湯清之 馮正平 黃 維

（1.上海交通大學 船舶海洋與建筑工程學院 上海 200240；2.中國船舶及海洋工程設計研究院 上海200011）

引 言

水下作業(yè)被公認為是一個技術密集、學科面廣、控制復雜的系統(tǒng)工程，而纜繩的形態(tài)仿真更是研究的熱點［1］。比較典型的雙纜水下作業(yè)的工況是當艉甲板在進行長時間的地質(zhì)取樣時，在舷側(cè)或船首可以進行簡單的、淺海的水樣或生物樣采集作業(yè)，這樣兩者由于投擲點距離遠且有一根纜纜長較短，故可以同時下水，發(fā)生纏繞的可能性也不是很大。即使發(fā)生纏繞，也可以舍棄短纜來保護纜長較長的地質(zhì)纜。當采用雙纜同時進行較大深度作業(yè)時，雙纜之間相互纏繞的風險大增。因此需要對此種工況下的雙纜形態(tài)進行分析。

本文借鑒了在船體結構中運用比較普遍的有限元法將纜繩進行分段，對每一分段的纜繩采用類似“剛體梁”的辦法構建矩陣。然后應用剛體動力學的方法考慮慣性、摩擦、彈性、科里奧利力、重力和外載荷等因素，構造纜繩有限元矩陣的動力學方程。同時在邊界條件中引入船舶的橫搖、縱搖和垂蕩對于纜繩上端點的影響，利用Matlab軟件進行方程求解，從而得出纜繩的水下運動狀態(tài)。

1 船舶運動影響

1.1 水上坐標系

綜合考慮全球絕大多數(shù)新建的科考船，科考纜繩都是由科考絞車出發(fā)，經(jīng)由滑輪組導向舷側(cè)或船尾的吊架投放到深海中的，這些吊架包括但不限于A型架、L型架、伸縮臂等。當纜繩放入水中一定長度之后，纜繩形成一個柔性的水下系統(tǒng)，而水面上的所有設備和船體形成剛性的水上系統(tǒng)，水上系統(tǒng)和水下系統(tǒng)的分界面為水面，水面和纜繩的交點稱為“投擲點”。而且由于船的排水量遠大于水下系統(tǒng)的總質(zhì)量，所以僅僅考慮船舶運動對水下系統(tǒng)的單向影響而忽略水下運動對船舶運動造成的影響。

以右手系法則建立水上坐標系，即船首方向為X正向，左舷方向為Y正向，豎直向上為Z正向，如圖1所示。

圖1 船體水上部分坐標系

1.2 船舶運動

水上運動部分主要考慮船舶的橫搖、縱搖、垂蕩和在海平面上的漂移，其他自由度的運動由于量級比較小，在本模擬中忽略不計。我們在程序中可以設定一個船舶的搖擺中心O［XO（t），YO（t），ZO（t）］，并在后續(xù)的計算中均基于該點進行展開。假設兩個投擲點分別為P［X①（t），Y①（t），Z①1000（t）］和P2［X0②（t），Y0②（t），Z0②（t）］，在認為船體及船上的收放設備為絕對剛體的前提下，通過船舶運動可以解出兩個投擲點的關于時間t的運動函數(shù)。

以橫搖為例，一般船舶海上作業(yè)時橫搖的角度不會超過10°，根據(jù)船級社的規(guī)范，起重設備的起升索偏移10°對應著6～7級海況［2］，如果超過10°則意味著海況非常惡劣，此時已經(jīng)超過了A架、絞車的收放設備預留的動載荷系數(shù)，將會有造成事故的風險，而且此時人員都難以在甲板上站立，所以我們在此僅考慮小于10°的小角度橫搖。由于橫搖的角度小、船舶主尺度較大，所以我們認為船舶運動對舷側(cè)投擲點的高度方向位移影響較大，對水平方向的位移影響較小，這也是海工行業(yè)波浪補償?shù)鯔C優(yōu)先補償高度方向的原因，參見圖2。

