龔有敏，郭延寧，馬廣富，高新洲

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 控制科學(xué)與工程系·哈爾濱·150001)

0 引 言

隨著航天技術(shù)的不斷發(fā)展，人們對(duì)于深空的探索欲與好奇心不斷驅(qū)使著各個(gè)國(guó)家和組織前赴后繼地開展各種深空探索活動(dòng)。在八大行星中，火星距離地球最近，生存環(huán)境與地球最為類似。人類一直寄希望于火星能夠給生命提供生存條件，作為人類可持續(xù)發(fā)展的基地。因此，各個(gè)國(guó)家將火星探測(cè)作為現(xiàn)在深空探測(cè)的主要方向之一，火星探測(cè)技術(shù)引領(lǐng)著深空探測(cè)技術(shù)不斷發(fā)展[1-2]。1962年11月1日，蘇聯(lián)的“火星1號(hào)”揭開了火星探測(cè)的序幕。迄今為止，共有6個(gè)國(guó)家和組織進(jìn)行了46次探測(cè)火星的嘗試[3]，從著陸精度為150km的“火星探路者”到10km著陸精度量級(jí)的“火星科學(xué)實(shí)驗(yàn)室”，火星探測(cè)器的著陸精度越來越高，而未來火星探測(cè)任務(wù)對(duì)精度的需求也越來越高，這無(wú)疑給火星探測(cè)技術(shù)帶來了很多機(jī)遇與挑戰(zhàn)[4]。

火星探測(cè)器從脫離火星繞飛軌道進(jìn)入火星大氣開始，一般包括大氣進(jìn)入段、下降段和著陸段三個(gè)(Entry，Descent and Landing，EDL)階段[5]。大氣進(jìn)入段為火星探測(cè)器著陸整體任務(wù)中的第一階段。由于火星大氣稀薄，在進(jìn)入過程中火星大氣能夠提供給探測(cè)器的氣動(dòng)力非常有限，使得依靠氣動(dòng)力修正不確定性和外界干擾帶來的進(jìn)入誤差成為進(jìn)入段制導(dǎo)的一大難題，同時(shí)進(jìn)入段的精度也直接影響著后續(xù)的著陸精度[3,6]。

目前，研究火星探測(cè)器在大氣進(jìn)入段的制導(dǎo)方法主要包括了預(yù)測(cè)—修正制導(dǎo)和跟蹤制導(dǎo)[7-10]兩大類。預(yù)測(cè)—修正制導(dǎo)的關(guān)鍵之處是參數(shù)建模、約束條件和求解方法。為了滿足在線求解的快速性、穩(wěn)定性與收斂性，需要進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，這就在一定程度上限制了預(yù)測(cè)—修正制導(dǎo)的使用。相關(guān)研究包括，李毛毛等[11]根據(jù)一階特征模型設(shè)計(jì)的全系數(shù)自適應(yīng)預(yù)測(cè)修正制導(dǎo)律，利用時(shí)變動(dòng)態(tài)增益變換技術(shù)降低了預(yù)測(cè)誤差與制導(dǎo)修正量之間的時(shí)變動(dòng)態(tài)增益，并給出了全系數(shù)自適應(yīng)預(yù)測(cè)修正制導(dǎo)律的收斂性證明。夏元清等[12]詳細(xì)介紹了預(yù)測(cè)—修正制導(dǎo)，給出了增加檢測(cè)點(diǎn)的改進(jìn)預(yù)測(cè)制導(dǎo)律。Zheng等[13]在性能指標(biāo)中加入了光滑處理的精確懲罰函數(shù)來設(shè)計(jì)制導(dǎo)律。該方法無(wú)需額外的假設(shè)或處理，便能得到穩(wěn)定的求解，但經(jīng)驗(yàn)對(duì)其具有較大的影響。跟蹤制導(dǎo)通?；谧枇铀俣雀櫾O(shè)計(jì)制導(dǎo)律，如Furfaro等[14]設(shè)計(jì)了在有限擾動(dòng)下的全局穩(wěn)定多滑模制導(dǎo)律，Dai等[15]利用終端滑模設(shè)計(jì)了縱向運(yùn)動(dòng)的有限時(shí)間制導(dǎo)律，閆曉鵬等[16]利用齊次性方法結(jié)合干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)了有限時(shí)制導(dǎo)律。但是，跟蹤制導(dǎo)在初始跟蹤誤差較大時(shí)容易出現(xiàn)飽和且存在跟蹤誤差難以消除的情況。

