蔣月蘭

一、教學(xué)設(shè)計(jì)與意圖

1.操作與回顧。

操作：已知⊙O（如圖1），請(qǐng)按要求畫圖。

（1）如果在⊙O所在的平面上有一點(diǎn)A，請(qǐng)畫出點(diǎn)A。（學(xué)生通過(guò)畫圖發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)A的位置有無(wú)數(shù)種可能。）

問(wèn)題1：這無(wú)數(shù)種可能有幾種類型？

生1：三種類型，分別是點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓上以及點(diǎn)在圓外。

問(wèn)題2：用什么方法可以判斷？如何判斷？

生2：用d表示點(diǎn)A到圓心的距離，用r表示圓的半徑，然后比較d與r的大小。當(dāng)d>r時(shí)，點(diǎn)在圓外;當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上;當(dāng)d

（2）過(guò)點(diǎn)A畫直線l。（學(xué)生通過(guò)畫圖發(fā)現(xiàn)，直線l的位置也有無(wú)數(shù)種可能。）

問(wèn)題3：這無(wú)數(shù)種可能有幾種類型？

生3：三種類型，分別是直線與圓相交、相切、相離。

問(wèn)題4：用什么方法可以判斷？如何判斷？

生4：用d1表示圓心到直線的距離，用r表示圓的半徑，然后比較d1與r的大小。當(dāng)d1>r時(shí)，直線與圓相離;當(dāng)d1=r時(shí)，直線與圓相切;當(dāng)d1

圖3設(shè)計(jì)意圖：以上兩個(gè)環(huán)節(jié)都是通過(guò)動(dòng)手畫圖引出知識(shí)，學(xué)生在畫圖過(guò)程中自然喚醒了點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)。學(xué)生在作圖的過(guò)程中培養(yǎng)了發(fā)散性思維，體會(huì)了分類的必要性，滲透了分類和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

問(wèn)題5：如圖4，過(guò)點(diǎn)A畫直線，都可以畫出圖3的三種位置關(guān)系嗎？動(dòng)手試一試。

生5：點(diǎn)A在圓內(nèi)時(shí)，只能畫出相交;點(diǎn)A在圓上時(shí)，既可以畫出相交也可以畫出相切;點(diǎn)A在圓外時(shí)，三種情況都可以畫出。

問(wèn)題6：d1=r是d1與r在數(shù)量上的特殊情況，也是臨界情況。那么，請(qǐng)過(guò)點(diǎn)A畫出⊙O的切線并說(shuō)出你的依據(jù)。

生6：依據(jù)的是切線的判定定理，過(guò)半徑的外端點(diǎn)且垂直于半徑的直線是圓的切線。（如圖5）

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)追問(wèn)“過(guò)點(diǎn)A都能畫出三種位置關(guān)系類型的圖形嗎”，讓學(xué)生進(jìn)一步理解判斷直線與圓位置關(guān)系的本質(zhì)。通過(guò)畫切線，再次喚醒學(xué)生對(duì)切線性質(zhì)定理、判定定理以及圓周角性質(zhì)的回顧，在解決問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生綜合分析問(wèn)題的能力。

（3）在圖6的⊙O上另取一點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B畫一條與⊙O相切的直線，設(shè)所畫直線與過(guò)點(diǎn)A的切線（A為切點(diǎn)）相交于點(diǎn)M，如圖7。

問(wèn)題7：你想到了什么知識(shí)？

生7：切線長(zhǎng)定理，過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等。

問(wèn)題8：這幅圖還給你哪些數(shù)學(xué)美感？由此你還能得出哪些結(jié)論？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)畫圖得到切線長(zhǎng)定理，并通過(guò)開(kāi)放性的問(wèn)題“尋找數(shù)學(xué)美”，便自然地用數(shù)學(xué)的眼光觀察圖形得出圖形的軸對(duì)稱性，再次利用幾何圖形的性質(zhì)，尋找并得出圖形中各邊、角之間的聯(lián)系。這培養(yǎng)了學(xué)生的觀察和分析的能力，滲透了數(shù)形結(jié)合思想。

（4）在圖7的⊙O上再另取一點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作一條切線與前兩條切線相交，交點(diǎn)為N、T。（學(xué)生通過(guò)畫圖發(fā)現(xiàn)，圖形又有兩種可能的情況。）

