翟 聰，巫威眺

(1.佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院交通與土木建筑學(xué)院,廣東佛山528000；2.華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院，廣州510640)

0 引 言

隨著汽車保有量的增加，交通擁擠和交通安全問題變得日益嚴峻，為有效改善交通現(xiàn)狀，學(xué)者們提出眾多交通管理與控制策略，如公交優(yōu)化調(diào)度策略[1]和車輛控制策略[2].為深入理解交通擁擠形成的原因，學(xué)者們相繼提出各類交通流模型，包括以元胞自動機模型、跟馳模型為代表的微觀交通流模型[3-7]；以連續(xù)模型為主的宏觀交通流模型[8-10].考慮到微觀交通流模型注重車輛個體的描述，當(dāng)?shù)缆奋囕v數(shù)較多，研究因素較為復(fù)雜時會導(dǎo)致模型不易求解；宏觀交通流模型僅需要求解幾個參量構(gòu)成的偏微分方程或方程組，不受車輛數(shù)限制，計算時間較少，且注重道路車流整體影響，結(jié)合微觀和宏觀模型的優(yōu)點，并對兩類模型的缺點進行互補，1998年，日本學(xué)者Natagani[11]提出格點流體動力學(xué)模型，描述單車道上交通流的演化過程.自此，格點流體動力學(xué)模型成為宏觀交通流理論分析的熱點，諸多研究基于此模型進行改進，以分析不同因素對交通流的影響[12-17].

上述各類改進模型都假設(shè)道路是封閉的，即不存在匝道的影響，實際上，高速公路路段存在著很多入口匝道，其余道路上的車輛可以由入口匝道匯入主路，高速公路入口匝道車流對高速公路主路車流存在較大影響.2015年，孫棣華等[18]提出帶有入口匝道的格點交通流模型；王濤[19]分析主線雙車道上交通擁擠演化模式；在未來車聯(lián)網(wǎng)環(huán)境下，文獻[20-21]指出駕駛員能夠準(zhǔn)確獲取道路上車輛的具體信息，對下一時刻道路交通狀態(tài)進行有效預(yù)測.然而，在考慮有匝道影響的格點流體動力學(xué)模型下，卻鮮有涉及對駕駛員預(yù)測性的深入研究.為此，本文構(gòu)造考慮有匝道效應(yīng)和駕駛員預(yù)測性的新格點流體動力學(xué)模型，分析匝道流率和駕駛員預(yù)測時長對交通流穩(wěn)定性的影響.一方面可以對研究高速公路入口匝道處交通擁堵成因進行理論分析；另一方面，也可以對高速公路入口匝道處交通擁堵形成和傳播進行再現(xiàn).

1 模型建立

1998年，學(xué)者Natagani[11]給出最初版本的格點流體動力學(xué)模型，表達式為

式中：ρj(t)和qj(t)分別為格點j在t時刻的瞬時密度和流量值；ρj-1分別為格點j和后方格點j-1處的瞬時密度；ρ0為平均密度；a為駕駛員靈敏度值；V(·)為最優(yōu)速度函數(shù)，其函數(shù)表達式為

式中：vmax和ρc分別為最大速度和臨界安全密度.

式(1)是守恒方程，式(2)是運動方程.

隨著交通智能化的發(fā)展，駕駛員能夠獲取更多的周圍車輛信息，這些信息有助于駕駛員充分了解當(dāng)前道路交通狀況，作出準(zhǔn)確的預(yù)測.為研究駕駛員預(yù)測性對交通流穩(wěn)定性的影響，Wang[20]在Natagani[11]模型基礎(chǔ)上改進，提出新的格點模型，其中模型的守恒方程保持不變，在運動方程中引入預(yù)測項，公式為

式中：τ0為駕駛員的預(yù)測時間為前方格點j在未來預(yù)測時間t+τ0下的密度與當(dāng)前時間t下的密度差值；β為權(quán)重項.模型中最優(yōu)速度V(·)不僅與格點j在t時刻的密度相關(guān)，還與未來時間段內(nèi)密度變化有關(guān).

以往研究對駕駛員的預(yù)測性進行分析，主要是在單車道、雙車道條件下，沒有分析匝道上匯入流量對交通流的影響，文獻[18，19]論證高速公路匝道流量對主路車流穩(wěn)定性存在顯著影響.為此，本文提出考慮有入口匝道和駕駛員預(yù)測性影響的新格點流體動力學(xué)模型.新模型的運動方程與式(4)一致，在守恒方程中引入入口匝道流量影響.圖1為一類主線上帶有匝道匯入的路段示意圖.