火星探測(cè)器大氣進(jìn)入段的橫向運(yùn)動(dòng)與縱向運(yùn)動(dòng)是能夠?qū)崿F(xiàn)解耦設(shè)計(jì)的。通常都是利用縱向運(yùn)動(dòng)設(shè)計(jì)制導(dǎo)律，再通過傾側(cè)角反號(hào)完成橫向制導(dǎo)。目前橫程和航向角常用于設(shè)計(jì)傾側(cè)角反號(hào)邏輯，Lu等[17]利用速度設(shè)計(jì)了二次型的橫程閾值，進(jìn)行傾側(cè)角切換。郭敏文和Christopher W等[18-19]設(shè)計(jì)了速度的線性函數(shù)作為橫程閾值。利用橫程閾值設(shè)計(jì)的傾側(cè)角邏輯計(jì)算相對(duì)復(fù)雜且計(jì)算量大，增加了宇航計(jì)算機(jī)的運(yùn)算壓力。夏元清等[12]利用反饋線性化方法將航向角誤差選為一階慣性環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)反號(hào)邏輯。趙振華等[20]將航向角誤差閾值設(shè)計(jì)為常值進(jìn)行傾側(cè)角的切換。該方法在起始速度較大時(shí)易發(fā)生傾側(cè)角的頻繁反號(hào)，從而導(dǎo)致任務(wù)失敗。

本文研究了阻力加速度的跟蹤制導(dǎo)方法。在橫向運(yùn)動(dòng)中，給出了與速度成線性關(guān)系的航向角誤差漏斗走廊并設(shè)計(jì)了傾側(cè)角反號(hào)邏輯。與傳統(tǒng)的橫程漏斗走廊相比，該方法計(jì)算簡(jiǎn)單。與航向角誤差等寬走廊相比，該方法能夠有效減少大速度情況下的傾側(cè)角符號(hào)切換，提高任務(wù)成功概率。在縱向運(yùn)動(dòng)中，考慮到RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)非線性具有很好的逼近作用，本文通過RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償了傾側(cè)角的飽和問題，結(jié)合固定時(shí)間控制理論，設(shè)計(jì)了縱向固定時(shí)間阻力加速度跟蹤滑模制導(dǎo)律，使得跟蹤誤差可在有限時(shí)間內(nèi)收斂至0。考慮到滑?？刂凭哂袕?qiáng)魯棒性且積分滑模能夠解決傳統(tǒng)滑?？刂频亩墩駟栴}，本文利用跟蹤誤差設(shè)計(jì)了積分形式的滑模面，并將跟蹤誤差以兩種不同的形式引入制導(dǎo)律。這種方法一方面能夠有效消除抖振，另一方面也能保證在誤差較大與較小時(shí)均可加快收斂速度。通過數(shù)值仿真，驗(yàn)證了本文所設(shè)計(jì)的橫向傾側(cè)角切換邏輯與縱向制導(dǎo)律在大氣進(jìn)入段的有效性，且確保了較高的跟蹤精度。

1 大氣進(jìn)入段動(dòng)力學(xué)與問題分析

1.1 大氣進(jìn)入段動(dòng)力學(xué)模型

火星探測(cè)器在大氣進(jìn)入段是無(wú)動(dòng)力飛行的，可通過改變傾側(cè)角達(dá)到改變探測(cè)器位置和速度的目的。將探測(cè)器視為質(zhì)點(diǎn)，可建立探測(cè)器的動(dòng)力學(xué)方程如下：

