楊宇通 曾星宇 石崟

摘要：柔輪和柔性軸承作為諧波減速器的關(guān)鍵部件，因承受交變載荷而易疲勞損壞。針對(duì)諧波減速器高承載、高剛度、高壽命的使用需求，使用響應(yīng)面優(yōu)化分析和中心復(fù)合設(shè)計(jì)（CCD）方法，通過(guò)有限元軟件ANSYS Workbench分析了溝曲率半徑對(duì)柔輪和柔性軸承應(yīng)力及變形的影響，結(jié)果表明：內(nèi)圈溝曲率半徑主要影響內(nèi)圈和滾珠受力;較大的外圈溝曲率半徑可減小軸承外圈和柔輪的應(yīng)力，獲得較小的變形量，提高柔輪使用壽命。

關(guān)鍵詞：諧波減速器;有限元仿真;響應(yīng)面法;溝曲率半徑;柔輪壽命

0 引言

諧波減速器是依靠柔性零件產(chǎn)生彈性機(jī)械波來(lái)傳遞動(dòng)力和運(yùn)動(dòng)的一種行星齒輪傳動(dòng)設(shè)備，由于其具備高承載、大傳動(dòng)比和結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用于機(jī)器人關(guān)節(jié)控制、航天航空領(lǐng)域的精密定位系統(tǒng)和其他精密機(jī)械中，是目前減速器的研究重點(diǎn)。

辛洪兵[1]提出了雙圓弧諧波齒輪傳動(dòng)柔輪和剛輪基本齒廓設(shè)計(jì)方法，對(duì)于提高雙圓弧諧波齒輪傳動(dòng)扭轉(zhuǎn)剛度和傳動(dòng)精度有重要作用。張渝爽[2]等人對(duì)柔輪的結(jié)構(gòu)做了改進(jìn)，即在柔輪齒上倒角和光滑圓筒外表面切入一定圓弧深度，對(duì)比發(fā)現(xiàn)此結(jié)構(gòu)可有效降低柔輪應(yīng)力，減輕柔輪應(yīng)力集中。張林川[3]等人對(duì)不同溝曲率半徑系數(shù)的柔性軸承進(jìn)行了靜力學(xué)分析，得到了不同參數(shù)的柔性軸承內(nèi)外圈的變形、應(yīng)力規(guī)律。

本文從整體出發(fā)，基于ANSYS Workbench響應(yīng)面優(yōu)化的中心復(fù)合設(shè)計(jì)方法，研究柔性軸承溝曲率半徑對(duì)諧波減速器柔輪和柔性軸承的應(yīng)力和變形影響，以提高諧波減速器的使用壽命和承載能力。

1 柔輪的強(qiáng)度分析與響應(yīng)面法

1.1? ? 柔輪的基本結(jié)構(gòu)

以某工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)的諧波減速器為例，其柔輪結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示，相關(guān)幾何參數(shù)如表1所示。

1.2? ? 柔輪的強(qiáng)度分析

基于光滑圓柱殼體模型來(lái)分析柔輪受力：

沿母線方向的正應(yīng)力：

式中，t為柔輪壁厚;rm為中線半徑;v、E為泊松比和彈性模量;w0為徑向變形量;KM為應(yīng)力增長(zhǎng)系數(shù);Kd為動(dòng)載系數(shù);Cσ為正應(yīng)力系數(shù);Cτ為剪應(yīng)力系數(shù)。

1.3? ? 響應(yīng)面法

響應(yīng)面法是對(duì)指定區(qū)域內(nèi)的系列樣本點(diǎn)設(shè)計(jì)試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果擬合出一個(gè)響應(yīng)面函數(shù)來(lái)近似代替真實(shí)響應(yīng)面。響應(yīng)面函數(shù)是把復(fù)雜的模型利用高階函數(shù)關(guān)系近似替代，從而快速精確地進(jìn)行求解。式（2）表示響應(yīng)結(jié)構(gòu)Z1與變量q=[q1，q2，…，qr]的關(guān)系，首先采用抽樣方式獲得N個(gè)樣本，然后把相應(yīng)的樣本值結(jié)合關(guān)系式進(jìn)行處理，經(jīng)過(guò)處理的結(jié)果可以用（z1，z2，…，zs）表示，最后擬合出響應(yīng)函數(shù)[4]。