1當(dāng)C取在優(yōu)弧上時(shí)。

問(wèn)題9：從這個(gè)圖中（圖8），我們看到了什么？想到了哪些相關(guān)知識(shí)？

生8：三角形三邊與圓相切，即三角形的內(nèi)切圓。內(nèi)切圓的圓心是三角形的內(nèi)心，是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)，到三角形三邊的距離相等。

問(wèn)題10：若順次連接A、B、C呢？

生9：能得到三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形的外心、三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。

2當(dāng)C取在劣弧上時(shí)。

問(wèn)題11：對(duì)于這個(gè)圖（圖9），你有什么想說(shuō)的嗎？

生10：圖9也得到了三角形和圓，不過(guò)圓在

三角形旁邊與三角形相切了，可以取個(gè)名字叫它“旁切圓”，這也是一種位置關(guān)系。

師：這個(gè)名字取得很好，不過(guò)這個(gè)“旁切圓”的大小不受三角形的控制，我們的教材中沒(méi)有研究。我們的教材只研究了三角形的內(nèi)切圓、三角形的外接圓。當(dāng)三角形確定時(shí)，它的內(nèi)切圓、外接圓都確定了。

問(wèn)題12：內(nèi)切圓的半徑通常用什么方法來(lái)求呢？

生11：因?yàn)橄嗲校赃^(guò)切點(diǎn)的半徑與三邊垂直，垂線段可以看成三角形的高線，所以用面積法可以計(jì)算出內(nèi)切圓的半徑r內(nèi)=2S△MNT÷C△MNT。

問(wèn)題13：如果選取的點(diǎn)B能使得兩條切線MB、MA互相垂直，此時(shí)的內(nèi)切圓的半徑還有其他方法來(lái)求嗎？

生12：此時(shí)得到了一個(gè)直角三角形（如圖10），可以得出四邊形AMBO為正方形，利用切線長(zhǎng)定理可以得出r內(nèi)=（MN+MT-NT）÷2。

問(wèn)題14：三角形的內(nèi)切圓、外接圓，包括你們?nèi)〉摹芭郧袌A”，都屬于三角形與圓的位置關(guān)系。那么，與圓有關(guān)的位置關(guān)系接下來(lái)還會(huì)往哪個(gè)方向研究呢？

生：四邊形與圓，多邊形與圓（圖11）......

設(shè)計(jì)意圖：繼續(xù)通過(guò)開(kāi)放性的動(dòng)手畫圖引出知識(shí)，學(xué)生在畫圖的過(guò)程中自然回顧了三角形的內(nèi)切圓、外接圓以及“旁切圓”。問(wèn)題11的追問(wèn)以及解答，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)什么樣的幾何圖形之間可以研究數(shù)量關(guān)系，為學(xué)生今后的自主學(xué)習(xí)提供了方法。問(wèn)題12、13的提出，幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固了各個(gè)量之間的關(guān)系。這里滲透了分類、數(shù)形結(jié)合、方程模型的思想，提升了學(xué)生整體建構(gòu)知識(shí)的能力，教學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

2.嘗試與鞏固。

嘗試：如圖12，圓O的直徑DE=8cm，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm。圓O以2cm/s的速度從左向右運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)D、E始終在直線BC上。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），當(dāng)t=0s時(shí)，圓O在△ABC的左側(cè)，OC=6cm。請(qǐng)結(jié)合復(fù)習(xí)的知識(shí)，嘗試編一道相關(guān)的問(wèn)題并解答。

設(shè)計(jì)意圖：開(kāi)放性的問(wèn)題設(shè)計(jì)，旨在通過(guò)復(fù)習(xí)知識(shí)培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)研究幾何問(wèn)題的一般角度和方法，引導(dǎo)學(xué)生多角度解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和深刻性。

二、教學(xué)反思

1.建構(gòu)知識(shí)體系。

在復(fù)習(xí)課中，學(xué)生已具備了一定的知識(shí)基礎(chǔ)，但知識(shí)體系不一定形成，需要在復(fù)習(xí)課中建構(gòu)知識(shí)體系。新課標(biāo)提倡，學(xué)生不是被動(dòng)地接受知識(shí)，而是要在積極主動(dòng)地參與下建構(gòu)。幾何知識(shí)往往跟圖形分不開(kāi)，因此，教師可以嘗試帶領(lǐng)學(xué)生畫圖，讓學(xué)生親自去發(fā)現(xiàn)盡可能多的東西，從而不斷地豐富圖形來(lái)建構(gòu)知識(shí)體系。這樣才能讓學(xué)生全面認(rèn)識(shí)、理解、掌握和運(yùn)用知識(shí)，才能讓知識(shí)內(nèi)化為成長(zhǎng)素養(yǎng)，才能真正滿足成長(zhǎng)需要。