圖1 帶匝道的交通系統(tǒng)原理圖Fig.1 Schematic of on-ramp traffic system

圖1中，路段A為主路，路段B為匝道(引道)，當(dāng)匝道B的車流匯入主路A時，使得主路上格點j處的密度要高于后方j(luò)-1處的密度，因此，格點j處的交通流入量定義為新模型的守恒方程為

式中：γ為格點j處的匝道流入率為無維量綱變量.

為便于后續(xù)分析，對ρj+1(t+τ0)進行泰勒展開，同時忽略高階非線性項，為此轉(zhuǎn)化為

將式(6)帶入式(4)，可得

綜合式(7)和式(5)，消除中間變量qj(t)，同時，為便于閱讀，在每個表達式中省略時間變量t，得到

2 線性穩(wěn)定性分析

假設(shè)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，即初始密度為ρ0，最優(yōu)速度V(ρ0)，可知穩(wěn)定狀態(tài)的解為

假定yj(t)為穩(wěn)定狀態(tài)下的微小擾動，為此，格點j的密度為

將式(10)帶入式(8)，則變?yōu)?/p>

進一步的，將式(13)帶入式(12)可得關(guān)于(ik)2的二階項系數(shù)為

如果z2為負值，則上述均勻交通流變?yōu)椴环€(wěn)定交通流，因此，中性穩(wěn)定條件可以由z2=0 給出，即

綜上所述，得到交通流的穩(wěn)定性條件為

當(dāng)β=0或τ0=0時，式(16)穩(wěn)定性條件退化為

此結(jié)論與文獻[18]的結(jié)論一致.進一步，當(dāng)γ=0，式(17)與Natagani 格點模型的結(jié)論一致，具體為

因此，本文的結(jié)論可視為上述文獻[10,18]結(jié)論的一般化形式.

3 非線性穩(wěn)定性分析

為研究中性穩(wěn)定曲線附近交通擁堵的演化情形，引入空間變量j和時間變量t，在ε滿足0＜ε ＜1下定義慢變量X和T.

式中：b為待定常數(shù).設(shè)密度ρj為

將式(19)和式(20)帶入式(8)，并展開至ε的5階項，得到

為得到標(biāo)準(zhǔn)的mKdV方程，做變換為

將式(23)帶入式(22)，可得含有校正項的mKdV方程為

忽略其中校正項，對式(24)mKdV 方程求解，得扭結(jié)—反扭結(jié)解為

為獲取扭結(jié)—反扭結(jié)解的傳播速度，必須滿足條件為

求解式(26)，得到關(guān)于密度波的傳播速度為

綜上，可得扭結(jié)—反扭結(jié)密度波解為

扭結(jié)—反扭結(jié)密度波解表示共存相，包含低密度區(qū)域的自由流運動相和高密度區(qū)域的阻塞相，自由流運動相的密度為ρ=ρc-A，阻塞相的密度為ρ=ρc+A.圖2為不同參數(shù)下密度—靈敏度的相位圖，由圖2可知：隨著參數(shù)γ不斷增大，即匝道匯入車流流率加快，臨界點逐漸上升，表明主線交通流的穩(wěn)定性區(qū)域被壓縮，即穩(wěn)定性變差；相反，隨著參數(shù)τ0不斷增大，駕駛員的預(yù)測時間變長，臨界點逐漸下降，即主線車流穩(wěn)定性進一步增強.

為進一步探究參數(shù)γ、τ0與臨界點ac之間的關(guān)系，圖3、圖4分別從二維、三維角度量化三者之間的關(guān)系.由圖3可知，參數(shù)γ與臨界點ac呈現(xiàn)正比例關(guān)系；參數(shù)τ0與臨界點ac表現(xiàn)出完全相反的趨勢，圖4從三維角度驗證上述的結(jié)論.

4 仿真算例

為驗證上述理論分析的結(jié)論，本文在周期性邊界條件下，對式(12)進行如下的仿真分析，其中，駕駛員的靈敏度系數(shù)a=2，平均密度ρ0=0.25，數(shù)值模型的初始條件設(shè)置為

其中，Δρ=0.05，N=100.

圖2 在不同參數(shù)下中性穩(wěn)定曲線和共存曲線的演化情況Fig.2 Evolution of neutral curve and coexist curve under different parameters

圖3 在不同參數(shù)下臨界靈敏度的取值情況Fig.3 Critical sensitivity against with different parameters

圖4 不同參數(shù)對(γ,τ0)下臨界靈敏度取值情況Fig.4 Sensitivity of critical points under different situations(γ,τ0)

圖5為在t=104s后不同參數(shù)γ下的密度時空演化圖，由圖5可知，交通流均演化成阻塞交通流，這是因為穩(wěn)定性條件(8)未滿足，為此初始干擾隨時間的演化波動幅度逐漸增大，最終演化成阻塞流.