(1)

(2)

L=ρV2CLS/(2m)

(3)

式中，m為探測(cè)器質(zhì)量；S為探測(cè)器參考表面積；CL和CD分別為火星大氣的升力系數(shù)和阻力系數(shù)；Bf為探測(cè)器的彈道系數(shù)；ρ為火星大氣密度，定義為如下參考高度rs的函數(shù)：

ρ(r)=ρsexp[-β(r-rs)]

(4)

式中，ρs為參考高度處的大氣密度；rs為參考高度；β為參考高度的倒數(shù)。

1.2 問題分析

火星探測(cè)器在大氣進(jìn)入段通過改變傾側(cè)角σ達(dá)到改變位置和速度的目的，因此大氣進(jìn)入段的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)即為確定合適的傾側(cè)角σ的變化規(guī)律，以滿足任務(wù)要求，完成對(duì)標(biāo)稱大氣進(jìn)入軌跡的跟蹤。

由動(dòng)力學(xué)方程(1)可以看出，在大氣進(jìn)入段，探測(cè)器的縱向運(yùn)動(dòng)和橫向運(yùn)動(dòng)是解耦的。針對(duì)縱向運(yùn)動(dòng)所設(shè)計(jì)的傾側(cè)角σ，可以通過改變其符號(hào)改變橫向運(yùn)動(dòng)，而確?？v向運(yùn)動(dòng)不受影響。因此，本文僅針對(duì)縱向運(yùn)動(dòng)設(shè)計(jì)制導(dǎo)律，橫向制導(dǎo)通過設(shè)計(jì)合理的反號(hào)邏輯對(duì)σ反號(hào)即可。

2 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

2.1 橫向傾側(cè)角反號(hào)邏輯設(shè)計(jì)

探測(cè)器在大氣進(jìn)入段中，為確保探測(cè)器的精確著陸，要求大氣進(jìn)入段的末端具有較高的進(jìn)入精度，即大氣進(jìn)入段不僅要保證縱向運(yùn)動(dòng)的精度，還需要保證橫向運(yùn)動(dòng)的精度，而橫向運(yùn)動(dòng)的誤差可通過改變傾側(cè)角的符號(hào)而實(shí)現(xiàn)。為此，需要合理地設(shè)計(jì)傾側(cè)角的反號(hào)邏輯，以達(dá)到橫向運(yùn)動(dòng)的精度要求。

本文利用航向角誤差進(jìn)行傾側(cè)角反號(hào)邏輯設(shè)計(jì)，定義航向角誤差為

eψ=ψ-ψd

(5)

其中，ψd為期望的航向角。

通過限制航向角誤差，在某一滿足橫向運(yùn)動(dòng)精度要求的范圍內(nèi)保證橫向運(yùn)動(dòng)的精度。當(dāng)航向角誤差超出該閾值，傾側(cè)角σ反號(hào)，使得航向角向減小誤差的方向運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而保證橫向運(yùn)動(dòng)的精度。

為了保證橫向運(yùn)動(dòng)精度且避免傾側(cè)角頻繁切換，本文利用探測(cè)器的速度V設(shè)計(jì)了航向角誤差的閾值，該閾值設(shè)計(jì)為速度的線性函數(shù)：

|ζ|=η1V+η2

(6)

式中，η1和η2為常系數(shù)，可根據(jù)任務(wù)要求進(jìn)行選取。

式(6)描述的航向角誤差閾值為漏斗走廊形式，該閾值走廊在進(jìn)入段起始階段探測(cè)器速度較大時(shí)，閾值相應(yīng)也較大，航向角誤差不會(huì)因此頻繁到達(dá)閾值邊界而引起傾側(cè)角頻繁反號(hào)，進(jìn)而可減少傾側(cè)角切換的次數(shù)。當(dāng)進(jìn)入大氣進(jìn)入段末端時(shí)，探測(cè)器的速度較小，此時(shí)航向角誤差的閾值也相應(yīng)較小，能夠限制航向角誤差在較小的范圍內(nèi)，進(jìn)而保證橫向運(yùn)動(dòng)的精度。根據(jù)任務(wù)需求，合理地選取η1和η2，不僅能夠保證橫向運(yùn)動(dòng)的末端精度，還能減少傾側(cè)角反號(hào)的頻率。

