng)計特性。

利用美國LTPP項目實測路面不平度數(shù)據(jù)，求取了國際不平度指數(shù)時間域和時間頻率域的結(jié)果，通過兩者對比說明了國際不平度指數(shù)時間頻率域描述的正確性和有效性，也說明中值濾波可以更好用于處理實測路面不平度數(shù)據(jù)。

在交通領(lǐng)域，國際不平度指數(shù)得到廣泛認(rèn)可和應(yīng)用。然而在車輛工程領(lǐng)域，針對國際不平度指數(shù)的研究和應(yīng)用有待加強(qiáng)，借鑒其在交通領(lǐng)域的研究成果，對于道路智能感知、車輛設(shè)計輸入及其零部件開發(fā)和車輛性能分析具有重要的應(yīng)用價值。