圖2 船體橫搖運動補償

實際海上波浪運動是非規(guī)則波，但如果考慮復雜的非規(guī)則因素會對整個工程模擬造成巨大負擔；同時由于科考設備水下作業(yè)的時間窗口也就是4 h以內(nèi)，大多都在1～2 h左右，在短暫的窗口期內(nèi)波浪情況較規(guī)律，船舶對其響應可近似為正弦波。我們可以得到因橫搖引起的投擲點高度坐標隨時間變化的函數(shù)，見式（1）：

同理，因縱搖引起的投擲點高度坐標隨時間變化的函數(shù)為：

縱搖和艏搖的運動模擬與橫搖類似，而垂蕩是直線運動，所以需要模擬出垂蕩隨時間的高度位置變化不必利用幾何關系，可以直接認為船舶垂蕩的高度變化即纜繩投擲點的高度變化函數(shù)，對于規(guī)則波，其函數(shù)表達式為：

至于水平漂移，很難被界定為一個有規(guī)律的函數(shù)，但是目前科考船在水下作業(yè)時一般都會開啟動力定位；此時的水平漂移不會發(fā)生劇烈變化，基本上定位精度都能達到20 m以內(nèi)；對于水下大深度的作業(yè)而言這點水平漂移則可忽略不計。

1.3 船舶運動對纜繩系統(tǒng)的載荷

由于船舶運動相當于對水下纜繩系統(tǒng)增加一個額外的載荷，這個載荷在各大船級社規(guī)范中都有類似的描述，在中國船級社中稱之為“動載力”［2］，而在DNV-GL船級社中稱之為“動載荷”，出于習慣本文中也稱該載荷為動載荷。由于動載荷的成因比較復雜，而船級社僅是從安全角度考慮預報了動載荷的最大值，并沒有給出動載荷隨船舶運動的規(guī)律，本文假定動載荷的運動規(guī)律為：

式中：η為動載荷系數(shù)；A為波浪運動造成的動載荷系數(shù)幅值，對于正弦波形A即船級社規(guī)定的起升系數(shù)；T為組合后的波浪運動周期，s；φ為波浪運動的相位，rad。

根據(jù)式（4），可以將復雜的波浪運動簡化為一個正弦函數(shù)，然后再用動載荷系數(shù)去乘以纜繩在靜態(tài)時的張力，就可以模擬船舶在波浪中運動帶給纜繩的張力變化，加載到整個纜繩系統(tǒng)最上方的端點上。特別是當船舶的運動規(guī)律不是在正弦波的情況下，可以用統(tǒng)計學方法將船舶運動回歸成其他周期函數(shù)，當該周期函數(shù)的值域仍是［-1，1］則A值仍可使用船級社規(guī)定的起升系數(shù)。對于非規(guī)則的運動，也可以將動載荷分解為若干個周期函數(shù)的疊加。

2 水下纜繩坐標及動力學方程

2.1 水下坐標系

水下系統(tǒng)的仿真主要考慮將連續(xù)的纜繩離散化，并將離散化之后的每個分段視作剛形體（即一根梁）。對這些梁而言，其運動應該能滿足剛體動力學定理，且其整體也能通過拉格朗日法求其能量的極值。其極值點對應的纜繩形態(tài)即為水下纜繩的實際形態(tài)。

由于仿真采用有限元法，所以纜繩的水下形態(tài)主要通過分段的方式來表達。水下纜繩的坐標系應當分為慣性坐標系（即船體坐標系）和每根纜繩的相對坐標系。每一段對應的相對坐標系與慣性坐標系之間均存在互相轉(zhuǎn)換的關系。假設這條纜繩被分解為n段，則海平面上的點定義為P0（X0，Y0，Z0），而纜繩末端負載的點定義為Pn（Xn，Yn，Zn），每一段纜繩中靠近海平面的一端我們稱為始端，靠近海底的一端我們稱為末端。始端的坐標為Pk-1（Xk-1，Yk-1，Zk-1）而末端的坐標為Pk（Xk，Yk，Zk），每一段纜繩的末端都可以建立一個相對坐標系∑k：（Ok，Xk，Yk，Zk），該相對坐標系的原點為Ok，而Xk、Yk、Zk分別為其三個坐標軸；其中Yk軸即Pk-1Pk線段在水平面上的投影，而Zk軸始終指向豎直向上方向，Xk軸與Yk軸構成水平面，整個坐標系仍符合笛卡爾坐標系法則，參見下頁圖3。