2.2 抗飽和固定時(shí)間縱向制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

2.2.1 阻力加速度數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)

從阻力加速度D的表達(dá)式(2)可以看出，阻力加速度D并不顯含傾側(cè)角σ，而是與速度V相關(guān)。結(jié)合動(dòng)力學(xué)方程(1)可知，在D的二階導(dǎo)數(shù)中會(huì)出現(xiàn)傾側(cè)角σ。基于阻力加速度的跟蹤制導(dǎo)律設(shè)計(jì)其實(shí)研究的就是阻力加速度的變化規(guī)律。通過設(shè)計(jì)相應(yīng)的傾側(cè)角σ，完成對(duì)期望阻力加速度的跟蹤，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)火心距r、速度V、經(jīng)度θ、緯度φ等的跟蹤。

對(duì)阻力加速度求一階導(dǎo)可得

(7)

進(jìn)一步對(duì)式(7)求導(dǎo)可得

=f(x)+g(x)u

(8)

(9)

(10)

2.2.2 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

針對(duì)式(7)和式(8)，設(shè)計(jì)縱向制導(dǎo)律u。在設(shè)計(jì)之前，先給出兩個(gè)引理：

引理1[21]：考慮系統(tǒng)(11)，若在平衡點(diǎn)的鄰域U?Rn內(nèi)存在Lyapunov函數(shù)Vb(x3)滿足條件(12)，則系統(tǒng)(11)是在固定時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定到平衡點(diǎn)的，且對(duì)于任意的Vb(x3)都能夠在固定的時(shí)間Tb收斂到0。收斂的時(shí)間Tb與初始狀態(tài)有關(guān)且存在上界，滿足式(13)。其中，常數(shù)α,λ,p,k>0，pk<1且gk>1。

(11)

(12)

(13)

(14)

結(jié)合式(7)和式(8)，得到阻力加速度跟蹤誤差模型如下：

(15)

考慮到探測(cè)器的傾側(cè)角存在飽和，即

u=sat(u)+δ

(16)

式中，u為理想制導(dǎo)律輸出，sat(u)為制導(dǎo)律的輸出，δ=u-sat(u)為控制偏差，sat(u)的定義如下：

(17)

式中，umax為制導(dǎo)律的飽和值。

此時(shí)式(15)可改寫為

(18)

利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)g(x)δ進(jìn)行逼近，由RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近原理[23]，可給出以下假設(shè)。

假設(shè)1：對(duì)于?εN>0，存在最優(yōu)加權(quán)矩陣θ*，使得RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差滿足

(19)

其中，Φ(x)為高斯RBF函數(shù)。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)g(x)δ的估計(jì)為

(20)

(21)

其中，ξi∈Rn,μi>0為第i個(gè)高斯RBF函數(shù)的中心和寬度。

為避免滑?？刂乒逃械亩墩駟栴}，選取基于跟蹤誤差的積分滑模面

(22)

定理1：利用式(22)所設(shè)計(jì)的固定時(shí)間跟蹤制導(dǎo)律(23)，式(18)中的火星探測(cè)器大氣進(jìn)入段阻力加速度跟蹤誤差可在固定時(shí)間內(nèi)收斂到滑模面，即s=0。然后，系統(tǒng)狀態(tài)可在有限時(shí)間收斂到平衡點(diǎn)，即e1=e2=0，且收斂到滑模面的時(shí)間滿足式(24)

u=g-1(x){[-f(x)-λ1sigβ1(e1)-

k3sgn(s)}

(23)

式中，控制增益k1>0，k2>0，c1>0，c2>0，ε1>0，0<α1<1，α2>1，k3>εN。

(24)