圖6為圖5在t=10 300 s時刻下的瞬時密度分布情況.圖6中各子圖都存在著不同程度的波動幅度，其中，圖6(d)的密度波動幅度遠高于圖6(a)，因此，參數(shù)γ的增大會一定程度上加劇交通擁堵的出現(xiàn).

圖7為不同參數(shù)γ下格點j=50在時間區(qū)間t= 60 000～70 000 s 內(nèi)磁滯回線曲線情況.通過判斷磁滯回線曲線所圍封閉區(qū)域面積的大小判斷交通流的穩(wěn)定性，一般的，所圍面積越大，表明交通流穩(wěn)定性越差.由圖7可知，隨著參數(shù)γ的不斷增大，所圍面積也逐漸增大.由圖5～圖7可知，參數(shù)γ對交通流的穩(wěn)定性存在顯著影響，且該影響是負向的.

圖8為在t=104s后在不同參數(shù)τ0下的密度時空演化圖.由圖8可知，由于穩(wěn)定性條件(8)未滿足，為此圖8(a)～(c)中交通流演化成阻塞交通流；當(dāng)τ0=0.9時,上述穩(wěn)定性條件(8)得以滿足，圖8(d)中走停波幾乎消失，此時交通流重新恢復(fù)到均勻流.

圖5 在不同參數(shù)γ 下密度波隨時間的演化情況Fig.5 Evolution of traffic flow density under different parameter γ

圖6 在不同參數(shù)γ 下道路上各格點在t= 10 300 s時的瞬時密度分布情況Fig.6 Instantaneous distribution of traffic flow density with different values of parameter γ under t=10 300 s

圖9為圖8在t=10 300 s時刻下的瞬時密度分布情況.隨著參數(shù)τ0的不斷增大，密度震蕩幅度逐漸消失，在圖9(d)中密度震蕩幅度為0，此時交通流滿足穩(wěn)定.

圖7 不同參數(shù)γ 下新模型的磁滯回線曲線Fig.7 Hysteresis loop curve of new lattice model under different values of parameter γ

圖8 在不同參數(shù)τ0 下密度波隨時間的演化情況Fig.8 Evolution of traffic flow density under difference parameter

圖10為不同參數(shù)τ0下格點j=50在時間區(qū)間t= 60 000～70 000 s 內(nèi)磁滯回線曲線情況.隨著參數(shù)τ0的不斷增大，磁滯環(huán)逐漸向內(nèi)回縮，在圖10(d)磁滯環(huán)收斂于一點,綜合圖8～圖10可得，參數(shù)τ0對交通流的穩(wěn)定性存在顯著影響，且該影響是正向的.

圖9 在不同參數(shù)τ0 下道路上各格點在t=10 300 s時的瞬時密度分布情況Fig.9 Instantaneous distribution of traffic flow density with difference parameter τ0 under t=10 300 s

圖10 不同參數(shù)τ0 下新模型的磁滯回線曲線Fig.10 Hysteresis loop curve of new lattice model under difference parameter τ0

5 結(jié) 論

本文通過考慮駕駛員的預(yù)測時長和匝道流率對主路交通流的影響，構(gòu)建新的格點流體動力學(xué)模型，基于線性穩(wěn)定性理論獲得新格點模型滿足穩(wěn)定的充分條件，同時基于非線性穩(wěn)定性分析方法獲得關(guān)于臨界點附近的mKdV 方程，通過求解該方程得到可用于描述交通擁擠演化特性的扭結(jié)-反扭結(jié)孤立波解，最后以仿真算例驗證理論分析的主要結(jié)論，即增大匝道流率系數(shù)γ會破壞交通流的穩(wěn)定性，而駕駛員的預(yù)測時間τ0與交通流穩(wěn)定性呈現(xiàn)正比例關(guān)系，參數(shù)τ0越大，交通流的穩(wěn)定性越強，交通擁堵越不可能發(fā)生.因此，參數(shù)γ、τ0對于高速公路主路交通流穩(wěn)定具有重要影響.

本文研究仍存在一些可拓展之處，例如研究假定所有車輛是同質(zhì)的，沒有分析車輛差異性的影響，因此后續(xù)研究可探究異質(zhì)交通流；另外，研究主要基于仿真算例，缺乏實際數(shù)據(jù)進行驗證，未來將著重對這兩點問題進行深入研究.