式中，a0為常數(shù)項(xiàng);ai、aii、aij為各項(xiàng)系數(shù);ε0為誤差項(xiàng)。

常用的響應(yīng)面設(shè)計(jì)方法有CCD法（中心復(fù)合設(shè)計(jì)方法）和BBD法，CCD法擬合模型時(shí)相對(duì)BBD法來(lái)說(shuō)能更好擬合響應(yīng)曲面，故本文采用CCD法。

2 有限元分析

在ANSYS Workbench中建立三維裝配模型，柔輪用等效齒厚h=t，t為柔輪齒根圓到內(nèi)壁的距離。為了劃分的網(wǎng)格均勻，柔輪沿長(zhǎng)、短軸切開(kāi)，運(yùn)用Form new part組合成體。

柔輪采用30CrMnSiA材質(zhì)，密度7 750 km/m3，彈性模量196 GPa，泊松比0.3;凸輪用45鋼，密度7 810 km/m3，彈性模量200.1 GPa，泊松比0.277;軸承用GCr15，密度7 850 km/m3，彈性模量217 GPa，泊松比0.29。采用面-面接觸，柔性軸承內(nèi)圈與滾珠之間用綁定接觸（Bonded），多點(diǎn)約束（MPC）算法，其余采用摩擦接觸，摩擦系數(shù)0.1;增廣拉格朗日算法，法向接觸剛度系數(shù)0.1。利用掃略法得到較高質(zhì)量的六面體網(wǎng)格。柔性軸承內(nèi)、外圈的最大徑向變形量與其內(nèi)、外圈厚度之比大于0.2，大變形問(wèn)題需打開(kāi)大變形設(shè)置;約束柔輪杯底全自由度，柔性軸承限制軸向自由度。

柔性軸承內(nèi)圈、外圈、滾珠和柔輪的最大等效應(yīng)力σi、σe、σb、σfg（MPa），齒端、齒根最大變形ξ0、ξ1（mm）為輸出，采用設(shè)計(jì)變量連續(xù)的中心復(fù)合設(shè)計(jì)方法。

國(guó)內(nèi)軸承設(shè)計(jì)一般選取溝曲率半徑系數(shù)f=0.51～0.54[5]，本文取f=0.515～0.53，即溝曲率半徑4.90～5.05 mm作為輸入范圍，提交有限元分析，仿真結(jié)果如表2所示。

3 應(yīng)力與變形分析

3.1? ? 柔性軸承內(nèi)、外圈的應(yīng)力分析

圖2為ri/re=4.9/5.05 mm柔性軸承內(nèi)、外圈應(yīng)力云圖。內(nèi)圈的最大等效應(yīng)力產(chǎn)生于凸輪長(zhǎng)軸對(duì)應(yīng)的內(nèi)圈長(zhǎng)軸位置，最小等效應(yīng)力產(chǎn)生于45°處（以短軸為坐標(biāo)0°參考）;外圈最大等效應(yīng)力產(chǎn)生于凸輪長(zhǎng)軸對(duì)應(yīng)的外圈長(zhǎng)軸位置（遠(yuǎn)離齒端處），這是由于諧波減速器安裝過(guò)程中的喇叭形變形造成的，最小等效應(yīng)力發(fā)生在凸輪短軸對(duì)應(yīng)的外圈短軸附近。

柔性軸承受力如圖3所示，軸承外圈溝曲率半徑re一定時(shí)，內(nèi)圈溝曲率半徑ri增大，外圈最大等效應(yīng)力σe基本不變，而內(nèi)圈最大等效應(yīng)力σi近似呈線性增大，滾珠最大等效應(yīng)力σb近似呈線性縮小;當(dāng)內(nèi)圈溝曲率半徑ri一定時(shí)，外圈溝曲率半徑re增大，內(nèi)圈和滾珠最大等效應(yīng)力σi、σb近似不變，外圈最大等效應(yīng)力σe減小，且內(nèi)、外圈最大等效應(yīng)力的差值逐漸增大。外圈受力復(fù)雜，可以先選合理的內(nèi)溝曲率半徑，然后選較大的外圈溝曲率半徑，使柔性軸承外圈受力較小，提高柔性軸承使用壽命。