圖3 典型4分段纜繩水下坐標系

假設水下纜繩的分段在足夠短的長度內(nèi)近似于直線段，而每一段線段的長度為lk，而第k段線段在其始端所在的水平面內(nèi)的投影與始端所在的相對坐標系的Yk-1形成夾角θka（該夾角稱為方位角）。而第k段線段與Zk-1的夾角為θke（該夾角稱為俯仰角）。另外，我們定義纜繩在Pk點相對于Pk-1的自旋角θkT為旋轉(zhuǎn)角。

通過以上闡述，我們可以定義Xk-1Yk-1Zk-1坐標系和Xk Yk Zk之間齊次變換矩陣Hk-1，k，公式如下：

此外，纜繩任意一個節(jié)點k的坐標可以表達為式（6）［3］：

2.2 運動方程

根據(jù)剛體動力學方程：

式中：x為剛體的位移量，m；m為剛體質(zhì)量，kg；c為剛體阻尼，N·s /m；k為剛體的剛度，N/m；F為剛體系統(tǒng)外載荷。

結合2.1節(jié)的推導，我們不難得出纜繩基于角度坐標系的運動學方程：

考慮到纜繩系統(tǒng)在大洋深處作業(yè)，整個纜繩系統(tǒng)還受到科里奧利力和地球重力的影響，應當將其加入到整個動力學方程中一并考慮。同時纜繩系統(tǒng)的外載荷又可能包括繩端負載物的重力及海流對纜繩的流載荷，如果繩端負載是一個水下機器人的話，其對纜繩的載荷還可能存在各種彎矩，所以這個載荷應該是一個多方向的向量?？紤]到這些因素后整個動力學方程可以修改為：

2.3 程序算法

對式（9）進行變換可得：

利用Matlab自帶的Simulink仿真模塊進行兩次積分循環(huán)就能求解出向量的數(shù)值解，再利用式（5）可以將角度坐標轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯亲鴺?，然后直接利用Matlab的Plot命令，以時間軸為循環(huán)，一幀一幀畫出纜繩的水下形態(tài)，進而連貫成動畫。與此同時，計算某根纜繩所有節(jié)點到另一根纜繩所有節(jié)點的距離，并求出最小值，作為最危險情況的預報。

根據(jù)以上闡述，將對應方程轉(zhuǎn)化為程序語言，該計算程序主要分為數(shù)據(jù)輸入Data模塊、微分方程Equation模塊、外載荷External_load模塊、方程求解的Model_solve模塊、坐標處理Position_state_Function模塊和最后的結果分析Result模塊。這些模塊的工作順序如圖4所示。

圖4 程序流程圖

3 算 例

某科考船在南海海域作業(yè)，其主尺度為船長100 m、船寬18 m、干舷3 m；配置艉部A架1臺、舷側(cè)A架1臺。在某海域作業(yè)時，利用船尾A架和直徑19 mm的鋼纜進行地質(zhì)取樣，同時利用舷側(cè)A架和直徑17.3 mm的光電纜絞車在舷側(cè)釋放1臺小型觀察級ROV對地質(zhì)取樣的情況進行觀察拍攝。根據(jù)國內(nèi)外的一般做法，可在纜繩末端ROV處增加1組力矩來模擬ROV的運動對纜繩的影響［4］。本案例中雙纜的初始狀態(tài)均為豎直向下，ROV在30 s內(nèi)都對纜繩施加-100 N·m的e方向扭矩和20 N·m的T方向扭矩并在第10 s起對纜繩施加50 N·m的a方向扭矩?，F(xiàn)要求仿真30 s時域范圍內(nèi)鋼纜和光電纜的水下運動情況，并給出雙纜最小距離隨時間變化的曲線。