本節(jié)課利用4個(gè)作圖操作，讓與圓有關(guān)的位置關(guān)系的所有知識(shí)慢慢地冒出新芽，自然生長(zhǎng)，最終長(zhǎng)成枝繁葉茂的大樹(shù)。畫圖的過(guò)程既帶領(lǐng)學(xué)生獨(dú)立、主動(dòng)地去參與、發(fā)現(xiàn)，又在流程設(shè)計(jì)上推陳出新，激發(fā)了學(xué)生的興趣，培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手能力。

2.激發(fā)數(shù)學(xué)思維。

為了使學(xué)生的能力在復(fù)習(xí)課中得到提升，復(fù)習(xí)課就不能對(duì)學(xué)過(guò)的知識(shí)機(jī)械地進(jìn)行重復(fù)，因?yàn)闄C(jī)械重復(fù)會(huì)使學(xué)生感覺(jué)枯燥，失去學(xué)習(xí)的興趣。除了在流程設(shè)計(jì)上推陳出新外，我們還要關(guān)注教師提出的問(wèn)題給學(xué)生帶來(lái)的數(shù)學(xué)思考，從而讓學(xué)生在梳理知識(shí)的同時(shí)，感悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法，提煉基本數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略，達(dá)到增長(zhǎng)智慧的目的。

本節(jié)課設(shè)計(jì)的問(wèn)題不是常規(guī)的習(xí)題，而是開(kāi)放性問(wèn)題，甚至讓學(xué)生自己提出問(wèn)題。第一、二、四個(gè)作圖都是開(kāi)放性作圖，這樣可以引領(lǐng)學(xué)生全面回顧點(diǎn)與圓、直線與圓、三角形與圓的位置關(guān)系。通過(guò)“尋找數(shù)學(xué)美”“你看到了什么”“你想到了什么”“還會(huì)向什么方向生長(zhǎng)”“嘗試編一道相關(guān)的問(wèn)題并解答”等一系列的開(kāi)放性問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生自主探究，深入思考，增進(jìn)認(rèn)識(shí);讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)知識(shí)的生長(zhǎng)過(guò)程，有利于學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)、創(chuàng)新能力的提升，有利于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)散性、深刻性的培養(yǎng)。

3.落實(shí)核心素養(yǎng)。

復(fù)習(xí)課上，教師除了要幫助學(xué)生全面復(fù)習(xí)知識(shí)，建構(gòu)知識(shí)體系之外，還應(yīng)該有意識(shí)地向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是開(kāi)啟數(shù)學(xué)知識(shí)寶庫(kù)的金鑰匙，我們的復(fù)習(xí)課需要關(guān)注思想，要讓復(fù)習(xí)課堂因思想而厚重。

本節(jié)課通過(guò)4個(gè)作圖操作串聯(lián)知識(shí)，讓學(xué)生在作圖的過(guò)程中經(jīng)歷逐漸遞進(jìn)、深度探究。數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)在以下方面：第一、二、四個(gè)作圖的答案都不是唯一的，在求知答案的過(guò)程中學(xué)生迫切需要的就是分類的思想;在判斷位置關(guān)系、圖形各要素之間關(guān)系的過(guò)程中，數(shù)形結(jié)合思想、模型思想得到了淋漓盡致的體現(xiàn);在如何作切線的過(guò)程中，畫切線的問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化成了畫垂線的問(wèn)題，體現(xiàn)了解決問(wèn)題過(guò)程中的轉(zhuǎn)化思想。學(xué)生在課堂中感受并體會(huì)到這些思想方法，并逐漸運(yùn)用到后續(xù)的學(xué)習(xí)中，最終形成能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此，在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)努力做到讓學(xué)生因參與而構(gòu)建，因追問(wèn)而明晰，因反思而升華，因思想而開(kāi)花。

（作者單位：江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)國(guó)際學(xué)校）