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)律為

(25)

(26)

對(duì)式(26)求導(dǎo)得

=s(λ1sigβ1(e1)+λ2sigβ2(e2)+f(x)-

sg(x)δ+sθ*ΦΔ

(27)

根據(jù)引理1得證，跟蹤誤差在固定時(shí)間內(nèi)收斂到式(22)的滑模面。

到達(dá)滑模面后，系統(tǒng)變?yōu)?/p>

(28)

3 數(shù)值仿真與分析

為驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的橫向傾側(cè)角反號(hào)邏輯和縱向制導(dǎo)律的有效性，采用文獻(xiàn)[24]的參數(shù)生成標(biāo)稱軌跡設(shè)計(jì)仿真實(shí)驗(yàn)并進(jìn)行驗(yàn)證，生成標(biāo)稱軌跡的探測(cè)器參數(shù)如表1所示。

表1 標(biāo)稱系統(tǒng)參數(shù)

生成大氣進(jìn)入段標(biāo)稱軌跡的傾側(cè)角滿足：

σ=

(29)

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律對(duì)于初始跟蹤誤差的不敏感性，選取的實(shí)際探測(cè)器的初始參數(shù)與標(biāo)稱系統(tǒng)稍有區(qū)別，如表2所示。制導(dǎo)律參數(shù)如表3所示。

表2 探測(cè)器實(shí)際參數(shù)

表3 本文制導(dǎo)律參數(shù)及PD制導(dǎo)律參數(shù)

為了對(duì)比本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律的優(yōu)越性，采用與本文相同的傾側(cè)角符號(hào)切換邏輯，并采用如下PD制導(dǎo)律：

u=g-1(x)[-f(x)-k4e1-k5e2]

(30)

利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證，可得仿真結(jié)果如圖1～圖16所示。

圖1 本文制導(dǎo)律阻力加速度跟蹤誤差

圖2 PD制導(dǎo)律阻力加速度變化率跟蹤誤差

圖3 本文制導(dǎo)律阻力加速度變化率跟蹤誤差

圖4 PD制導(dǎo)律阻力加速度變化率跟蹤誤差

圖5 火心距跟蹤曲線

圖6 火心距跟蹤誤差

圖7 速度跟蹤曲線

圖8 速度跟蹤誤差

圖9 經(jīng)度跟蹤曲線

圖10 經(jīng)度跟蹤誤差

圖11 緯度跟蹤曲線

圖12 緯度跟蹤誤差

圖13 飛行路徑角跟蹤曲線

圖14 航向角跟蹤曲線

圖15 傾側(cè)角跟蹤曲線

圖16 橫向漏斗走廊及航向角誤差

從圖1～圖4可以看出，在存在起始誤差的情況下，本文所設(shè)計(jì)的阻力加速度跟蹤制導(dǎo)律能夠?qū)崿F(xiàn)快速、高精度的標(biāo)稱阻力加速度跟蹤，最大跟蹤誤差為0.08872(m/s2)。而PD制導(dǎo)同樣能夠跟蹤上標(biāo)稱的阻力加速度，但是過程中的跟蹤誤差要遠(yuǎn)大于本文所設(shè)計(jì)的方法；從圖5～圖8、圖13可以看出，在縱向運(yùn)動(dòng)方向，本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律能夠保證火星探測(cè)器在大氣進(jìn)入段對(duì)火心距r、速度V和飛行路徑角γ的跟蹤，火心距跟蹤的最大誤差為-1799m，速度的最大誤差為-55(m/s)，飛行路徑角的最大誤差為-3.745°，而PD制導(dǎo)的跟蹤誤差要遠(yuǎn)大于本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律，這從側(cè)面說明了本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律的優(yōu)越性。