求解過程：首先輸入纜繩參數(shù)給Data模塊，定義舷側(cè)A架處的纜繩為1號纜繩，艉部A架處的纜繩為2號纜繩。纜繩的定位及纜繩參數(shù)參見表1。

表1 Data模塊參數(shù)

隨后運行model_solve仿真模塊，可以求解得到不同時間段θe、θa、θT的數(shù)值，將這些數(shù)值組成一個三維矩陣，第一維度為節(jié)點，第二維度為時間，第三維度為坐標軸，作為整體傳輸。再利用式6和result模塊將角度坐標轉(zhuǎn)換為直角坐標，并利用時間維度將一幀一幀圖像中組合成動畫。部分仿真動畫的截屏如圖5～圖12，圖中沿船長方向的坐標軸即前文提到的X軸，沿船寬方向的即前文提到的Y軸，沿高度方向的即前文提到的Z軸。在運行result的過程中，還可以計算兩條纜繩各節(jié)點之間的最小距離，并輸出最小距離和時間之間的關系曲線。

圖5 t = 1.18 s時的纜繩水下姿態(tài)

圖6 t = 10 s時的纜繩水下姿態(tài)

圖7 t = 14.4 s時的纜繩水下姿態(tài)

圖8 t = 17.2 s時的纜繩水下姿態(tài)

圖9 t = 20 s時的纜繩水下姿態(tài)

圖10 t = 21.7 s時的纜繩水下姿態(tài)

圖11 t = 24 s時的纜繩水下姿態(tài)

圖12 t = 29.5 s時的纜繩水下姿態(tài)

根據(jù)下頁圖13纜繩間最小間距曲線看出，本工況下的所有時間范圍內(nèi)的所有最小距離都在30 m以上，最小值為30.269 3 m發(fā)生在約17 s時。根據(jù)文獻，此類工程問題可設定一個最小安全間距，以保證在足夠的工程誤差下本船的兩條纜繩也不會發(fā)生干涉［5］。筆者建議，最小安全距離可以定義為最大纜徑的100倍，也即1.9 m，目前看30 m的距離遠大于1.9 m。所以，經(jīng)預判上述水下作業(yè)的工況是可以進行安全作業(yè)的。此外，本文僅是用過在纜繩末端施加力矩的方式來仿真ROV的運動，ROV本身的運動沒有絕對的穩(wěn)態(tài)，其在“水下的靜止”都是通過水下動力定位來實現(xiàn)的，這部分不屬于本文的研究內(nèi)容，所以本仿真只考慮了30 s內(nèi)ROV的水下運動。

圖13 纜繩最小距離與時間的關系

4 結 語

通過上述程序的計算，我們可以有效預判單纜繩和雙纜繩在水下的運動形態(tài)，進而可以在進行纜繩水下作業(yè)之前先測定船舶的運動參數(shù)，比如橫縱搖的幅值、周期等，再輸入纜繩及繩端負載的參數(shù)，實現(xiàn)纜繩水下作業(yè)的仿真。需要說明的是，實際上，當纜繩釋放到一定深度，就會面臨纜繩分段數(shù)量與計算機能力之間的矛盾，如果纜繩分段過多則會增加計算機負擔；而如果纜繩分段過少，則會由于每段纜繩長度過長導致仿真的精度不夠。實際上本文僅推薦在短纜作業(yè)工況下進行雙纜水下作業(yè)，在長纜作業(yè)工況下，纜繩收放的時間長、纜繩面臨的水下流場復雜，難以在計算機中進行數(shù)值模擬；所以作業(yè)風險非常高，需謹慎對待。這也是本文沒有采用長纜作業(yè)工況案例的原因。此外，在實際進行雙纜水下作業(yè)時，往往是海況較為平靜的區(qū)域，整體的水下情況也比較清晰明了；同時，船長會調(diào)整船舶的姿態(tài)，使風浪盡可能不影響水下作業(yè)。隨著動力定位技術的逐步普及，船舶定位的穩(wěn)定性會越來越強，隨著減搖設備的推廣，船舶搖擺帶來的水下運動影響也會減小，對水下纜繩的安全保障也會越來越高。