3.2? ? 柔輪的應(yīng)力與應(yīng)變分析

3.2.1? ? 柔輪的應(yīng)力分析

圖4為ri/re=4.9/5.05 mm柔輪的應(yīng)力云圖。柔輪最大等效應(yīng)力發(fā)生在齒圈齒根處，這是減速器存在喇叭形變形導(dǎo)致的。柔輪等效應(yīng)力分析結(jié)果如圖5所示，可看到柔性軸承外圈溝曲率半徑re大小是影響柔輪應(yīng)力的主要因素，外圈溝曲率半徑re增大，柔輪應(yīng)力σfg大幅減小?？蛇x擇較大的溝曲率半徑re使得柔輪應(yīng)力減小，提高柔輪使用壽命。

3.2.2? ? 柔輪的應(yīng)變分析

圖6為ri/re=4.9/5.05 mm柔輪應(yīng)變?cè)茍D，最大應(yīng)變?cè)谌彷嗛L(zhǎng)軸的齒圈前端，這是柔輪產(chǎn)生喇叭形變形引起的。

齒圈形變分析結(jié)果如圖7所示，影響柔輪應(yīng)變的主要因素是柔性軸承外圈的溝曲率半徑re，隨著外圈溝曲率半徑re的增大，柔輪的齒端形變?chǔ)?和齒根處形變?chǔ)?都減小，并且兩者的差值逐漸減小。改變外圈溝曲率半徑re可以影響柔輪的應(yīng)變。根據(jù)內(nèi)、外溝曲率半徑對(duì)柔輪變形量的影響，選擇較大的外圈溝曲率半徑可使柔輪變形量減小，齒圈在具有較大剛度的同時(shí)承受較小應(yīng)力，提高了承載能力和使用壽命。

4 結(jié)論

（1）影響柔性軸承內(nèi)圈和滾珠最大等效應(yīng)力的是內(nèi)圈溝曲率半徑，隨著其增大，柔性軸承內(nèi)圈最大等效應(yīng)力近似呈線性增大，滾珠最大等效應(yīng)力近似呈線性減小。

（2）外圈溝曲率半徑是影響柔性軸承外圈最大等效應(yīng)力的主要因素。選擇較大的外圈溝曲率半徑，可減小外圈受力，延長(zhǎng)柔性軸承使用壽命。

（3）柔輪受力與變形和外圈溝曲率半徑相關(guān)，選擇合適的溝曲率半徑，柔輪可在擁有較大剛度的同時(shí)承受較小應(yīng)力，提高諧波減速器的承載能力和使用壽命。

[參考文獻(xiàn)]

[1] 辛洪兵.雙圓弧諧波齒輪傳動(dòng)基本齒廓設(shè)計(jì)[J].中國(guó)機(jī)械工程，2011，22（6）：656-662.

[2] 張渝爽，王家序，汪正煒，等.變結(jié)構(gòu)雙圓弧柔輪的應(yīng)力分析[J].機(jī)械傳動(dòng)，2015（8）：156-158.

[3] 張林川，王家序，秦德成，等.溝曲率半徑系數(shù)對(duì)柔性軸承應(yīng)力的影響[J].機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2013，32（5）：652-655.

[4] 張雷，張立華，王家序，等.基于響應(yīng)面的柔輪應(yīng)力和剛度分析[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào)（工學(xué)版），2019，53（4）：638-644.

[5] 徐衛(wèi)軍，孫慧廣.關(guān)于深溝球軸承溝曲率半徑系數(shù)的選取[J].哈爾濱軸承，2011，32（2）：11-12.

收稿日期：2020-06-09

作者簡(jiǎn)介：楊宇通（1995—），男，陜西咸陽(yáng)人，在讀碩士，研究方向：諧波減速器結(jié)構(gòu)與優(yōu)化設(shè)計(jì)。