從圖9～圖12、圖14可以看出，在橫向傾側(cè)角反號(hào)邏輯的作用下，針對(duì)縱向所設(shè)計(jì)的固定時(shí)間制導(dǎo)律依然滿足橫向運(yùn)動(dòng)要求，也證明了本文設(shè)計(jì)的橫向傾側(cè)角反號(hào)邏輯的正確性與可行性。在本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律的作用下，經(jīng)度的最大誤差小于0.02°，緯度的最大誤差為-0.09°，航向角的最大誤差為±1°，且最大誤差發(fā)生在傾側(cè)角σ發(fā)生反號(hào)的時(shí)刻，精度均優(yōu)于PD制導(dǎo)。從圖15和圖16可以看出，在航向角誤差到達(dá)航向角誤差漏斗走廊的邊界時(shí)，σ反號(hào)。在圖14相應(yīng)時(shí)刻，航向角也向相反方向變化，使得航向角誤差減小。從圖14～圖16可知，在整個(gè)過程中，采用本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律的傾側(cè)角σ發(fā)生了4次反號(hào)，均未發(fā)生抖振現(xiàn)象，且航向誤差能夠控制在航向角誤差漏斗走廊。

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的魯棒性，進(jìn)行了100組蒙特卡羅仿真，仿真參數(shù)如表4所示，仿真結(jié)果如圖17～圖19所示。

圖17 終端高度誤差與速度誤差分布

表4 蒙特卡羅仿真參數(shù)

從仿真結(jié)果可以看出，所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律及橫向反號(hào)邏輯在進(jìn)入初始狀態(tài)具有較大偏差時(shí)仍具有很好的跟蹤效果，火心距的跟蹤誤差變化范圍為-10500m～-4000m，而且大部分火心距跟蹤誤差分布于-6000m～-4000m之間，經(jīng)度變化范圍為-0.98°～-0.85°，大部分分布于-0.95°～-0.85°，緯度變化范圍為-0.42°～0°，大部分分布于-0.3°～0°。從圖19可以看出，對(duì)于不同的初始進(jìn)入狀態(tài)，終端時(shí)刻的位置分布比較集中，且大部分分布在誤差較小的位置。

圖18 終端水平位置分布圖

圖19 終端位置分布圖

4 結(jié) 論

本文研究了火星探測(cè)器大氣進(jìn)入段的橫向運(yùn)動(dòng)和縱向運(yùn)動(dòng)的跟蹤制導(dǎo)律問題。針對(duì)橫向運(yùn)動(dòng)，給出了與速度呈線性關(guān)系的航向誤差漏斗走廊形式，設(shè)計(jì)了傾側(cè)角反號(hào)邏輯。通過合理選擇漏斗走廊參數(shù)，使得在起始階段跟蹤誤差較大時(shí)能避免傾側(cè)角頻繁反號(hào)，而在制導(dǎo)末端也能保證航向角跟蹤誤差收斂到較小的值，進(jìn)而保證橫向運(yùn)動(dòng)的精度。與橫程漏斗走廊的傾側(cè)角反號(hào)邏輯相比，該邏輯計(jì)算簡(jiǎn)單，可有效降低宇航計(jì)算機(jī)的運(yùn)算壓力。與航向角誤差等寬走廊相比，該邏輯在高速時(shí)能夠有效避免傾側(cè)角的頻繁切換，提高任務(wù)成功概率。針對(duì)縱向運(yùn)動(dòng)，通過RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償傾側(cè)角飽和問題，利用積分滑模設(shè)計(jì)了阻力加速度抗飽和固定時(shí)間跟蹤制導(dǎo)律，不僅避免了經(jīng)典滑模控制固有的抖振問題，而且在制導(dǎo)律中引入的兩種不同形式的跟蹤誤差，一方面通過選取合理的參數(shù)有利于減小滑?？刂茙淼亩墩駟栴}，另一方面還能保證在跟蹤誤差較大和較小兩種情況下均可加快收斂速度，保證跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂至0。通過數(shù)值仿真可以看出所設(shè)計(jì)的橫向傾側(cè)角反號(hào)邏輯和縱向制導(dǎo)律的有效性，且在初始狀態(tài)存在不確定性的情況下仍具有較高的跟蹤精度。